滑塊上斜臺問題的豐富內涵

閆二斌

(宜川縣中學,陜西 延安 716200)

筆者在對2016年全國理綜二卷第35題(物理選修3-5動量)的第(2)小題時,產生了一些困惑,就此請教了陜西省宜川縣中學景銀安老師以后,景老師做了非常慷慨指導,所以作者非常感謝景老師.之后筆者又進一步對此題所描繪的物理情景進行了詳細的研究,即基于強烈的好奇心,提出了一系列疑問,并使用高中物理和數學知識給出了詳細的解答.懇請大家先自己獨立思考這些問題,有了明確的答案后,再看后面的解答.對于此解答中的疏漏、錯誤和愚鈍,懇請大家不吝賜教,筆者將感激不盡.

1 問題描述

如圖1所示,在光滑的水平面上,放有滑塊和斜臺,滑塊的質量為m1,斜臺的質量為m2,斜臺斜面的傾角為θ.初始時,滑塊m1放在斜臺m2斜面的底部,且m2的初速為0,m1的初速為v0,方向沿斜面向上.設斜面是光滑的和足夠長的,且運動過程中,機械能始終守恒.我們研究:初始時刻以后,滑塊先上升到豎直位移最高處,再下降到斜臺底部的運動過程.

圖1

問題1:滑塊m1上升到其所能到達的最大高度處時,m1的水平分速度和m2的水平分速度有什么關系?為什么?如何計算m1所能上升的最大高度?

問題2:運動過程中,m1和m2之間的壓力的大小是否在變化?為什么?

問題3:斜臺m2是否在做水平向右的勻加速直線運動?為什么?

問題4:滑塊m1經過多長時間上升到其所能到達的最大高度處?又經過多長時間回到斜臺斜面的底部?為什么?從初始時刻到滑塊回到斜臺斜面的底部,斜臺前進了多少米?

問題5:相對于地面,滑塊m1的運動軌跡是怎樣的?直線還是曲線?為什么?請分3種情況討論之:m1m2.

問題6:若初始時,m1的初速度的方向不與斜面平行,而是水平向右,其余條件不變,則接下來會發生什么?

2 詳細解答過程

在水平方向,取向右為正,且單位方向矢量為i,在豎直方向,取向上為正,且單位方向矢量為j.設時間為t.m1與m2之間壓力的大小為N(t),方向始終垂直于斜面.m1的豎直位移為s1y(t)j,水平位移為s1x(t)i,m2的位移為s2(t)i.m1的豎直速度為v1y(t)j,水平速度為v1x(t)i,m2的速度為v2(t)j.m1的豎直加速度為a1y(t)j,水平加速度為a1x(t)i,m2的加速度為a2(t)i.

2.1 受力分析

對于m1,根據牛頓第二定律,豎直和水平方向有

N(t)cosθ-m1g=m1a1y(t).

(1)

-N(t)sinθ=m1a1x(t).

(2)

對于m2,易知其豎直方向的合力始終為0,水平方向有

N(t)sinθ=m2a2(t).

(3)

利用(3)式可消去(1)式、(2)式中的N(t),得

(4)

(5)

2.2 對問題1的分析

易知以地面為參考系,m2始終沿水平方向向右運動,其豎直速度始終為0.若以斜臺m2為參考系(由于m2加速,所以為非慣性參考系),則m1做直線運動,其豎直位移最大時,其相對于斜臺m2的速度為0. 若再以地面為參考系,則當m1豎直位移最大時(設此時時間為th),有

v1y(th)-0=0，v1x(th)-v2(th)=0.

即此時其二者水平速度相等(不妨設此速度為v共).將m1和m2視為一個系統,由于此系統水平方向不受外力,則其水平方向的動量守恒,有

m1v0cosθ+0=(m1+m2)v共.

又根據機械能守恒定律,可得

其中h即為m1所能達到的最大高度,聯立以上兩式,不難解出h.

以上利用守恒定律的方法,似乎只能求解問題1,對于其他問題,似乎沒有任何幫助.接下來對m1和m2的位移、速度、加速度進行分析,用以尋找其他問題的答案.

2.3 運動學分析

易知m1始終在m2的斜面上運動,從未與m2分離,不妨將此條件稱為重要前提假設.如圖2,分別畫出了0時刻和之后任意時刻t時刻(此時m1可能正在上升也可能正在下降)的運動圖像,分析后,根據幾何關系可得(位移的參考原點取0時刻m1的所在位置)

圖2

即對于任意時刻有

s1y(t)=tanθ[s1x(t)-s2(t)].

(6)

給(6)式的兩邊同時對時間求導,得

v1y(t)=tanθ[v1x(t)-v2(t)].

(7)

驗證m1和m2的初速度,發現恰好滿足(7)式. 這便意味著在此初始條件下,m1會一直貼著m2運動,不會分離. 再給(7)式的兩邊同時對時間求導,得

a1y(t)=tanθ[a1x(t)-a2(t)].

(8)

上面的(6)-(8)式是在“重要前提假設”下推出的,即若m1始終在m2的斜面上運動,則必有(6)-(8)式;若m1和m2的速度(包括初速度)、加速度不能滿足(7)式、(8)式,則m1不會一直在m2的斜面上運動,會離開斜面.

將(4)式、(5)式代入(8)式,即可解得

(9)

即發現a2是一個與時間無關的常數. 再加上m2初速為0,所以由此便可證明m2做向右的勻加速直線運動. 再將(9)式代入(3)-(5)式,即可發現N、a1y、a1x皆與時間無關,都是常數,即

(10)

(11)

(12)

以上,便回答了問題2和問題3.

2.4 對問題4的解答

設所求時間為th,易知m1在豎直方向做初速為v0sinθ的勻變速運動,加速度為(11)式中的a1y,即有

v1y(t)=v0sinθ+a1yt.

根據勻變速運動的對稱性,易知,再過th,m1就從最高點回到了水平面.從0時刻到m1回到水平面,所經歷的時間為2th,此過程中m2做初速為0的勻加速直線運動,加速度為(9)式中的a2,則此過程中m2前進的距離為

附加思考題:設θ、v0都是常數,而m1和m2可取不同數值,求th的取值范圍.

圖3

2.5 對問題5的解答

通過上面的論證,我們已經知道:m1所受合力大小和方向都不發生變化,所以我們只需判斷其初速與合力的夾角(或初速度與合加速度的夾角),就可以判斷出它做怎樣的運動.而根據已知和(8)式、(9)式、(11)式、(12)式,則有圖3

圖3中角φ>θ,是因為由(8)式可推得

所以我們可以得出:相對于地面,m1做類斜上拋運動,其運動軌跡為拋物線的一部分,且此拋物線的對稱軸與圖3中的a1的方向平行.

曲線的具體刻畫,可采用參數方程給出.設t時刻m1相對于地面在A點,則A點的坐標為(s1x(t),s1y(t)),其中

對于從0時刻到滑塊m1回到水平面的過程,根據水平方向動量守恒,易知

m1

m1=m2時,有v1x(2th)=0,即m1水平末速為0(水平方向上m1與m2速度交換);

m1>m2時,有v1x(2th)>0,即m1水平末速向右.

對于以上分析,可用電腦進行如下的計算和軌跡繪制,進行驗證.(其中g=9.8 N/kg,沒有帶單位的物理量,其單位皆取國際單位.)

表1 不同初值下各物理量的值和m1所對應的運動軌跡

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8 圖9

2.6 對問題6的解答

此時此刻,我想問大家,當初我們在“重要前提假設”的條件下,推出N與時間無關,為常數的時候,你是否感到非常驚訝?!因為兩接觸的物體之間的相對速度越大,它們之間的壓力就越大,例如一顆子彈以1 cm/s的速度朝你靜止的手飛來,可以想象你不會受傷.但是如果一顆子彈以10 m/s的速度朝你靜止的手飛來,可以想象你的手將會有劇烈的疼痛.對于m1初速沿斜面向上、m2初速為0的初始情形,水平方向m1做初速不為0向右的勻減速運動,m2做初速為0的勻加速運動.m1上升階段,它們水平方向的相對速度在減小,所以它們之間的壓力N的大小應該逐漸減小才對,為什么是不變的呢?這便與筆者的第一直覺產生了奇妙的沖突.

圖10

那到底錯在了哪里呢?錯在了上述相對速度的說法不夠準確,而應該是:兩接觸的物體之間在垂直于接觸面的方向上的相對速度越大,它們之間的壓力就越大.上面我們已經證明當m1初速沿斜面向上、m2初速為0時,在接下來的運動中,其二者之間的壓力N的大小和方向都不變化,那么這也就意味著此后任意時刻其二者在垂直于斜面的方向上的相對速度不會變化.而它們初始時在垂直于斜面的方向上的分速度都為0,這便意味著之后它們在此方向上的速度始終相等.要想證明這一點,只需證明它們垂直于斜面的方向上的加速度相等即可(因為它們此方向上的初速度相等),即

a1xsinθ-a1ycosθ=a2sinθ.

(13)

然而(13)式便是(8)式.這便證明了自恰性.

若以斜臺為參考系,則滑塊沿斜面運動,垂直于斜面方向的分速度始終為0.即在垂直于斜面方向上二者的相對速度始終為0. 故亦可證明上述結論.

當m1初速沿斜面向上、m2初速為0時,在接下來的運動中,其二者之間的壓力N的大小和方向都不變化(而且其二者在垂直于斜面的方向上,相對速度始終為0),此時它們二者之間的壓力N,可以說本質上來源于重力,因為在這種情況下,如果沒有重力,則m1會直接以初速做勻速直線運動,而且與m2之間不會有彈力存在(忽略m1與m2之間的萬有引力).

圖11

而對于m1初速不與斜面平行、m2初速為0的情形,由于初始速度條件不滿足(7),所以接下來的運動中,m1一定會離開斜面,與m2分離.若此時m1的初速在垂直于斜面方向上的分量還指向m2,可以認為此時m1以此垂直于斜面方向上的分速度去撞擊m2(彈性碰撞),所以它將受到較大的來源于撞擊所產生的力,大到足以使m1與m2分離.

附加思考題:對于m2?m1或m2?m1的極限情形,本文所計算的a2、a1x、a1y、N、φ、th、s2(2th)和m1的運動軌跡將變成怎樣的情形?試以此說明解的自恰性.

3 啟示

查閱相關資料后發現文獻[1]和[2]都對此題有所論述,但都是先研究m1初速為0的情況獲得相應結論,而且沒有討論各種初速下m1的運動軌跡,如果當初首先是從這兩本書中研究此問題,或許就不會產生如此多的疑問,而只是將其視為一道競賽題.所以有時候在好奇心的驅使下,主動發問,主動探究,往往會獲得不同的收獲,因為這樣的研究是連續的、有主動想象在內的.這同樣也啟發我們出題時,可以循序漸進地設計許多問題,讓學生思考一個物理現象的實際運動過程,腦中有運動過程的圖像,非常透徹地研究整個物理過程.