基于MATLAB對夫瑯禾費圓孔衍射的仿真

李新龍

（西藏大學 理學院 物理系，西藏 拉薩 850000）

0 引言

由于光學成像系統中光學儀器的光瞳通常是圓形的，所以探討圓孔夫瑯禾費衍射對于分析光學儀器成像、評估儀器成像質量以及圓孔衍射實驗的理論教學具有十分重要的意義。近年來，為推動大學物理實驗教學的發展和完善已有夫瑯禾費衍射理論教學，有關圓孔衍射的研究可見諸于諸多文獻，如：文獻[1]借助衍射理論的數學模型，利用MATLAB對夫瑯和費衍射進行計算機模擬，文獻[2]利用MATLAB、GUI設計方法和顏色匹配理論，最終可獲得不同顏色的圓孔衍射圖樣。然而，這些文獻缺乏對整個衍射過程物理圖像的呈現，無疑給夫瑯禾費圓孔衍射的教學和學生對該實驗的理解增加了難度。因此，本文考慮來自光源的一列經透鏡折射的平面波正入射到一圓孔衍射屏上，在圓孔衍射屏上取柱坐標，而后依據惠更斯-菲涅爾原理，導出接受屏上圓孔衍射的光強分布。在此基礎上，運用MATLAB對光線的整過傳播過程進行仿真模擬，最終得到了圓孔的夫朗禾費衍射仿真圖，這讓學生直觀地感知了整個衍射過程，加深了學生對圓孔衍射的理解，同時為圓孔衍射實驗的理論教學又提供了新的教學方法。

1 圓孔的夫瑯禾費衍射理論

假設衍射屏上的圓孔的中心位于坐標原點O，一束來自光源的光經過凸透鏡后成為一列平面光波正入射到圓形孔上，在該圓孔平面上取柱坐標[3-4]（如圖1所示，其中Q為光源，G為圓孔衍射屏，H為接收屏，L1和L2為透鏡，f1和f2分別表示物方焦距和像方焦距），有考慮在點M附近一個無窮小的面元 ，如果在處的振幅和相位分布由函數 給出，則在點P來源于那些無窮小面元的波的場分布正比于

圖1 夫瑯禾費圓孔衍射原理圖

將式（3）中分母上的r用z來代替，則

其中

表示空間頻率。

由夫瑯禾費近似成立的條件[5]。

在這一近似條件下，式（5）可化為如下形式

式中a表示圓孔衍射屏的半徑，且用到 了關系式[6]

式（9）可化為

為點O’的強度，該光強分布被稱為艾里函數。其中圓孔衍射光強分布的前幾個極大值和極小值如下表

表1 圓孔衍射強度分布的前幾個極大值和極小值

依據上述理論推導和實驗測量的結果，夫瑯禾費圓孔衍射圖樣有以下特點[7-8]：

（1）接收屏上的衍射條紋是一系列明暗交替的同心圓環。

（2）中央是零級衍射斑，級次越大的條紋的角半徑越大。

（3）不同級次的圓環之間的角距離不相等。

（4）不同級次的衍射亮紋的輻射通量并不相等。其中，中央主極大為一圓形亮斑（即艾里斑），其通量約占衍射總通量的84%。

2 夫瑯禾費圓孔衍射仿真

依據夫瑯禾費圓孔衍射的理論推導、衍射的原理圖，利用MATLAB強大的可視化功能，對整個衍射過程進行仿真模擬，MATLAB編寫的程序代碼如下[9-14]：

代碼運行結果

圖2 夫瑯禾費圓孔衍射仿真圖

圖3 弗朗禾費圓孔衍射強度分布

經過與教材[7]中夫瑯禾費圓孔衍射強度分布曲線、衍射圖樣對比，兩者契合得很好。

3 結語

運用MATLAB對整個夫瑯禾費圓孔衍射過程進行仿真模擬，仿真的結果很好地呈現了圓孔衍射的光線傳輸過程、光強分布曲線和衍射圖樣，這與理論推導的結果契合得非常好，說明了仿真結果的可靠性。與此同時，加深了學生對圓孔衍射理論和現象的理解以及認識，激發了學生的學習熱情，豐富了教學的方法，提高了課堂教學質量。