一維有限深方勢阱中的束縛態*

陳曉云

(金陵科技學院理學院 江蘇 南京 211169)

1 引言

一維有限深方勢阱中粒子的運動性質，一直是量子力學中的基礎問題[1～3].在所有量子力學教材中，如文獻[1,2]，都明確指出一維有限深對稱方勢阱中運動的粒子至少存在一個束縛態，且不需要滿足任何條件，但是在文獻[3]中，作者認為一維有限深對稱方勢阱中運動的粒子存在束縛態需要滿足一定的條件，該結論與量子力學教材的結論存在矛盾.本文指出了文獻[3]存在的問題，同時給出了一維對稱、一維半壁有限深勢阱中運動的粒子存在多個束縛態滿足的條件.

2 一維有限深方勢阱中束縛態能級的求解

2.1 對稱方勢阱

一維有限深方勢阱示意圖如圖1所示.

圖1 一維有限深對稱方勢阱

考慮一個質量為m的粒子在一維有限深對稱方勢阱中的運動，對稱方勢阱可表示為

(1)

其中，2a為勢阱的寬度，U0為勢阱深度.

在勢阱內(|x|≤a)和勢阱外(|x|>a)，薛定諤方程為

(2)

(3)

式(2)可化簡為

(4)

其中k1，k2均為大于零的實數．方程(4)的通解為

(5)

A1,A2,B1,B2,C1,C2為待定常數．

考慮束縛態條件|x|→時，ψ(x)→0，和波函數在x=±a處的連續性條件

(6)

(7)

可得

(8)

式(8)有非零解的充分必要條件是

(9)

化簡得

(10)

(11)

式中g為常量，且α,g的量綱均為1．對于束縛態，因為0

2.2 半壁有限深方勢阱

將1.1節中的U(x)換成下述式(12)的形式，就可以考慮一質量為m的粒子在一維半壁有限深方勢阱中的運動

(12)

重復上述推導，可以得到能量E滿足的超越方程為

(13)

下面利用Mathematica軟件用圖解法求解超越方程(11)與(13).

2.3 圖解法求解超越方程

令

利用Mathematica的畫圖命令：Plot[f(α),{α,0,1}],可以得到函數f(α)的圖形如圖2所示.

(a)

(b)

圖2給出了當g取不同數值時，函數f1(α)和f2(α)隨著變量α(0<α<1)的變化曲線圖．表1列出了對應于不同g值的對稱勢阱系統存在的束縛態能級．

表1 不同g值下一維有限深對稱勢阱存在的束縛態能級

從圖2和表1，可以看到，隨著g值的增加，曲線與α軸的交點數目增多，即束縛態能級的個數隨之增加，并且存在如下規律：

(1)對于對稱勢阱，當0

(2)通過細致調節g值的大小，可以得到如下規律： 對于對稱勢阱，當π

因此我們可以看到，對于對稱勢阱，不需要滿足任何條件，當g取任意值時，即不管勢阱的寬度、深度、粒子的質量取何值，粒子都會存在束縛態，且存在(n+1)個束縛態的條件為

nπ

(14)

而對于半壁勢阱，當且僅當g≥π時，才會有束縛態的出現，且運動粒子存在n個束縛態的條件為

(2n-1)π≤g<(2n+1)π

(15)

我們的結論和量子力學教材是一致的，但是式(14)和文獻[3]的結論存在矛盾，通過對文獻[3]的推導過程仔細檢查后發現，在文獻[3]中，利用三角函數和角公式將式(8)變成式(9)時出現了錯誤．正確的推導過程如下：

文獻[3]中，式(8)和本文中式(10)的定義一致

下面對該式進行化簡．

則

定義

所以

sin (2k1a+φ)=

sin 2k1acosφ+cos 2k1asinφ=

即式(10)可化簡為

(16)

sin (2k1a-φ)=sin 2k1acosφ-cos 2k1asinφ=

則式(10)可化簡為

(17)

在本文中，我們只需用圖解法直接求解方程(10)，即可得到區間(0,U0)的束縛態能級，無需將勢阱U0劃分成兩個區間，這樣使得問題更簡單更明了．

3 結束語

本文對一維有限深對稱方勢阱和半壁勢阱中運動粒子的束縛能存在的條件進行了探究，計算結果表明，對于一維有限深對稱方勢阱，粒子束縛能的存在與勢阱的寬度、深度和粒子的質量無關，肯定會有束縛態的存在；而在半壁勢阱中，束縛態的出現是有條件的．這個條件可以用來解釋原子分子物理中的現象，即兩個粒子之間存在吸引不一定能夠形成束縛態.因為我們在解兩體問題的時候，引入雅可比坐標將兩體問題化成單體問題時，在中心立場下，考慮基態情況，在球坐標系中，此時系統滿足的薛定諤方程和一維半壁有限深勢阱滿足的方程一致.因此,即使這兩個粒子之間存在吸引，也不一定能夠形成束縛態．并且，分別給出了在兩種勢阱中運動的粒子存在n個束縛態的條件，指出了早期文獻存在的問題．