基于藤Copula的HAR模型擴展

楊濤 付英姿 李薛莎

摘要：波動率可以衡量金融市場風險，在資產配置和風險管理等方面有重要意義。文章在基于高頻交易數(shù)據(jù)的HAR模型上對其進行修正，利用藤Copula對HAR模型涉及的四個波動率成分聯(lián)合建模（CV-HAR模型），并基于歷史數(shù)據(jù)的條件期望提取波動率預測值。實證分析以上證交易所的20支股票作為研究樣本，對CV-HAR模型和歷史模型（HAR）性能進行評估，結果表明，CV-HAR模型克服傳統(tǒng)模型線性結構限制，并充分描述了聯(lián)合分布依賴關系，在對未來波動率的預測行為方面更加精準。

關鍵詞：波動率;藤Copula;HAR模型

一、引言

金融資產波動率的估計與預測是金融計量經濟學的主要研究領域。自Andersen和Bollerslev（1998）首次利用高頻交易數(shù)據(jù)提出的已實現(xiàn)波動率（RV）以來，高頻數(shù)據(jù)成為研究波動率的重要手段。隨后Corsi（2004，2009）根據(jù)異質市場假說理論，將市場波動劃分為三種波動形式（短期波動、中期波動和長期波動），提出了異質自回歸已實現(xiàn)波動率模型（HAR-RV），其實證結果表明該模型的預測能力明顯優(yōu)于GARCH和ARFIMA-RV等波動率預測模型。與此同時，許多學者在HAR族模型基礎上構建新的預測模型，提高模型對市場波動率的預測能力。

HAR族模型最大的一個特點就是線性，受特定的回歸形式所限制，這使得模型在預測方面沒有很好的應用。一般回歸問題的表達式為RV=f（X，β）=IE[RV|X]，其中X是回歸向量，β是參數(shù)向量。本文的工作是直接利用條件分布函數(shù)FRV|X計算得到IE[RV|X]，其中條件分布函數(shù)可由聯(lián)合分布FRV，X獲得。該方法并沒限制回歸函數(shù)的特定形式，而是通過聯(lián)合分布函數(shù)來確定函數(shù)變量間相關關系。Copula（Nelsen，2000）將復雜的聯(lián)合分布拆分為單變量的邊緣分布和變量間的相關結構來獨立研究，能夠更加靈活地描述變量間復雜依賴關系。Sokolinskiy和van Dijk（2011）提出了一種基于Copula的已實現(xiàn)波動率（RV）估計方法和預測方法，實證分析表明Copula可以靈活而簡潔地捕捉波動率相關特征，在預測方面的準確性和效率都由于傳統(tǒng)預測方法（HAR模型）。而本文主要是對HAR模型進行修正，即對三種不同的波動率成分使用Copula函數(shù)進行聯(lián)合建模。在選取Copula函數(shù)時，本文采用了更為靈活地藤Copula（Joe，1996）來描述多個變量間的相關關系。藤Copula把多元聯(lián)合密度函數(shù)分解為條件邊緣分布密度函數(shù)和一系列Pair-Copula的乘積。

因此，本文利用藤Copula在HAR模型上對回歸函數(shù)進行一般化，通過條件分布函數(shù)確定（簡稱CV-HAR模型）。在實證分析中，本文考慮了2015～2019年上證交易所20支股票的高頻交易數(shù)據(jù)，并采用不同的估計和預測方案來評估本文模型與HAR模型。

二、理論

（一）HAR模型

1. 已實現(xiàn)核（Realized Kernel，RK）波動率

令pt表示t時刻的對數(shù)資產價格，假設每日有M個觀測值，為{p1，…，pi，…，pM}，則每日已實現(xiàn)波動率（RV）為：

Barndorff-Nielsen（2008）提出的已實現(xiàn)核（RK）波動是一種新的波動率非參數(shù)估計方法，該方法在最優(yōu)時間窗口構造RV的核密度估計式。RK能有效濾出噪音更貼近于真實波動率，其估計形式如下：

其中，γh為自協(xié)方差過程，wh=（w-H，…，w-1，w0，w1，…，wH）′是核加權函數(shù)。

2. HAR-RK模型

HAR模型的理論基礎是異質市場假說，將異質市場中的交易者分為短期交易者、中期交易者和長期交易者，分別表現(xiàn)為昨日已實現(xiàn)核波動率（RK）、周已實現(xiàn)核波動率（RK）和月已實現(xiàn)核波動率（RK）。則HAR-RK模型可表示為：

其中RK是今日已實現(xiàn)核波動率，β0是截距項，β（d）、β（w）和β（m）分別表示周以及月已實現(xiàn)核波動率的回歸系數(shù)，εt是具有獨立性和零均值特點。

（二）CV-HAR模型

HAR模型中實質上是RK滯后項的線性組合，該模型存在著模型結構固化和無法描述非線性特征的缺陷。本文研究RK，RK，RK，RK的聯(lián)合分布F，并通過提取條件分布F得到RK的條件期望：

式中εt為隨機誤差項。該模型可以作為式（3）的一般化，HAR模型的f是線性函數(shù)，而本文討論的模型是無固定結構的條件期望形式。因此，本文利用藤Copula對四種波動率的聯(lián)合分布進行建模，該方法在多變量聯(lián)合建模方面優(yōu)勢尤為突出。

1. CV-HAR定義

由于四種波動率（RK，RK，RK，RK）的特殊性，本文使用C藤Copula對這四種波動率進行建模（簡稱CV-HAR）。C藤是所有藤中最常見的一個子類，具有典型的“星型”結構，其中每棵樹都有一個唯一的節(jié)點連接其他所有節(jié)點。假設d有個變量（X1，X2，…，Xd），F(xiàn)表示分布函數(shù)，f表示密度函數(shù)，則C藤的密度函數(shù)有如下分解式：

關于C藤結構的確定，通過變量間的相關關系簡化其選擇問題，使其結構更有解釋性。本文四種波動率在時間方面是存在特殊關系的，由于月已實現(xiàn)核波動率（RK）驅動著其他三種波動率，因此將RK作為C藤中第一棵樹的中心節(jié)點。同理，考慮四種波動率中當前波動率會受到歷史波動率的影響，可得到C藤的結構圖如下。

其中，第一棵樹所有的依賴關系都是是RK與其他波動率之間的，最后一個樹中描述在周和月的已實現(xiàn)核波動率條件下今日和昨日波動率（RK和RK）之間的關系。

2. CV-HAR模型估計與條件期望

關于CV-HAR模型的估計，本文采用邊際推斷函數(shù)法（IFM）：

（1）估計四種波動率的邊際分布函數(shù)。本文采用以下方法進行估計：參數(shù)估計（偏t分布）;核密度估計;經驗分布函數(shù)估計（ECDF）。

（2）藤結構的確定。由于變量特殊性，C藤呈現(xiàn)一個特殊的結構圖（見圖1）。

（3）利用信息準則（AIC或則BIC）對所有雙變量Copula進行選擇。其中存在類似C23|1的雙變量Copula包含條件分布函數(shù)F3|1和F2|1，可以通過下式求得：

其中v是m維向量，vj是v的任意分量，v-j是v從中除去vj的m-1維向量，C（·，·）是雙變量Copula函數(shù)。

（4）利用式（11）可得基于C藤結構的多元變量聯(lián)合分布。

對于評估條件期望IE[X|v]的首要條件是計算條件分布函數(shù)，而條件分布函數(shù)可以通過藤分解遞歸地求出見式（6）。

三、實證分析

（一）數(shù)據(jù)描述

為體現(xiàn)出CV-HAR模型性能的一般性特征，本文隨機挑選了上海證券交易所中20支股票的5分鐘高頻交易數(shù)據(jù)作為研究樣本。數(shù)據(jù)來源于微盛投資（http：//www.wstock.net/），樣本的跨度為2015年1月至2019年12月，共計1219天。由于需要計算今日已實現(xiàn)核波動率（RK）、昨日已實現(xiàn)核波動率（RK）、周已實現(xiàn)核波動率（RK）和月已實現(xiàn)核波動率（RK），數(shù)據(jù)需要從第23天開始截斷，因此觀測數(shù)據(jù)一共1197個。

（二）估計和預測方案

本文在三種不同的方案下，分別對HAR模型和CV-HAR模型進行估計，并制定相應的預測措施。

1. 固定窗口（Fixed Window，F(xiàn)W）

將分別使用W={500，750，1000}個觀測值進行模型估計。第1天到第W天的觀測部分用于樣本內分析，其余W+1天到最后一天用于樣本外分析。

2. 增加窗口（Increasing Window，IW）

首先估計1到初始值W0天的HAR模型和CV-HAR模型，然后依次改變W=W0+i，i=1，…，1191-1-W0，并重新對1到W天進行估計，每次估計都進行一次提前一步預測（即預測W+1天）。初始值W0={500，750，1000}。

3. 滾動窗口（Rolling Window，RW）

類似于增加窗口（IW），不同的是估計的時間窗口是滾動變化。初始值為W0={500，750，1000}，對W-W0到W天進行模型估計，并預測W+1天的波動率值。

本文選取四種常見的損失函數(shù)來評價HAR和CV-HAR模型的性能：均方誤差（MSE）、平均絕對誤差（MAE）、異質調整均方誤差（HMSE）和異質調整平均絕對誤差（HMAE）。

（三）結果分析

首先，利用固定窗口對HAR模型和CV-HAR模型進行估計。表1的結果顯示，固定窗口的大小對模型的結果有重要的影響，隨著窗口的擴大，四種損失函數(shù)都有著顯著的改善。將模型結果分為樣本內和樣本外分析，可以看出呈現(xiàn)的結果有明顯的區(qū)別。樣本內的結果顯示HAR模型總體上表現(xiàn)出更好的性能，而樣本外的結果顯示CV-HAR模型都有著明顯的優(yōu)勢。HAR模型在樣本內有著很好的擬合效果，但不能應用于對未來的預測，然而CV-HAR模型利用藤Copula的靈活性，充分描述了波動率之間的依賴關系，對未來的預測提供了更可靠結果。此外，在擬合CV-HAR模型的三種邊際擬合函數(shù)中，經驗分布函數(shù)擬合效果最佳，經驗分布函數(shù)估計不受模型的限制，很好地刻畫了波動率的分布。圖2給出了關于HAR模型和CV-HAR模型的樣本外預測圖，圖中HAR模型的預測值整體上高估了RK值，而CV-HAR模型更加接近真實的值。

其次，表2展示的是HAR模型和CV-HAR模型在不同窗口下的三種樣本外預測方案的性能比較。最為明顯是在任意窗口下的不同預測方案呈現(xiàn)的結果都表明CV-HAR模型都要比HAR模型更優(yōu)秀，這說明本文考慮的模型的確克服了HAR固有的模型限制，并且允許非線性特征的存在，更加靈活地構建了波動率間的依賴關系，從而獲得更精準的預測結果。此外，表中基于IW和RW方案的預測結果都顯著的比FW方案好，這是因為IW和RW方案考慮了變量間的時變特征，這種變化是FW方法無法描述的。圖3給出了CV-HAR模型在IW方案下的Copula依賴關系變化趨勢。可以看出，隨著時間的變化，雙變量Copula的選擇各不相同，其Kendall's Tau相關系數(shù)也會隨著變化，這充分展現(xiàn)了Copula靈活刻畫變量間依賴關系的特點。

四、結語

本文使用藤Copula對不同尺度波動率形式的聯(lián)合分布進行建模，并在此基礎上對波動率進行預測分析。在實證分析中，本文收集了上海證券交易所中20支股票的5分鐘高頻交易數(shù)據(jù)（計算已實現(xiàn)核波動率，RK）作為研究樣本，并采用了不同的建模和預測方案（FW、IW和RW）來比較模型的性能。研究分析表明本文模型相比于HAR模型有著明顯的優(yōu)勢，CV-HAR模型不將任何函數(shù)結構強加于條件期望（即變量間的線性關系），而是借助藤Copula允許更一般的函數(shù)連接不同波動率形式，對波動率的條件期望估計考慮了直接從聯(lián)合分布中提取，并沒有任何函數(shù)形式限制，放寬了原始HAR模型線性形式，結果也顯示都很大程度上的改進。

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（作者單位：昆明理工大學理學院）