磁場對二元合金凝固過程中糊狀層穩定性的影響*

范海龍 陳明文

(北京科技大學數理學院， 北京 100083)

1 引 言

在合金的凝固過程中由于成分過冷(constitutional supercooling)的存在， 界面會出現不穩定性[1，2].這種不穩定性的進一步演化導致在固相和液相之間出現一種新的形態， 即糊狀區[3].糊狀區可以理解為是由樹枝狀晶體、柱狀晶體和液體組成的一種反應多孔區域(reactive porous regions)[4].研究糊狀層的穩定性對于凝固問題有著重要的意義.在重力場中由于不同成分之間密度差的存在導致流動的產生， 這使得糊狀區同時受到溫度場、濃度場以及流動的耦合作用.已有一些研究者研究了這些耦合作用下糊狀區的穩定性問題.例如Anderson 和Worster[5]分析了二元合金凝固過程中糊狀層的穩定性， 給出了識別振蕩對流不穩定性的方法.Guba 和Anderson[6]分析了三元合金定向凝固過程中糊狀層的穩定性.該模型包括熱輸運、溶質擴散和對流輸運， 并確定了新的對流不穩定性， 包括直接模式和振蕩模式.

磁場作為一種非接觸式控制工具為提高產品的質量提供了一種便捷且可行的途徑.例如在金屬加工過程中經常應用電磁場來提高鋼坯的質量[7-10]、改善鑄件的凝固組織[11，12]、減少產品的表面缺陷[13]等.磁場的存在改變了熱輸運和溶質輸運， 對凝固過程有著重要的影響.因此研究磁場作用下糊狀區的動力學行為就顯得至關重要.例如，Riahi[14]研究了垂直磁場對糊狀層中對流的影響.發現外加磁場可以減弱煙囪(chimney)中的流動，從而減少產品的雀斑缺陷.Muddamallappa 等[15]利用數值方法研究了二元合金在磁場中的凝固問題.結果表明Chandrasekhar 數的增大對凝固有穩定作用， 且臨界瑞利數隨著Chandrasekhar 數的增大而增大.Kao 等[16]通過數值方法模擬了橫向磁場對樹枝狀晶體尺寸和間距的影響.研究結果發現由于洛倫茲力使得枝晶間的區域產生了流動， 從而改變了溶質的輸運過程并影響了枝晶的生長.Sarkar 等[17]研究了二元合金凝固過程中糊狀層的磁流體動力學， 結果表明外加磁場增強了糊狀層的穩定性， 但在其模型中沒有考慮溶質輸運.值得指出的是當在相變過程中同時考慮熱擴散、溶質輸運和浮力對流時， 問題將變得更加復雜和有趣[18-20].

本文利用線性穩定方法研究了磁場對凝固過程中糊狀層穩定性的影響， 且模型包含了溫度場、濃度場以及流動的耦合作用.通過本文的研究結果可以深入地理解外加磁場對糊狀層穩定效應的影響， 為冶金工業中如何精確的應用磁場減少產品的缺陷提供了重要的理論參考.

2 數學模型

2.1 控制方程

考慮二元合金在磁場中的凝固問題， 認定糊狀層的上下邊界是等溫的、不變形的和不滲透的.這使得糊狀層與系統的其他部分動態隔離， 具體描述見圖1.假定系統以恒定速率 V*向上凝固， 在0 ＜z*＜H*的區域內存在一個厚度為 H*的糊狀層.糊狀層頂部和底部的溫度及濃度分別為同時假設它們為常數.為了便于分析， 假設固相和液相的比熱和熱導率相同.

圖1 以恒定速度 V * 凝固的糊狀層示意圖Fig.1.Schematic representation of mushy layer system，which advancing upwards with a constant solidification speed V *.

假定糊狀層受到強度為B 的外部磁場的作用，其中施加的磁場B 沿 z*軸垂直向上.此外， 認定在糊狀層具有恒定的導電率 σe， 且黏性耗散和焦(耳)熱效應對傳熱的影響可以忽略不計.認定糊狀層受到磁場誘導洛倫茲力的影響[21]， 洛倫茲力表達式如下:

式中， J 表示局部離子電流密度， 其可以用歐姆定律 寫 為 J =ρeu*+σe(E+u*×B)[21]， 其 中 u*表示流體速度， E 表示電場， ρe表示電荷密度.類似于文獻[17]中的討論， 本文忽略電場E 和流動對電荷的影響 ρeu*≈0.因此， 洛倫茲力方程可以重寫為 F =σe(u*×B)×B.

系統糊狀層的控制方程滿足熱平衡方程、溶質平衡方程、二元相圖約束、達西方程和質量平衡方程:

式中， T*表示液相溫度; C*表示液相濃度; φ 為糊狀區固體體積分數; p*表示降低的壓力(即動態壓力和靜水部分的和，u*為達西 速 度; c*是 比 熱; k*是 熱 導 率;是 潛 熱; D*表示溶質擴散系數; k1表示偏析系數; m*是液相線斜率; Π*(φ) 表示糊狀層的滲透率; μ*是流體的動態黏度; g 是重力加速度;表示向上的單位矢量;其 物理含義是糊狀層中的對流運動是由密度差驅動的，同時假定密度與溫度、濃度呈線性關系[6]， 其中表示糊狀層頂部的密度， α*和為常數.

系統滿足如下的邊界條件:

當z*=H*時，

當z*=0 時，

2.2 無量綱化

采用類似于文獻[6]的無量綱化方案， 選擇凝固速率 V*作為速度尺度， 長度尺度為 κ*/V*， 時間 尺 度 為， 壓 力 尺 度 為密 度 尺度為溫度和濃度為這 里 κ*=k*/c*表 示 熱 擴 散 系 數， Π*(φ0) 為滲透率尺度.

無量綱后的控制方程為

其中

邊界條件如下:

當 z =δ 時，

當 z=0 時，

其中

2.3 重標度

通過限制糊狀層的厚度是薄的 δ ?1 ， 使得模型是漸近減小的.其物理含義是糊狀層的厚度遠小于熱擴散長度， 或者等效地認為凝固速率遠小于熱傳導穿過糊狀層的傳熱速率.下面重新標度系統，令則系統的控制方程變為

邊界條件為

3 穩定性分析

為了研究系統的穩定性， 可做如下分解:

3.1 穩態解

類似于文獻[6]容易求得系統的穩態解為

其中

3.2 線性擾動方程

為便于分析， 對(19)式應用兩次旋度可以消去壓力p 且化簡為

擾動系統的控制方程為

邊界條件為

下面求擾動系統(25)—(28)具有如下形式的漸近解:

O(δ0)階的控制方程為

邊界條件為

類似于文獻[6]可解的

其 中， J =n2π2+k2.需 要 指 出 的 是 σ1出 現 在(39)式 φ0的解中， 而 σ1卻是未知的.這就需要通過下面 O (δ1) 階 的可解性條件來確定.O (δ1) 階的控制方程為

其中

通過(41)式和(42)式的可解性條件得

其中

色散方程(43)表征了糊狀層凝固系統中的各種物理效應， 將在第4 節進行討論.

4 討 論

在穩定性分析中， 為了清楚地分析驅動不穩定性的物理機制， 將結果簡化為下面的兩種情況:和本 文 重 點討論的情況， 即認為系統只有溶質C 對浮力有貢獻.對于(即浮力是由溫度T 驅動的情況)， 可以利用同樣的方法進行討論.

在只有溶質C 對浮力有貢獻情況下， 下面主要給出中性穩定性的結果.

4.1 直接模式(direct modes)

由(45)式和(46)式可看出， 可將直接模式的中性穩定性曲線分為下面4 種情況:

4.2 振蕩模式(oscillatory modes)

圖2 直接模式的中性穩定性曲線和不穩定區域(陰影部分)示意圖 (a)情況1; (b)情況2; (c)情況3; (d)情況4Fig.2.Schematic representation of the neutral-stability curves and the regions of instability (shaded) for direct modes: (a) Situation 1; (b) situation 2; (c) situation 3; (d) situation 4.

圖3 振蕩模式的中性穩定性曲線示意圖(振蕩模式的不穩定性區域為圖中實線(黑色)和點劃線(紅色)之間的部分) (a)情況1;(b)情況2; (c)情況3; (d)情況4Fig.3.Schematic representation of the neutral-stability curves for the oscillatory modes: (a) Situation 1; (b) situation 2; (c) situation 3; (d) situation 4.The instability region of oscillation mode is the part between solid line (black) and dashed line (red).

5 結 論

本文將Guba 和Anderson[6]給出的糊狀層凝固模型推廣到了包含外加磁場作用的情況.分析了磁場對糊狀層穩定性的影響， 其中包括直接模式和振蕩模式.通過分析振蕩模式下的中性穩定性發現磁洛倫茲力總是起穩定作用， 這一發現與文獻[17]的結論是一致的.但在對直接模式下中性穩定性的分析中發現外加磁場并非總是起穩定作用.實際上我們可以理解為糊狀層的穩定性是熱擴散、溶質擴散、流動和洛倫茲力耦合作用的結果.總之， 本文的結論為冶金工業中利用磁場來提高產品的質量提供了重要的理論參考.