用光電門測物體加速度的兩類偏差分析*

羅章

(湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)湖南 長沙410006)

研究物體的運(yùn)動時，除了使用打點(diǎn)計時器計時外，還常用到數(shù)字計時器.數(shù)字計時器常與氣墊導(dǎo)軌配合使用.計時系統(tǒng)的工作要借助于光源和光敏管(俗稱光電門).光源與光敏管相對，它射出的光使光敏管感光.當(dāng)滑塊經(jīng)過時，其上的遮光條把光遮住，與光敏管相連的電子電路自動記錄遮光時間的長短，通過數(shù)碼屏幕顯示出來.根據(jù)遮光條的寬度和遮光時間，可以算出滑塊經(jīng)過時的速度[1,2].因?yàn)檫@樣的計時系統(tǒng)可以測出0.001 s的時間，并且能直接以數(shù)字顯示，所以又叫數(shù)字毫秒計.

測出物體經(jīng)過光電門時的速度，進(jìn)而可以測定物體的加速度.人教版高中物理實(shí)驗(yàn)教科書必修1第一章第5節(jié)問題與練習(xí)題4如下.

【例1】為測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度，滑塊上安裝了寬度為3.0 cm的遮光板.滑塊在牽引力作用下先后通過兩個光電門，配套的數(shù)字毫秒計記錄了遮光板通過第一個光電門的時間為Δt1=0.29 s，通過第二個光電門的時間為Δt2=0.11 s，遮光板從開始遮住第一個光電門到開始遮住第二個光電門的時間為Δt=3.57 s，求滑塊的加速度.

解析：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理必修1教師教學(xué)用書給出

滑塊通過第一個光電門的平均速度為

通過第二個光電門的平均速度為

則滑塊的加速度

評價：以上解法將滑塊通過光電門的平均速度處理為瞬時速度，再利用加速度定義求出了加速度值.

1 由時間的不精確所帶來的偏差

設(shè)滑塊從瞬時速度為v1到瞬時速度為v2所經(jīng)歷的時間為Δt′

滑塊的真實(shí)加速度為a′

得到的滑塊真實(shí)加速度a′略大于a，形成偏差的原因是“將遮光板通過光電門的平均速度看作遮光板前緣通過光電門時的瞬時速度”.對于a′大于a，可以通過圖1來理解.取遮光板開始遮住第一個光電門為t=0時刻，圖中0～t2內(nèi)遮光板通過第一個光電門，時間為Δt1；t3～t5內(nèi)遮光板通過第二個光電門，時間為Δt2.t1是0～t2的時間中點(diǎn)，t4是t3～t5的時間中點(diǎn).

圖1 滑塊運(yùn)動“速度-時間”圖像

滑塊勻加速通過兩個光電門，可知

Δt1>Δt2

而0～t3表示時間Δt，t1～t4表示時間Δt′,則

加速度真實(shí)值公式為

注意到a與a′相差不大，若為粗略計算，所求的滑塊加速度a為4.76 cm/s2是完全可以的.但時間間隔Δt′和Δt差別較大，卻忽視其差別，機(jī)械地套用Δt來計算，就會導(dǎo)致錯誤.

【例2】如圖2所示，為了測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度，滑塊上安裝了寬度d為3.0 cm的遮光板.滑塊向右勻加速直線運(yùn)動依次通過兩個光電門A和B.光電門上的黑點(diǎn)處有極細(xì)的激光束，當(dāng)遮光板擋住光束時開始計時，不遮擋光束時停止計時.現(xiàn)記錄了遮光板通過第一個光電門所用的時間為Δt1=0.3 s，通過第二個光電門所用的時間為Δt2=0.10 s，光電門從第一次計時結(jié)束到第二次計時開始經(jīng)歷的時間為0.30 s，則滑塊的加速度應(yīng)為( )

圖2 測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度

A.0.67 m/s2B.0.14 m/s2

C.0.40 m/s2D.0.22 m/s2

錯解：滑塊通過第一個光電門的平均速度為

通過第二個光電門的平均速度為

則滑塊的加速度

66.7 cm/s2=0.67 m/s2

選A.

解析：光電門從第一次計時結(jié)束到第二次計時開始經(jīng)歷的時間為Δt=0.30 s，滑塊從瞬時速度為v1到瞬時速度為v2所經(jīng)歷的時間為

滑塊的加速度

正確答案選C.

評價：因題給光電門從第一次計時結(jié)束到第二次計時開始經(jīng)歷的時間為0.30 s，若從第一個光電門開始計時到第二次計時開始，所經(jīng)歷的時間就為0.60 s，再按例1方式求解其加速度為

無論是錯解中的0.67 m/s2還是0.33 m/s2均與真實(shí)加速度0.4 m/s2相差甚遠(yuǎn).究其原因，兩題中Δt1與Δt2相差無幾，但例2中Δt值不滿足遠(yuǎn)大于通過光電門時間.

2 由位移的不精確所帶來的偏差

【例3】為測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度，滑塊上安裝了寬度為d的遮光板.滑塊在牽引力作用下做勻加速運(yùn)動，先后通過兩個固定在導(dǎo)軌上相距為L的光電門.配套數(shù)字毫秒計記錄了遮光板通過第一個光電門的時間為Δt1，通過第二個光電門的時間為Δt2.將遮光板通過光電門的平均速度作為遮光板前沿通過光電門時的瞬時速度.請回答：

(1)加速度的表達(dá)式為a=________.

(2)如果操作方法正確無誤，用上述方法測得的加速度的值________(選填“大于”“等于”或“小于”)加速度的真實(shí)值.

為便于分析，在圖1中標(biāo)出字母A,B,…,G，如圖3所示.圖3中梯形OABC與GDEF的面積均等于遮光板的寬度d；梯形OADG的面積等于兩光電門間距離L.H和J兩個時刻遮光板的瞬時速度分別等于v1和v2.若用S1和S2表示梯形OAIH與GDKJ的面積，則L1=L-S1+S2.

圖3 滑塊運(yùn)動“速度-時間”圖像

分別過I和K作橫軸的平行線PQ和MN，如圖4所示.由幾何關(guān)系知，矩形OPQC與梯形OABC的面積相等，矩形GMNF與梯形GDEF的面積相等.它們均等于遮光板的寬度d.用ΔS1和ΔS2分別表示三角形API和DMK的面積，則

圖4 滑塊運(yùn)動“速度-時間”圖像中的矩形和梯形

代入L1=L-S1+S2得

L1=L+(ΔS1-ΔS2)

由于ΔS1和ΔS2也分別表示三角形IQB和KNE的面積.因?yàn)檎诠獍遄黾铀龠\(yùn)動，三角形KNE的面積小于IQB的面積，則在圖4中ΔS2<ΔS1,所以L1=L+(ΔS1-ΔS2)>L，進(jìn)而

即a>a真，則第(2)小題答案為“大于”.

3 屬于哪一類偏差問題的鑒別

在解決具體問題時，需要鑒別屬于哪一類偏差.

【例4】圖5為測量物塊與水平桌面之間動摩擦因數(shù)的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖，細(xì)線平行于桌面，物塊和遮光板的總質(zhì)量為M，重物的質(zhì)量為m，遮光板的寬度為d.讓物塊從光電門A的左側(cè)由靜止釋放.配套數(shù)字毫秒計記錄了遮光板通過光電門A和B所用的時間分別為t1和t2，遮光板從開始遮住第一個光電門到開始遮住第二個光電門的時間為Δt.求物塊與水平桌面之間的動摩擦因數(shù).

圖5 測量動摩擦因數(shù)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

解析：滑塊運(yùn)動的加速度為

設(shè)細(xì)線的拉力為T，物塊與水平桌面之間的動摩擦因數(shù)為μ，分別以物塊(包括遮光板)和重物為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律有

T-μMg=Mamg-T=ma

聯(lián)立得

評價：不考慮由時間不精確帶來的偏差所得加速度應(yīng)為

由前述知a′

圖6 測量重力加速度實(shí)驗(yàn)裝置

總之，光電門及與其配合使用的小球或遮光板都有一定的寬度，此時不能視為質(zhì)點(diǎn).最能代表光電門精確位置的是光電門的發(fā)光孔所在的位置，最能代表小球或遮光板位置的是小球球心或遮光板的前緣.這兩類位置間的差異可能造成由時間的不精確或位移的不精確帶來的偏差.解決這類有關(guān)問題的偏差時，需要認(rèn)真鑒別，再作出準(zhǔn)確判斷.