利用正交位移測量系統進行六自由度并聯機構參數標定

楊利偉，鮑 赫，樊延超，李志來，董得義

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

1 引 言

六自由度并聯機構因其具有高精度、高剛度、無累積誤差等優點，被廣泛用于光學元件精調、超精密加工等領域［1］。

由于加工及裝配誤差的存在，六自由度并聯機構的實際結構參數與理論結構參數存在一定偏差，這將導致運動學模型不準確。由于結構參數偏差的存在，六自由度并聯機構按照指令進行運動時，實際位姿與模型理論位姿會存在一定偏差。采用高精度機床對并聯機構的結構件進行加工，可降低結構件加工誤差，但成本高昂，而通過參數標定對誤差進行補償，是一種低成本且行之有效的方法［2-3］。

通常并聯機構的標定包括誤差建模、位姿測量及參數辨識三個步驟。其中，并聯機構末端執行器位姿測量是標定的關鍵環節。標定過程中，根據測量輸出不同可以將標定分為兩類：自標定法和外部標定法［4］。自標定法不需要外部測量設備，利用源于運動平臺自身的冗余信息來辨識其幾何參數，該方法在標定過程中不但需要求解標定模型的正解，而且無法獲得末端位姿的全部信息，因此精度提高受到一定限制；外標定法也稱開環標定，通過外部測量工具獲取運動平臺的位姿信息，據此來辨識平臺的幾何參數。目前針對并聯機構的標定，仍以外部標定方法為主。常用的外部測量裝置包括三坐標測量機［4］、測量臂［5］、激光跟蹤儀［6］等設備，這些設備雖具有精度高、適應性廣等特點，但造價昂貴，而且在應用時存在兩個方面的問題：一是測量前需要對測量儀器進行精細調整，耗時較長，導致標定效率較低；二是部分測量儀器（如三坐標測量機）對操作人員、操作環境要求較高，應用不便。綜合上述原因，上述位姿測量解決方案有待進一步改進。

本文針對六自由度并聯機構的位姿測量過程中存在的問題，提供一種簡潔高效的六自由度并聯機構參數標定裝置及方法，達到降低成本、簡化標定過程、提升標定效率的目的，對今后的并聯機構的參數標定具有重要的指導意義。

2 正交位移測量系統正逆解分析

2.1 正交位移測量系統構成

傳統的位姿測量方法操作簡單，適用范圍廣，但由于基準點坐標無法直接測量得到，需要采樣多個點擬合得到，導致數據量需求較大，標定效率較低。以最簡單的球面擬合為例，至少需要采樣4個點才能擬合出一個基準點的坐標，而解算位姿至少需要3個點，即針對每個名義位姿，至少需要測量12個點，才能解算出其對應的實際位姿，這種做法顯然是耗時耗力的。

受激光六維測量系統的啟發［7-8］，擬構造接觸式正交位移測量系統（以下簡稱正交位移測量系統），來開展并聯機構動平臺的位姿測量與解算。正交位移測量系統簡圖如圖1所示，主要包括被測基準塊、位移傳感器等，其中被測基準塊固定在動平臺上，在被測基準塊三個正交方向密布若干位移傳感器，位移傳感器固定在傳感器座上，傳感器座與定平臺無相對運動；位移傳感器的觸頭在彈力的作用下，始終與被測基準塊保持接觸。工作原理如下：動平臺按照控制器指令進行六維運動，被測基準塊隨之運動，位移傳感器隨之做一維伸縮運動，記錄位移傳感器示值，通過某種解算方法，解算出動平臺相對于定平臺的位姿。

圖1 正交位移測量系統簡圖Fig.1 Diagram of orthogonal displacement measurement system

由圖1可知，正交位移測量系統可以看做是一套機構，主動件為并聯機構末端執行器，從動件為位移傳感器，執行器的六維運動產生位移傳感器的一維直線運動，對末端執行器位姿求解的過程即為對正交位移測量系統的運動學分析的過程。

與并聯機構一樣，正交位移測量系統的運行學分析同樣有兩個基本問題，即正解、逆解問題，由執行器的六維運動求位移傳感器的一維直線運動，稱為運動學正解，由位移傳感器的一維直線運動求執行器的六維運動，稱為運動學逆解。

由六點定位原理［9］可知，要通過運動學逆解求解執行器的六維運動，需要在被測基準塊周圍布置6個位移傳感器，六位移傳感器的布置方式有兩種：321型和222型。321型正交位移測量系統的位移傳感器配置為：在其中一個方向，布置3個位移傳感器，在第二個方向布置2個，第三個方向布置1個；222型正交位移測量系統則是在3個正交的3個方向各布置兩個位移傳感器。

2.2 位姿解算方法

FAN等人［10］在利用激光干涉儀進行線性位移臺的六維參數同時測量時，位姿解算方法比較簡單：線位移取平均值，角位移利用三角函數求解。但是如果激光束與線性位移臺的被測未能精確對準，這種解算方法容易引入對準誤差，例如被測棱鏡軸線與激光束軸線不一致，會產生阿貝誤差，被測棱鏡的橫滾角與激光束的橫滾角不一致，會產生橫滾角誤差等。

采用三坐標對被測基準塊、位移傳感器的空間位置進行測量，可以分別得到測量坐標系下被測基準塊各平面的表達式及位移傳感器的直線表達式，就可以采用空間解析幾何的方法解算出被測基準塊，進而解算出動平臺的位姿。綜上，擬采用空間解析幾何的方法來求解。

222型運動學逆解涉及多元二次方程組的求解，求解過程復雜，而321型的運動學逆解較為簡單，這里以321型正交位移測量系統為例，討論運動學正逆解求解過程。

2.3 運動學正解

為便于描述微調機構定系與動系之間的關系，構建基準塊坐標系{E}（以下簡稱基準塊系），坐標原點位于三基準面交點，坐標軸與動系平行；這樣在圖2中，存在以下坐標系：并聯機構定系{B}，并聯機構動系{P}，基準塊系{E}。

他們之間的位姿關系用相應的齊次變換矩陣來描述：

為了直觀地描述上述坐標變換，可以將上述的位姿關系表示成空間尺寸鏈的形式［11］，如圖2所示。

圖2 空間尺寸鏈Fig.2 Spatial dimension chain

存在如下坐標變換方程：

假定{E}在動系{P}中的位姿為：

寫成齊次坐標變換矩陣的形式［11］，簡寫為：

假定零位時{E}在{B}的實際位姿為：

寫成齊次坐標變換矩陣的形式，簡寫為：

將坐標系{E}的XOY面記為Ⅰ面，XOZ面記為Ⅱ面，YOZ面記為Ⅲ面。可得平面Ⅰ的點法式方程，即［12］：

該表達式不利于編程計算。為便于編程，本文將平面Ⅰ表達式記為：

其中：P=[x0y0z0]表示平面上一點的坐標，分別表示平面內的向量，平面法向量n的指向遵守右手定則。

平面Ⅱ與Ⅲ的表達式與Ⅰ相同。

利用三坐標測量機在傳感器或相應基準圓柱銷上取點，擬合定系下位移傳感器所在空間直線方程，擬合采用最小二乘法，這里不詳細介紹。

空間直線的參數方程表達式為［12］：

該表達式也不利于編程計算，本文將過位移傳感器Sk的空間直線表達式記為：

位移傳感器直線方程與平面方程聯立，可求出零位時各傳感器與各坐標平面的觸點坐標，記做：

給定動平臺位姿，記作：

轉換為齊次坐標變換矩陣形式［13］，得到：

由式（3）及式（12）可得坐標系{E}在{B}的位姿，記作：

于是可得{E}的三個坐標平面I，II，III的平面表達式，記作：

位移傳感器直線方程與平面方程聯立，可求出各傳感器與各坐標平面的觸點坐標，記做：

由式（10）與式（15）可得兩觸點間的直線距離：

如果觸點向坐標軸正向移動，規定h為正，反之為負，即：

將各位移傳感器的位移量寫成向量形式，有：

由此，由動平臺的位姿得到了各位移傳感器的位移值，此即運動學正解。

2.4運動學逆解

設位姿改變后，各位移傳感器伸縮量為hk，k=1，2，3，4，5，6。

此時位移傳感器與Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ面的觸點也隨之發生改變，在測量系中的坐標Mk為：

三平面法向量相互垂直，于是有：［11］

利用RPY角逆解公式，可得：

又由單位向量模為1，可得：

9個未知量，9個方程，未知量可求。于是可得Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ面的編程表達式，記為：

三平面表達式聯立，可得三平面交點，記作：

于是可得{E}在{M}的齊次坐標變換矩陣：

由式（1）可知：

結果簡寫為：

于是解算出動系在定系中的位姿，即正交位移測量系統的運動學逆解：

由位姿解流程可以看出，雖然整個過程稍顯復雜，但測量數據需求量較小，易于操作。這是該測量方法的優勢所在。

3 基于微小位移合成法的誤差模型

動平臺每變換一個位姿，針對每個位移傳感器可構造一個約束方程，設：

當結構參數出現誤差時，方程變為：

式中：j=1，2，3，…表示不同位姿，于是有：

其中：ΔXBi，...，Δli，Δxk，…，Δdz6為并聯機構及正交位移測量系統的結構參數誤差，Δhjk為結構參數誤差導致的位移傳感器示值偏差。

由此，建立了基于微小位移合成法的并聯機構與正交位移測量系統組合體的誤差模型，模型中，Δhjk可通過位移傳感器測量值與名義值做差得 到，XBi，YBi，ZBi，XPi，YPi，ZPi，li，xk，yk，zk，dxk，dyk，dzk為并聯機構及正交位移測量系統的參數名義值，為已知量，ΔXBi，…，Δli，Δxk，…，Δdzk為未知量，求解上式即可得到各結構參數誤差。

4 基于優化算法的參數誤差辨識

4.1 參數誤差辨識模型的建立

在獲得了試驗數據后，如何得到合理的運動學參數誤差辨識結果是整個運動學標定的難點同時也是重點，對試驗數據的處理采用不同的方法，就會得到不同的參數辨識結果。根據辨識模型的不同，參數誤差辨識方法可分為兩類：一種是基于線性誤差模型的辨識方法［15-17］，該方法通過辨識雅克比矩陣建立結構參數誤差與誤差測量結果之間的函數映射關系，并對該模型進行求解從而辨識出結構參數，可歸結為典型的線性方程組求解；實際應用過程中，需要并聯機構沿固定軌跡運動，靈活性低且計算量大。另一種是基于優化算法的參數誤差辨識方法，該方法不建立線性的誤差模型，利用優化算法直接搜索運動學參數誤差的辨識方法，這類方法基于機器的運動學方程及誤差測量結果，沒有具體的辨識方程，是一類典型的非線性方程求解問題，常見的求解方法如遺傳算法［18］、神經網絡［19］等等。

本文中的誤差模型為非線性，無法構建線性方程組來求解結構參數誤差，只能采用第二種方法。

上述模型的參數誤差辨識問題可轉換為使目標函數最小化的最優化問題。構造最優化問題數學模型如下：

以各位姿下傳感器示值誤差的平方和最小為目標函數，即：

以并聯機構和標定裝置的結構參數誤差為設計變量，即

各變量約束條件為現有加工及裝配能力下變量的取值范圍，取±0.2 mm/rad。

4.2 優化工具的選擇

結構參數誤差的辨識，就是從設計變量的取值范圍內搜索出滿足式（33）的解，使用最簡單的隨機搜索即可完成這個工作，但隨機搜索計算速度慢，計算量大。以遺傳算法為代表的優化算法雖具有全局搜索、穩定可靠、無需方程求解等特點，但這些算法計算量大，計算時間長，無法處理昂貴約束，且容易陷入局部最優解。而新一代智能優化設計軟件OASIS奧希思為求解以上方法提供了一個有效的途徑。OASIS（Optimization Assisted System Integration Software），即優化輔助系統集成軟件，集成了業界領先的AI算法，能自動運行仿真軟件，自動改變輸入文件，重新啟動設計流程，從而消除了傳統開發設計流程中的瓶頸，使整個設計流程實現全數字化和全自動化，能更快速，更高效地解決一系列的設計優化問題［20］。

綜上，本文將嘗試利用該軟件對參數誤差進行辨識。

5 并聯機構的參數標定試驗

為驗證上述方法有效性，開展了并聯機構的參數標定試驗。

5.1 標定對象及標定試驗要素

本文的參數標定對象為一套六自由度6-SPS并聯機構，如圖3所示。結構參數見表1。標定試驗要素包括六支位移傳感器，傳感器座、被測基準塊等，如圖4所示，其中位移傳感器采用捷克ESSA光柵位移傳感器SM30系列，具有量程大、分辨率高、準確度高等優點［24］。

表1 6-SPS并聯機構42項運動學參數名義值Tab.1 Nominal value of 42 kinematic parameters of 6-SPS parallel mechanism （mm）

圖3 六自由度并聯機構Fig.3 Photo of 6-DOF 6-SPS parallel mechanism

圖4 SM30系列ESSA光柵位移傳感器Fig.4 SM30 series ESSA grating displacement sensor

5.2 標定試驗過程

開展基于321型正交位移測量系統的標定試驗，試驗現場照片如圖5所示，位移傳感器S1，S2，S3位于被測基準塊的+Z方向，S4，S5位于被測基準塊的-Y方向，S6位于被測基準塊的-X方向，數顯表1顯示的是S1，S2，S3的數據，數顯表2顯示的是S4，S4，S6的數據。

圖5 321型正交位移測量系統的數據采集現場Fig.5 Photo of data collection of type 321 orthogonal displacement measurement system

共選取18個位姿組成的量測配置，詳見表2，對應18組位移傳感器的理論值，詳見表3，開展位移測量，位移傳感器示值詳見表4。

根據上述數據，建立基于OASIS奧希思的優化模型，變量為并聯機構及正交位移測量系統的結構參數誤差，取值范圍為±0.2 mm/rad，步長為0.001 mm/rad，目標函數為各位姿下傳感器示值誤差的平方和最小，在OASIS奧希思中開展尋優計算，流程如圖6所示，計算過程見圖7。經過200多輪迭代，得到并聯機構及正交位移測量系統的結構參數誤差，進而得到補償后的結構參數。補償后并聯機構的結構參數詳見表5。

表2 標定試驗的量測配置Tab.2 Measurement configurations of calibration experiment （mm·rad-1）

表3 標定試驗位移傳感器名義值Tab.3 Nominal value of displacement sensor of calibration experiment （mm）

表4 標定試驗位移傳感器測量值Tab.4 Measurement value of displacement sensor of calibration experiment （mm）

圖6 優化流程Fig.6 Flow chart of optimization

圖7 OASIS奧希思可視化計算過程Fig.7 Visual calculation progress in OASIS

修改并聯機構控制程序中的參數，再分別輸入標定試驗的位姿，使動平臺運至指定位姿，驗證標定效果。將補償前后的正交位移測量系統結構參數、位移傳感器示值代入正交位移測量系統運動學逆解，得到補償前后位姿誤差，如圖8所示。

圖8 標定前后的位姿誤差Fig.8 Pose error before and after calibration

由圖8可知：

（1）對于ΔXP，最大誤差標定前約為0.42 mm，標定后約為0.016 mm，降低了約96%；

（2）對于ΔYP，最大誤差標定前約為0.37 mm，標定后約為0.025 mm，降低了約93%；

（3）對于ΔZP，最大誤差標定前約為0.08mm，標定后約為0.034 mm，降低了約58%；

表5 補償后的42項運動學參數Tab.5 42 kinematic parameters after compensation （mm）

（4）對于Δα，最大誤差標定前約為2×10-3rad，標定后約為5×10-5rad，降低了約97%；

（5）對于Δβ，最大誤差標定前約為2×10-3rad，標定后約為8×10-5rad，降低了約96%；

（6）對于Δγ，最大誤差標定前約為5×10-4rad，標定后約為4×10-5rad，降低了約92%。

綜上，標定后的位姿誤差明顯低于標定前，說明標定效果顯著。

與傳統的測量設備或測量方法相比，本文提出的位姿測量裝置及方法存在以下優勢：

（1）易于操作。只需將被測基準塊固定在并聯機構動平臺上，將位移傳感器固定在夾具上，即可開展位姿測量。

（2）簡潔高效。只要并聯機構末端位姿發生改變，位移傳感器示值就會發生變化，將其代入運動學逆解，即可獲取末端位姿信息，極大地節省了人力成本和時間成本。

（3）成本低廉。測量系統主要組成部分為：六支高精度位移傳感器（可重復使用）、被測基準塊及測量基準塊，除此之外，或許還需要一些位移傳感器夾具，總體成本相對較低。

總之，本文提出的位姿測量裝置及方法不僅能有效提升并聯機構的定位精度，而且具有易于操作、簡潔高效、成本低廉等優點。

6 結 論

為了簡化六自由度并聯機構的參數標定過程，提高標定效率，降低標定成本，本文提出了基于正交位移測量系統的位姿測量方法，利用空間解析幾何的方法，分析了正交位移測量系統的運動學正解與逆解。利用微小位移合成法，建立了并聯機構與正交位移測量系統組合體的誤差模型。為辨識并聯機構的結構參數，構造了最優化問題數學模型，目標函數為傳感器示值誤差的平方和最小，設計變量為并聯機構和標定裝置的結構參數誤差。搭建了基于正交位移測量系統的并聯機構標定平臺，對待測六自由度并聯機構進行了位移測量，利用OASIS奧希思軟件對并聯機構的結構參數誤差進行辨識，對結構參數進行補償，并對補償效果進行了驗證。標定前后位姿誤差對比表明：最大位置誤差降低了58%～96%，最大姿態誤差降低了92%～97%，有效提升了并聯機構的定位精度。與傳統的標定方法相比，該方法具有易于操作、簡潔高效、成本低廉等優點，可有效簡化標定工作，提升標定效率、降低標定成本。

本文的研究結果對并聯機構的標定具有較高的指導意義和參考價值。

致謝：論文撰寫過程中，得到了OASIS奧希思技術顧問蘇龍聚和李毅的技術支持，在此表示深深的謝意。