利用圖像法巧解一類均勻帶電雙圓環(huán)問題

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

對(duì)于單個(gè)均勻帶電圓環(huán)在垂直于圓面的軸線上產(chǎn)生的電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)變化具有一定的規(guī)律性.首先定性分析軸線上的場(chǎng)強(qiáng)變化特點(diǎn)，可大致畫出圓環(huán)一側(cè)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)隨距離變化的圖像如圖1所示.由于在圓心處場(chǎng)強(qiáng)為零，在無窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)也為零，那么場(chǎng)強(qiáng)必然先增大后減小，因此在軸線上的場(chǎng)強(qiáng)存在最大值，其位置離圓環(huán)很近，由此可判斷場(chǎng)強(qiáng)從零開始很快增大，然后緩慢減小.由于圓環(huán)兩側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)方向相反，則在定義域內(nèi)的整個(gè)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可根據(jù)對(duì)稱性畫出圓環(huán)另一側(cè)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)矢量隨距離變化的圖像，位于橫軸的下方.

圖1 均勻帶電圓環(huán)一側(cè)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布

由圖1可見，在原點(diǎn)O處的場(chǎng)強(qiáng)為零，其余各點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)均大于零，那么原點(diǎn)O關(guān)于場(chǎng)強(qiáng)最大值位置對(duì)稱點(diǎn)c處的場(chǎng)強(qiáng)必大于零.由此推知，在點(diǎn)O與c之間，到場(chǎng)強(qiáng)最大值位置相等距離的任意兩點(diǎn)a和b處的場(chǎng)強(qiáng)不相等，而是左側(cè)a點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)小于右側(cè)b點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)，即Ea

還可進(jìn)行定量推導(dǎo)證明.設(shè)圓環(huán)半徑為R，帶電荷量為Q，在過圓心O垂直于圓環(huán)平面的軸線上有一點(diǎn)P，到圓心的距離為OP=x，利用對(duì)稱性和微元法可推導(dǎo)出軸線上的場(chǎng)強(qiáng)隨距離變化的關(guān)系式為[1]

為了證明Ea

利用數(shù)學(xué)公式和一定的數(shù)學(xué)技巧，通過大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，可推出一個(gè)等價(jià)不等式

4l4+4R2l2-7R4<0

這是關(guān)于l2的一元二次不等式，利用拋物線的性質(zhì)和求根公式可得

對(duì)有關(guān)兩個(gè)相互平行而且正對(duì)的均勻帶電圓環(huán)在軸線上產(chǎn)生電場(chǎng)的分布特點(diǎn)問題，若用定量推導(dǎo)的方法進(jìn)行解答則很繁瑣，而利用圖像法進(jìn)行解答，可化繁為簡(jiǎn).下面利用單個(gè)圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)隨距離變化的圖像來解答兩道有關(guān)雙圓環(huán)產(chǎn)生靜電場(chǎng)的物理問題.

【例1】如圖2所示[2]，兩個(gè)相同圓環(huán)相隔一定距離同軸固定在豎直平面內(nèi)，點(diǎn)O1和O2分別為兩圓環(huán)的圓心，兩圓環(huán)均勻分布有等量異種電荷.一個(gè)不計(jì)重力的帶正電的粒子從無窮遠(yuǎn)處以某一初速度沿軸線穿過兩圓環(huán)，則帶電粒子在運(yùn)動(dòng)過程中( )

圖2 例1題圖

A.在點(diǎn)O1處粒子的加速度方向水平向左

B.從點(diǎn)O1到O2的過程中粒子電勢(shì)能一直增加

C.軸線上O1點(diǎn)右側(cè)存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)粒子動(dòng)能最小

D.軸線上O1點(diǎn)右側(cè)，O2點(diǎn)左側(cè)都存在場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)，它們關(guān)于O1與O2連線中點(diǎn)對(duì)稱

解析:對(duì)于選項(xiàng)A，需判斷O1點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)方向.右側(cè)圓環(huán)在O1點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，左側(cè)圓環(huán)在O1點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向向左，因此兩個(gè)圓環(huán)共同在O1點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向向左，那么帶正電的粒子受到的電場(chǎng)力方向向左，所以粒子的加速度方向水平向左，選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，需判斷O1與O2之間的場(chǎng)強(qiáng)方向.由于兩個(gè)點(diǎn)電荷在O1與O2之間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相同，都向左，因此合場(chǎng)強(qiáng)方向向左，所以在帶電粒子從O1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O2點(diǎn)的過程中，電場(chǎng)力始終做正功，則粒子的電勢(shì)能一直減少，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D，需尋找軸線上合場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn).對(duì)于軸線上的合場(chǎng)強(qiáng)分布特點(diǎn)，可用圖像法來分析.以O(shè)2點(diǎn)為原點(diǎn)，以軸線為x軸建立直角坐標(biāo)系，對(duì)圓環(huán)軸線的左右端而言，規(guī)定水平向左為空間場(chǎng)強(qiáng)的正方向，在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個(gè)圓環(huán)在軸線上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)隨距離變化的圖像如圖3所示.

為了在軸線上尋找合場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)，可在坐標(biāo)系中畫縱軸的平行線，分別與橫軸上方和橫軸下方的兩個(gè)圖像相交，只要兩個(gè)交點(diǎn)到橫軸的距離相等，那么縱向直線與橫軸的交點(diǎn)就表示空間合場(chǎng)強(qiáng)為零的位置，由對(duì)稱性可知，場(chǎng)強(qiáng)為零的位置共有兩點(diǎn)F和G，故選項(xiàng)D正確.

圖3 兩均勻帶等量異號(hào)電荷圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布

對(duì)于選項(xiàng)C，需判斷軸線上某點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)是否為零，而且粒子是否先受阻力，后受動(dòng)力.在O1點(diǎn)右側(cè)的合場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)F，在過該點(diǎn)的虛線的左側(cè)，兩個(gè)圖像對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)之和大于零，或者說由圖像表示的合場(chǎng)強(qiáng)大于零，表明空間合場(chǎng)強(qiáng)的方向與規(guī)定的正方向相同，即水平向左，畫一個(gè)小箭頭來表示；在虛線的右側(cè)，由圖像表示的合場(chǎng)強(qiáng)小于零，表明空間合場(chǎng)強(qiáng)的方向與規(guī)定的正方向相反，即水平向右.由此可見，在軸線上的空間合場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)是合場(chǎng)強(qiáng)的方向發(fā)生改變的位置，可知帶正電粒子向左運(yùn)動(dòng)經(jīng)過點(diǎn)F前后受到的電場(chǎng)力先為阻力，后為動(dòng)力，那么帶電粒子先減速運(yùn)動(dòng)后加速運(yùn)動(dòng)，因此帶電粒子經(jīng)過該點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能最小，故選項(xiàng)C正確.可以判斷，當(dāng)粒子經(jīng)過點(diǎn)G時(shí)動(dòng)能最大.

圖4 兩均勻帶等量異號(hào)電荷圓環(huán)距離大于時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)分布

【例2】如圖5所示[3]，兩個(gè)固定的相同細(xì)圓環(huán)相隔一定距離同軸放置，點(diǎn)x1和x2為兩圓環(huán)的圓心，兩圓環(huán)分別帶有均勻分布的等量正電荷，x軸垂直于環(huán)面而且過兩細(xì)圓環(huán)的圓心.下列說法中正確的是( )

圖5 例2題圖

A.x1點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正方向

B.x2點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正方向

C.點(diǎn)x1與x2之間沿x軸正方向電勢(shì)逐漸升高

D.點(diǎn)x1與x2之間沿x軸正方向電勢(shì)逐漸降低

解析:左側(cè)圓環(huán)在x1處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，右側(cè)圓環(huán)在x1處的場(chǎng)強(qiáng)方向向左，因此兩個(gè)圓環(huán)共同在x1處的場(chǎng)強(qiáng)方向向左，即沿坐標(biāo)軸負(fù)方向，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.左側(cè)圓環(huán)在x2處的場(chǎng)強(qiáng)向右，右側(cè)圓環(huán)在x2處的場(chǎng)強(qiáng)為零，因此兩個(gè)圓環(huán)共同在x2處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向向右，即沿坐標(biāo)軸正方向，選項(xiàng)B正確.

圖6 兩均勻帶等量正電荷圓環(huán)間距為時(shí)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布

由于極值點(diǎn)兩側(cè)到場(chǎng)強(qiáng)最大值位置相等距離的兩點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)不相等，因此在軸線上的合場(chǎng)強(qiáng)為零的位置只有一個(gè)，即為點(diǎn)x1和x2連線的中點(diǎn).可知合場(chǎng)強(qiáng)的方向先向左，后向右，那么沿x軸正方向的電勢(shì)先升高，后降低，故選項(xiàng)C和D都錯(cuò)誤.

圖7 兩均勻帶等量正電荷圓環(huán)間距小于時(shí)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布

圖8 兩均勻帶等量正電荷圓環(huán)間距大于時(shí)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布