數控機床XY工作臺單向運動二維阿貝誤差分析與建模

吳天鳳，李 莉，楊洪濤*

（1.安徽理工大學機械工程學院，安徽淮南232001；2.安徽理工大學礦山智能裝備與技術安徽省重點實驗室，安徽淮南232001）

1 引 言

直線導軌是實現高端數控機床進行平移運動的根本，精確地對直線導軌誤差分析建模及補償，是提高機床加工精度的前提［1］。數控機床XY工作臺常用堆棧式結構工作臺，每個方向依靠兩根直線導軌共同支撐。XY工作臺導軌系統誤差是機床幾何誤差的重要組成部分，必須對其進行全面補償才能提高機床加工精度［2-4］。

目前進行數控機床幾何誤差補償考慮的由于導軌系統誤差引起的工作臺誤差主要包括定位誤差［5］、平動誤差［6］和角度誤差［7］等，并將這些誤差代入多體系統誤差補償模型進行補償，取得了一定效果。由于導軌系統誤差不僅與導軌系統本身質量有關，而且受到運動速度、溫度等參數的影響［8］，X向導軌是安裝在Y向導軌之上，因此在工作臺導軌系統的運動過程中，Y方向導軌系統誤差不僅會產生本方向上常見的線值誤差和角度誤差，而且還會傳遞至安裝其上的X方向導軌系統，使其產生附加的線值和角度誤差，從而產生附加阿貝誤差［9］，與X向導軌系統原始阿貝誤差相互耦合，可見Y向導軌系統的誤差影響是二維的，與工作臺X向運動誤差之間存在相關性和抵償性。針對機床幾何誤差建模以及考慮到阿貝誤差的影響，現有的國內外專家對此方向開展了許多研究。張恩忠等［10］利用激光干涉儀和溫度傳感器實際測量的數控機床定位誤差和溫度數據，建立了基于牛頓插值法和最小二乘法的幾何與熱復合誤差建模，并根據復合模型進行了補償實驗。但利用激光干涉儀測量數據過程中，不符合阿貝原則，因此實際定位誤差測量過程中會包含阿貝誤差的存在，造成補償結果不精確。趙狀等［11］基于阿貝原則對齊次坐標轉換矩陣的數控機床幾何誤差補償模型進行了優化，并基于阿貝原則和布萊恩原則推導了阿貝誤差對機床定位誤差精度影響的理論計算公式，并實測機床體對角線誤差進行實驗驗證，提高了幾何誤差補償效果，但是理論推導過程中并未考慮到工作臺下層導軌對上層導軌的附加影響，因此建立的阿貝定位誤差模型不精確。LIU等［12］對數控機床的幾何誤差測量進行了研究，分析了阿貝誤差的產生原理。建立了基于阿貝原理的誤差模型，并通過軟件補償的方法對阿貝誤差進行了補償，從而提高數控機床的加工精度。CHEN［13］等人對傳統兩維工作臺的定位誤差補償方法進行了研究，提出一種利用CO2激光加工的方法對機床定位誤差預測和定位精度的校正。ZHONG等［14］提出一種五軸數控機床位置幾何誤差建模方法，建立了定位誤差模型，通過使用基于遞歸軟件的誤差補償方法對定位誤差進行補償，提高了機床定位精度。

上述學者關于基于阿貝原則的機床幾何誤差建模以及定位誤差補償的研究中，基本上只考慮單一方向的導軌系統引起的阿貝誤差，造成機床誤差補償效果有限，因此本文對溫度作用下的數控機床XY工作臺單向運動二維阿貝誤差的變化規律、傳遞機理和建模方法開展研究。

2 數控機床XY工作臺導軌系統誤差源及相關性分析

2.1 導軌系統誤差源分析

數控機床目前經常采用的是堆棧式結構XY工作臺，如圖1所示。X方向導軌通過溜板安裝在Y方向導軌之上，工作臺則安裝在X導軌溜板的上面，待加工的工件則放在工作臺上［15］。每個方向導軌系統在運動過程中均存在六項幾何誤差，包括三項平動誤差和三項轉角誤差［16］。當導軌沿X方向運動時，三項平動誤差包括定位誤差σxx和Y方向上的直線度誤差σxy和Z方向上的直線度誤差σxz。三項轉角誤差包括偏擺角誤差εxz、俯仰角誤差εxy、滾轉角誤差εxx（誤差符號下標的第一個字母表示運動的方向，第二個字母表示誤差產生的方向）如圖2所示。在溫度作用下，每項幾何誤差分量會產生附加熱誤差，包括偏擺角熱誤差俯仰角熱誤差和滾轉角熱誤差因此每項誤差分量分別是原始誤差分量、附加熱誤差的疊加。

圖1 數控機床工作臺結構示意圖Fig.1 Structure diagram of CNC machine tool table

圖2 三軸機床X向導軌移動副6項誤差示意圖Fig.2 Schematic diagram of the six errors of X axis

2.2 XY工作臺導軌系統誤差相關性分析

2.2.1Y軸導軌系統單向運動Y方向誤差分析

設工件待加工點在XY工作臺上的理想位置坐標為B(x，y)，X和Y向導軌上的光柵安裝位置如圖1所示［17］。設X，Y軸光柵測量系統的讀數頭與零點之間的距離分別為x，y。當工作臺沿著Y軸單向運動時，Y軸導軌存在由于機床制造精度等原因產生的幾何誤差，將相應的線值和角度誤差分別用和俯仰角偏擺角滾轉角表示。由于溫度變化的影響［18-21］，Y向導軌也存在了附加熱誤差：俯仰熱誤差偏擺熱誤差滾轉熱誤差因此Y軸導軌系統單向運動時的各誤差分量分別是上述原始誤差、附加熱誤差的矢量和。

2.2.2Y軸導軌系統單向運動各誤差分量對X軸導軌誤差相關性分析

因為堆棧式XY工作臺的特殊結構，X軸導軌系統安裝在Y軸導軌系統上，所以在X軸導軌運動的過程中，Y軸導軌系統誤差會通過溜板結構傳遞至上層結構，引起X方向導軌產生相應的各種附加誤差，因此下面分析X軸導軌系統各項誤差的特性和計算公式。

由上述分析可知，X軸導軌系統自身同樣存在了Y軸導軌系統類似的三項線值誤差σxx，σxy，σxz，和三項角度誤差，俯仰角偏擺角滾轉角包括由于溫度影響引起的附加熱誤差X軸導軌系統三項線值誤差不受Y軸導軌系統的影響，但是Y軸導軌系統角度誤差會傳遞到X軸導軌系統，因此X軸導軌系統的綜合偏擺角βz(x，y)等于X軸導軌系統自身偏擺角和Y軸導軌系統偏擺角的矢量和。

同理，X軸導軌系統的綜合俯仰角αx(x，y)等于X軸導軌系統自身俯仰角和Y軸導軌系統滾轉角的矢量和。

同理，X軸導軌系統的綜合滾轉角γx(x，y)等于X軸導軌系統自身滾轉角和Y軸導軌系統俯仰角的矢量和。

3 導軌系統誤差引起的XY工作臺阿貝誤差建模

3.1 阿貝偏移分析

在以光柵尺為位置控制單元的機床上，運動軸的位置是靠光柵測量系統實時反饋得到的，光柵尺的位置作為基準測量軸線［11］。在XY工作臺誤差測量的過程中，從圖1可知，Y軸光柵尺的基準線與待加工工件所在的測量線不在同一條直線上，不滿足阿貝原理［22］，因而存在阿貝誤差［23-24］。待加工點B與Y向光柵測量系統之間的阿貝偏移關系如圖3（a）所示，其中測量點B與光柵零點之間的直線距離為沿Y軸導軌運動時的阿貝偏移大小。設Ax為該阿貝偏移在X方向上的分量大小，由機床的結構分析可知，Ax與加工點B的X坐標相關。同理Az為其阿貝偏移在Z方向上的分量大小，其與加工點B的Z坐標相關。

同理，待加工點B與X光柵測量系統之間的阿貝偏移如圖3（b）所示。By為該阿貝偏移在Y方向上的分量大小，與加工點B的Y坐標相關。BZ為其阿貝偏移在Z方向上的分量大小，其與加工點B的Z坐標相關。

圖3 B點和光柵測量系統之間阿貝偏移示意圖Fig.3 Abbe offset diagram between point B and grating measuring system

3.2 阿貝誤差計算

3.2.1Y軸導軌單向運動一維阿貝誤差建模

在上述分析的Y向導軌系統俯仰和偏擺綜合角度誤差作用下，測量點B在Y向的阿貝誤差包括兩個分量δpy和δfy，其與對應的阿貝偏移與角度誤差關系如圖4所示。

從圖4（a）可知，Y軸導軌系統原始偏擺角β0yz和B點X方向上的阿貝偏移Ax聯合作用產生的偏擺阿貝誤差δpy可利用式（7）計算：

從圖4（b）可知，Y軸導軌系統原始俯仰角和B點Z方向上的阿貝偏移Az聯合作用下產生的俯仰阿貝誤差δfy可利用式（8）計算：

因此由偏擺阿貝誤差δpy和俯仰阿貝誤差δfy聯合作用下的待加工點B在Y方向的阿貝誤差δy1為：

同理分析可知，在溫度綜合影響下的Y軸導軌單向運動一維阿貝誤差模型為：

圖4 待測量點B點沿Y導軌方向的阿貝誤差示意圖Fig.4 Abbe error diagram of point B to be measured along the Y guide rail

3.2.2X軸導軌系統二維阿貝誤差建模

從圖5（a）可知，X向偏擺阿貝誤差δpx是由X軸導軌系統偏擺角βz(x，y)和加工點B在Y方向阿貝偏移聯合作用的結果，如圖5（b）所示X向俯仰阿貝誤差δfx是X軸導軌系統俯仰角αy(x，y)和加工點在Z方向阿貝偏移聯合作用結果。

圖5 B點沿X導軌方向阿貝誤差示意圖Fig.5 Abbe error diagram of point B to be measured along the X guide rail

在溫度綜合影響下的Y軸導軌系統誤差對X軸導軌系統二維阿貝誤差模型為：

4 實驗驗證

4.1 XY工作臺導軌系統角度誤差相關性驗證

從2.2節可知，XY工作臺X軸導軌的角度誤差不僅與X軸導軌自身的角度誤差有關，而且與Y軸導軌角度誤差相關。為了驗證XY工作臺沿X，Y軸導軌運動時角度誤差的相關性，由于實驗條件的限制，實際機床的控溫操作難度較大，因此本文實驗部分暫時未考慮溫度作用下的導軌系統角度誤差相關性影響，只著重于考慮在正常環境溫度下的角度相關性分析。下面以X軸導軌系統偏擺角為例進行實驗驗證。

圖6 誤差測量實驗裝置圖Fig.6 Experimental device for error measurement

本文以TONMAC數控銑床為實驗對象，利用RenishawXL-80雙頻激光干涉儀［25］測量機床工作臺沿X軸、Y軸導軌單獨運動時和X，Y軸導軌系統45°對角線方向上聯動時的X軸偏擺角度［26］，所搭建的實驗裝置如圖6所示。圖6（b）顯示的是工作臺沿著X方向和Y方向同時運動時的偏擺角測量裝置，即激光干涉儀的參考鏡和反射鏡安裝在工作臺運動的45°對角線方向上。根據所測量的機床工作臺實際行程限制，設置工作臺的測量行程為150 mm，采樣的間距為5 mm，上述三種運動模式下每種行程重復測量三次，取三次平均值作為最終誤差測量結果，誤差曲線如圖7所示。將測量得到的X軸導軌和Y軸導軌運動時的偏擺角按照式（4）進行矢量和，計算得到Y軸的相關性綜合偏擺角誤差曲線如圖7所示，可以看出，Y軸導軌系統的綜合偏擺角整體上與工作臺X，Y軸聯動測量的X軸偏擺角相比，誤差呈下降趨勢，且最大差值達到0.92弧秒（arc sec），可以證明公式（4）的準確性。同理可以證明X軸導軌的俯仰角和滾轉角計算公式（5）和（6）的準確性。

圖7 X導軌偏擺角相關性驗證圖Fig.7 X guide rail yaw angle correlation verification diagram

4.2 工作臺二維阿貝誤差修正效果驗證

為了比較由于工作臺二維阿貝誤差對工作臺定位誤差的影響，本文利用XL-80雙頻激光干涉儀測量XY工作臺導軌沿對角線45°方向上聯動的定位誤差和聯動偏擺角，再分別測量出X軸導軌的偏擺角、俯仰角和Y軸導軌的偏擺角和俯仰角，測量行程和采樣間距與4.1節測量過程保持一致。

首先對測量得到的工作臺定位誤差進行傳統的阿貝誤差補償，即在聯動定位誤差的基礎上減去相應偏擺角、俯仰角與對應阿貝偏移的乘積，補償結果記為補償后定位誤差1；同理，利用誤差相關性和二維阿貝誤差對定位誤差進行阿貝誤差補償，即在聯動定位誤差的基礎上減去聯動偏擺角與阿貝偏移的乘積以及Y軸導軌偏擺角、俯仰角與其對應阿貝偏移的乘積（公式（11）），補償結果記為補償后定位誤差2，結果如圖8所示。

圖8 導軌系統阿貝誤差修正對比圖Fig.8 Abbe error correction comparison diagram of guide rail system

從圖8中可以看出，利用工作臺二維阿貝誤差補償后的定位誤差2整體誤差呈減小趨勢，且比用傳統方法補償后的定位誤差1最大相差3 μm左右，占補償后的工作臺總誤差的三分之一，補償效果更好，因此本文建立的工作臺二維阿貝誤差補償模型更符合工作臺實際的誤差分布特點和規律。

5 結 論

本文詳細分析了數控機床XY工作臺導軌系統誤差源和Y軸導軌系統單向運動各誤差分量對X軸導軌誤差相關性，建立了XY工作臺Y軸導軌系統誤差和上層X軸導軌系統誤差相關性模型，從中可以得出，X軸導軌系統綜合偏擺角是X軸導軌自身偏擺角和Y軸導軌偏擺角的矢量和，X軸導軌綜合俯仰角是X軸導軌自身俯仰角和Y軸導軌滾轉角的矢量和，X軸導軌綜合滾轉角是X軸導軌自身滾轉角和Y軸導軌俯仰角的矢量和。

建立了Y向導軌系統的阿貝誤差和X向導軌系統二維阿貝誤差計算模型，分別進行了X軸導軌和Y軸導軌角度誤差相關性驗證和導軌系統定位誤差補償效果對比實驗。實驗結果證明利用工作臺二維阿貝誤差補償后的定位誤差2整體誤差呈減小趨勢，且比用傳統方法補償后的定位誤差1最大相差3μm左右，占補償后的工作臺總誤差的三分之一。本文所建立的導軌系統二維阿貝誤差模型更符合數控機床XY工作臺誤差的實際變化規律，利用該模型導軌進行的工作臺聯動定位誤差補償效果比傳統補償方法的修正效果更好，為提高機床加工精度和在機測量系統的測量精度打下理論基礎。