∞點的性質在復積分計算中的應用研究

楊勇 劉思含 黃玲艷 楊學鳳 趙艷輝

摘要：本文根據留數定理和相關結論，主要討論以下沿閉曲線的積分問題：當閉曲線圍成的區域內被積函數的孤立奇點個數較多或者極點的階數較高時，通過無窮遠點的留數簡化計算。并簡化了文獻[5]—[6]中的相應結論，使其更方便于理解和應用。

關鍵詞：復積分;無窮遠點;孤立奇點;留數定理

解析函數是《復變函數論》研究的中心問題，而與函數解析相對立的概念是函數的奇點，其中的孤立奇點是解析函數的奇點中最簡單也最重要的一種類型，在孤立奇點的去心鄰域內，以解析函數的洛朗展式為工具可以很好地研究該解析函數的性質。由于函數f（z）在點∞總是無意義的，所以點∞總是f（z）的奇點。若點∞是f（z）的孤立奇點，則通過其在去心鄰域內的洛朗展式可以討論函數在無窮遠處的性質，其中一個重要的結論是函數f（z）在點∞的留數是其洛朗展式中負一次冪的系數的相反數。根據留數定義可以把沿閉曲線的曲線積分問題轉化為求孤立奇點處的留數問題。

關于留數的計算，一般的《復變函數論》教材都有詳細的討論。在文獻[1]—[3]中對一些特殊函數的留數問題進行了討論，得到了相應的計算方法;在文獻[4]中介紹了沿閉曲線的積分可用柯西積分公式、高階導數公式、留數定理等方法計算;而在文獻[5]—[6]則討論了含點∞的區域的柯西積分公式和留數定理。

本文根據留數定理和相關結論，主要討論以下沿閉曲線的積分問題：當閉曲線圍成的區域內被積函數的孤立奇點個數較多或者極點的階數較高時，通過無窮遠點的留數簡化計算。并簡化了文獻[5]-[6]中的相應結論，使其更方便于理解和應用。

1 有關引理和定義

4 結論

根據復合閉路定理，定理1-3的區域D和邊界C可以有更一般的形式：即區域D是擴充復平面上含點∞的區域，其邊界C由有限條互不包含且互不相交的周線C1，C2，…，Cn組成，即C=C1+C2+…+Cn，結論也成立。

∞處的函數性質能夠將復雜的復積分計算問題轉化為求某個函數值的問題，從而大大精簡了運算的過程和減輕了計算積分的難度。

參考文獻：

[1]沈艷微，李金枝.留數定理及其應用[J].黑龍江科技信息，2016，（01）：34.

[2]馬建清.一類分式的留數計算方法[J].高等函授學報.（自然科學版），2012，25（06）：49-50.

[3]廖為.孤立奇點處留數的計算方法[J].科技創新與生產力，2012，（12）：105-106.

[4]孫寶山.沿閉曲線積分的計算方法探討[J].科技經濟導刊，2016，（33）：204.

[5]趙天玉，魏晶，陳忠.含無窮遠點區域的柯西積分公式及其推廣[J].長江大學學報（自科版），2015，12（28）：1-4+91.

[6]王見勇.無窮遠點的留數計算及留數定理的推廣[J].高等數學研究，2004，7（01）：22-24+53.

[7]鐘玉泉.復變函數論[M].高等教育出版社，2013（8）.