淺談一道電容器與動生電動勢的問題中電阻的忽略

岳凌月 琚 鑫 馬朝華

(1. 北京師范大學附屬中學，北京 100052； 2. 北京市海淀區教師進修學校，北京 100036)

1 問題的提出

圖1

如圖1所示,水平面上有兩根足夠長的光滑平行金屬導軌,兩導軌間距為L．在導軌之間接有電容為C的不帶電的電容器,導體桿質量為m,并與導軌接觸良好．整個裝置處于方向豎直向下、磁感應強度為B的勻強磁場中．現用一水平恒力F向右拉動導體桿從靜止開始運動,不考慮桿與軌道之間的摩擦和空氣阻力,不考慮一切電阻．假設導軌長度足夠長,磁場的范圍也足夠大,試證明該導體棒將做勻變速直線運動．

參考解答如下.

再對導體棒做受力分析,應用牛頓第二定律,有

F-BiL=ma.

聯立上述兩式,得到加速度為

(1)

可見加速度a為一個定值,結合題干信息可以判斷,該導體棒將做初速度為0的勻加速直線運動．

在實際教學中,無論是教師,還是學生都可能對“導體棒兩端電勢差總等于電容器兩端電勢差”這個結論有很大的疑惑,如果上述結論成立,那么怎么會有充電電流呢?如果沒有充電電流,那么電容器是如何帶電的?也就是忽略所有電阻,真的合理嗎?

圖2

2 考慮電阻R的解析解

嘗試先給出考慮電阻R的普遍情況,裝置如圖2所示,其余條件與圖1均相同．設某時刻t時,導體棒的速度為v,回路中電流為i,電容器某一極板上所帶電荷量為q,則根據基爾霍夫方程有

(2)

再根據牛頓第二定律,有

(3)

這就是我們解決這個問題的微分方程組．將電流的定義式i=dq/dt代入(2)式后,再對(2)式兩端對時間t求導,得

(4)

將(3)式代入(4)式,整理后得

(5)

結合初始條件t=0時,電容器極板所帶電荷量q(0)=0,電路中瞬時電流dq(0)/dt=0,于是得到上述二階常微分方程的特解

(6)

將(6)式對時間t求導,得到電流i隨時間的演化關系

(7)

將(7)式代入(3)式得

(8)

即得該導體棒的加速度為

(9)

下面對(9)式做如下討論.

這與(1)式中的結果相同．說明導體棒會越來越趨于一個勻變速直線運動,這與忽略所有電阻時的結論是一致的．

(2) 如果直接取R=0,會導致(9)式中的e指數項中的系數“-(CB2L2+m)/mCR”這一項無意義,為了避免出現發散,不妨令R→0,這樣就導致當t=0時,(9)式的第一項趨于無窮大,但隨著t>0,這一項會迅速趨于0,即導體桿會迅速趨于勻加速直線運動．同樣的情況也適用于(7)式,即i→∞,所以充電時間Δt→0,這就解釋了為什么總有導體桿兩端電勢差總與電容器兩端電勢差相等．

圖3

(3) 再來討論電阻R的數值對結果的影響．從理論上講,按照(9)式的結果,導體棒要用無限長的時間才能達到勻加速直線運動,但是就實際而言,它會在有限的時間內非常接近勻加速直線運動．如圖3所示,分別為R的數值較大和較小時的情況,可以發現,當電阻R的數值較小時,加速度趨近于定值F/(m+CB2L2)所需要的時間越短．

3 教學建議

在實際教學中,應當正面回應教師與愛思考的學生所提的問題,即題目中要求忽略一切電阻是一種非常極端的情形,會存在一些物理上的小問題,但是題目的做法卻是有依據的,即當回路中的電阻越小,導體桿加速度趨于穩定所需要的時間就越短,電容器每次充電提升電勢差與導體桿兩端電勢差相同所用的時間Δt就越短.限于中學數學的水平,這種嚴格的情況中學階段無法處理．但是，當忽略一切電阻時,這個時間Δt可以忽略不計,就可以在中學的數學范圍內進行求解了．注意還要說清楚一個問題,那就是因為不考慮一切電阻這個極端情況,因此電容器的充電電流i為無窮大,充電時間Δt無窮小,但上述i和Δt還應該滿足iΔt=有限值．