均布荷載和跨中集中荷載作用下簡支鋼梁臨界彎矩

2021-03-25 07:39:38張文福厲昱秀杭昭明

東北石油大學學報 2021年1期

張文福，厲昱秀，杭昭明，嚴威，黃斌

( 1. 安徽建筑大學土木工程學院，安徽合肥 230601； 2. 南京工程學院建筑工程學院，江蘇南京 211167； 3. 東北石油大學土木工程學院，黑龍江大慶 163318 )

0 引言

為了節省材料，鋼梁截面通常制作成長而窄的形式，缺點是繞強軸和弱軸的慣性矩相差較大[1-2]，易發生彎扭屈曲。《鋼結構設計規范》中，對于鋼結構整體穩定性的計算多基于簡支梁的，且荷載形式單一。實際工程中，鋼梁通常受集中荷載、滿跨均布荷載或端彎矩等兩個及兩個以上荷載作用。

VLASOV V Z[3]提出滿跨均布荷載和跨中集中荷載作用下簡支梁的平衡微分方程。GALAMBOS T V等[4]將側移和轉角表述為單個三角函數，根據經典能量方程，給出滿跨均布荷載和跨中集中荷載作用下一階近似解析解和算例。CHALLAMEL N等[5]推導矩形截面懸臂梁在跨內和懸臂端同時作用兩個集中荷載的精確計算式。有關單一荷載作用下鋼梁的整體穩定性研究較多，有關多種荷載作用下的屈曲問題研究不多。古昀蒙等[6]采用ANSYS有限元分析軟件，對在端部負彎矩與集中荷載作用下鋼梁進行彎扭屈曲研究，給出簡潔的回歸方程。劉占科等[7]采用單個三角函數表述側移和轉角，根據能量方程,推導單一荷載作用下鋼梁臨界彎矩系數及公式，分析復合荷載作用下系數與單一荷載作用下系數的關系，研究復合荷載作用下鋼梁發生彎扭屈曲時臨界彎矩的計算式，分別提出等效彎矩系數，給出7種常見工況下等效彎矩系數的計算式。

采用無窮級數可以獲得簡支梁和連續梁彎扭屈曲方程的精確解。張文福[2]、樊友景[8]研究均布荷載作用下雙跨梁的彎扭屈曲問題，進行彎矩作用下工字鋼的橫向扭轉屈曲分析，引入量綱一參數[8,20]得到臨界彎矩量綱一的解析解。基于板—梁理論[2,9-19]，張文福等給出彈性支撐下簡支梁和懸臂梁的精確屈曲方程，研究規范公式的適用性。關于復合荷載下鋼梁彎扭屈曲的研究多數是利用單個三角函數表述側移和轉角，利用能量法獲得復合荷載作用下鋼梁的臨界彎矩近似解析解。筆者采用無窮級數表述側移和轉角，根據能量方程，推導均布荷載和跨中集中荷載作用下單軸對稱工字形簡支鋼梁的精確彎扭屈曲方程(量綱一形式)，得到臨界彎矩近似解析解，利用ANSYS有限元軟件進行驗證，為建立該類連續梁的設計公式提供指導。

1 計算模型

均布荷載與跨中集中荷載作用下單軸對稱工字形簡支鋼梁(簡支梁)計算模型見圖1，其中q為均布荷載，P為跨中集中荷載，L為簡支鋼梁跨度，C(0,0)為截面形心，S(0,y0)為截面剪心。

2 彎扭屈曲臨界彎矩計算

2.1 模態試函數

對于均布荷載和跨中集中荷載作用下單軸對稱工字形簡支鋼梁彎扭屈曲的位移和轉角，選用傅里葉級數表達精確模態試函數，其形式為

(1)

(2)

式(1-2)中：u(z)、θ(z)分別為簡支梁屈曲時截面的側向位移和繞剪切中心的扭轉角，是變量z的函數；Am、Bn為待定因數；h為上下翼緣板形心之距，使Am成為量綱一參數[2]。

模態試函數滿足簡支梁的邊界條件為

u(0)=u″(0)=0;u(L)=u″(L)=0;θ(0)=θ″ (0)=0;θ(L)=θ″(L)=0。

(3)

2.2 內力函數

為簡便計算，假設跨中集中荷載P與均布荷載q的關系為

P=βqL,

(4)

式中：β為集中荷載與均布荷載合力之比。

簡支鋼梁任意截面的彎矩表達式為

(5)

由式(5)可得跨中最大彎矩為

(6)

2.3 總勢能方程

簡支鋼梁彎扭屈曲的總勢能表達式為

(7)

以傅里葉級數表示位移與轉角模態試函數，應用Mathematica軟件進行積分，為清晰表達僅列出分項結果：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

簡支梁彎扭屈曲的總勢能方程可表示為

(13)

將積分結果乘以L3/(h2EIy)，引入量綱一參數為

(14)

總勢能方程可進一步表示為量綱一的形式：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(15-19)疊加可得簡支鋼梁彎扭屈曲的量綱一總勢能方程。

2.4 屈曲方程及解析解

根據勢能駐值原理，對量綱一廣義坐標An求偏導

(20)

得到關于An的屈曲方程為

(21)

為便于求解，式(21)可用矩陣形式表示為

(22)

(24)

根據勢能駐值原理，對量綱一廣義坐標Bn求偏導

(25)

得到關于Bn的屈曲方程為

(26)

將式(26)用矩陣形式表示為

(27)

其中

0Qs,r=0,s≠r,s=1,2,…∞,r=1,2,…∞。

(29)

將式(22)和式(27)合并，簡支鋼梁量綱一屈曲方程為

(30)

由式(30)求解的最小特征值，為均布荷載和跨中集中荷載作用下簡支梁彎扭屈曲量綱一臨界彎矩的解析解。若所選模態試函數的項數足夠使屈曲方程解收斂，則可得屈曲荷載的精確解。

2.5 收斂性驗證

從數值求解考慮，無窮級數表示的模態試函數的項數只能取有限項，文中取80項，采用Matlab程序求解式(30)的特征值屈曲問題。對截面A和截面B(截面參數見表1)兩種雙軸對稱和單軸對稱的簡支鋼梁在均布荷載和跨中集中荷載作用下的屈曲臨界彎矩解的收斂性進行分析，結果見圖2，其中β=1，L=8 m，關于特征值收斂問題的判據由式(31)表示。其中s=3時，在均布荷載與跨中集中荷載作用下，截面A上翼緣、剪心、下翼緣分別收斂于50項、56項、62項；截面B上翼緣、剪心、下翼緣分別收斂于77項、73項、78項。當簡支鋼梁在均布荷載和跨中集中荷載作用下的屈曲臨界彎矩解收斂時，級數解即為精確解。為便于后續數值計算，近似認為當級數取80項時收斂。

(31)

2.6 一階近似解析解

一階近似解析解即模態函數取1項時的解析解。驗證屈曲方程式(30)理論推導的正確性。量綱一屈曲方程用矩陣形式表示為

(32)

為使A1、B1不同時為0，有

(33)

圖2 不同項數時屈曲臨界彎矩解收斂性驗證

即

(34)

式(34)的解為

(35)

其中

(36)

式(35)為均布荷載和跨中集中荷載作用下單軸對稱工字形簡支鋼梁彎扭屈曲的量綱一臨界彎矩一階近似解析解。

3 有限元分析

3.1 有限元模型

為了驗證式(35)的可靠性，選用兩種工字形截面鋼梁(見表1)。

表1 鋼梁截面尺寸

簡支梁由3塊鋼板焊接而成，采用SHELL181有限應變殼單元進行模擬，有4個節點、6個自由度，即沿X、Y、Z方向的位移自由度和繞X、Y、Z的轉角自由度。沿高度方向劃分10個單元，沿長度方向劃分100個單元，沿上下翼緣寬度方向劃分8個單元。為防止簡支梁模型過早出現畸變屈曲或局部屈曲，采用新的剛周邊模擬方法[2]，比常規的設置加勁肋的方法更加簡潔實用，且不增加梁的剛度，通用性更強，還可以單獨將上下翼緣設置為剛性、腹板設置為柔性，較好解決鋼梁畸變屈曲的FEM模擬問題。

為了驗證FEM模型的可靠性，分別采用規范方法和FEM對鋼梁在均布荷載和跨中集中荷載作用下的臨界彎矩進行驗證。截面尺寸見表1，鋼梁的跨度分別為8、12、16 m。以A、B截面為例，FEM模擬解和規范解結果見表2-3。由表2-3可見，FEM模擬在均布荷載作用下最大誤差為2.16%，在跨中集中荷載作用下最大誤差為2.73%，二者誤差小于5%，證明有限元模型的可靠性。