未知參數小模數齒輪齒距和齒廓偏差視覺測量

湯 潔，劉小兵，李 睿

（北京工業大學北京市精密測控技術與儀器工程技術研究中心，北京100124）

1 引 言

小模數齒輪由于齒輪尺寸小、齒槽間隙小的幾何特點在齒輪分析式測量中受限制，小模數齒輪慣性小、輪齒剛性差的機械特點也對齒輪綜合測量產生了影響［1-3］。在接觸式測量中，測頭難以進入小模數齒輪的齒槽間隙，操作難度高，容易損壞測頭；小模數齒輪裝夾困難，產生的安裝誤差對齒距偏差和齒廓偏差的測量產生影響［4-6］。為了克服上述問題，人們采用光學方法對小模數齒輪進行測量。該方法主要分為兩種：基于相移法的齒輪測量和基于視覺的齒輪測量?；谝曈X的齒輪測量具有高精度、高效、無損、成本相對較低、自動化程度高、易于實現在線測量等優點［7-11］，對于小模數齒輪的高精度測量具有較大的優勢。

文獻［12］搭建的基于機器視覺的齒輪幾何參數測量系統，實現了直齒圓柱齒輪各項參數的測量，該系統對于齒頂圓尺寸為156 mm的齒輪的測量誤差為±0.101 mm。文獻［13］利用CCD相機獲取沿齒輪廓形運動的探針圖像，實現了齒輪齒面誤差的測量。文獻［14］采用機器視覺測量技術開發了直齒圓柱齒輪幾何尺寸測量系統。文獻［15］通過計算機視覺技術，完成了對模數為5 mm齒輪齒距累積總偏差的測量，可適用于中模數齒輪的測量。文獻［16］通過裝夾定位，利用圖像拼接技術，完成了對中小模數齒輪齒廓總偏差的測量，與三坐標測量結果對比，最大誤差不超過3μm。

基于視覺的齒輪測量技術得到了一定的研究和應用。為了實現小齒輪模數齒輪的高測量精度，本文在搭建的小模數齒輪視覺測量系統中，對未知參數的小模數齒輪測量其基本參數，根據ISO 1328-1：2013對齒輪的齒距偏差和齒廓偏差［17-18］進行評定，開發小模數齒輪測量視覺測量數據處理軟件，并開展試驗研究。

2 小模數齒輪視覺測量系統

2.1 測量系統

小模數齒輪視覺測量系統的測量原理如下：對測量系統標定后，將被測小模數齒輪置于視場范圍內，通過面陣CMOS相機和遠心鏡頭獲取被測齒輪圖像，再獲取其邊緣坐標信息，并進行邊緣位置偏差的補償，測量得到齒輪幾何中心等基本參數，并在此基礎上進行齒面的齒廓偏差和齒距偏差評定。

小模數齒輪視覺測量系統結構框圖如圖1所示。工作臺上置有光源，其上方放置被測小模數齒輪，面陣CMOS相機搭載遠心鏡頭置于被測齒輪正上方，經圖像采集卡獲取圖像，在計算機上進行了數字圖像處理及數據處理。

圖1 小模數齒輪視覺測量系統Fig.1 Visual measurement system for small modulus gears

用已標定的小模數齒輪視覺測量系統，以小模數齒輪為測量對象進行圖像預處理，主要為了消除噪聲對圖像的影響；經灰度閾值分割使小模數齒輪與背景分離，提取其亞像素邊緣，獲得其物理坐標，經擬合測量反求出齒輪的基本參數，再進行齒面偏差評定。測量流程如圖2所示。

圖2 小模數齒輪測量流程Fig.2 Measurement procedure of small-modulus gears

2.2 像素當量標定

視覺測量中，為了得到物體的被測尺寸參數，需要建立像素尺寸和實際物理尺寸的對應關系，需要標定每個像素代表的實際尺寸，即像素當量。像素當量的標定精度直接決定視覺系統的測量精度。

像素當量標定流程如圖3所示。利用標定板的圖像特征，通過閾值分割找到標定板的內部區域；再利用亞像素邊緣提取方法來提取標定板各個圓標志點的邊緣，并通過最小二乘法擬合成圓，提取出每個圓心的中心坐標作為像素當量標定的特征點。通過比較同一行中相鄰圓標志點之間的圓心距物理尺寸設計值和像素數量，得到同一行的像素當量；再由多個同一行的像素當量的平均值作為系統像素當量標定值，表示為：

式中：Ka為每次測量得到的像素當量，S為標定板相鄰圓點圓心距物理尺寸設計值，Pa為相鄰圓標志點的像素數量，b為測量次數。

像素當量標定實驗流程如下：在進行系統標定時，將圓點標定板（如圖4所示）放置在鏡頭視野中心，采集標定板圖像，對采集到的圖像利用閾值進行圖像分割，采用Halcon提供的Canny算子提取每個標志圓點的亞像素輪廓，用最小二乘法擬合成圓，獲取到每個圓標志點的中心。測量出圓點標定板中同一行6個相鄰圓標志點的圓心距像素的尺寸Pa，共測量7行圓標志點。通過公式（1）計算得到像素當量K為5.595 2μm/pixel［19］。由像素當量K反算得到像素當量標定中所用的42個圓心距的實際物理尺寸，得到圓心距物理尺寸的標準偏差為0.1μm。

圖3 像素當量標定流程Fig.3 Pixel equivalent calibration procedure

圖4 圓點標定板Fig.4 Polka-dot calibration plate

3 齒距偏差和齒廓偏差評定

3.1 齒輪基本參數測量

3.1.1 齒輪幾何中心

齒輪的內孔作為齒輪加工的基準，其內孔的中心作為齒輪幾何中心用于參數測量和齒面偏差評定，符合基準統一原則。提取內孔亞像素邊緣輪廓，通過獲得邊緣輪廓上的亞像素坐標點數組Pj(xj，yj)，j=1，2，...，n，由最小二乘原理推導出最圓亞像素級擬合公式：

求出齒輪中心坐標O(x0，y0)，即測量基準：

3.1.2 齒 數

這里基于形態學的方法快速且準確地獲取齒數，測量流程如圖5所示。

對采集到的圖像進行二值化處理，二值化灰度閾值設為64（256/4），以便獲得完整的齒輪區域；再進行開運算，除去試件外毛刺和孤立小點等影響，而總體位置和形狀不變；對圖像進行腐蝕運算，并與二值化的區域進行求差運算。由于差集后的區域可能存在不連續的微小區域，需要再進行腐蝕運算，之后所剩區域個數，即為齒數z。

圖5 齒數測量流程Fig.5 Flow chart of tooth number measurement

3.1.3 齒頂圓直徑、齒根圓直徑和模數

以齒輪測量中心O(x0，y0)作為原點，逐個向齒頂做檢測線OA，向逐個齒根做檢測線OF，間隔角度為1°，檢測線如圖6所示。

圖6 齒頂圓與齒根圓檢測線Fig.6 Detection line for tooth addendum and dedendum

齒頂圓檢測線OA與齒輪亞像素邊緣的逐個齒頂邊緣相交，其中與原點O(x0，y0)之間的直線距離最大值的交點坐標為Ai(xAi，yAi)，i=1，2，...，z；同理可得到齒根圓檢測線OF與在齒根處的最小值的交點坐標為Fi(xFi，yFi)，i=1，2，...，z。

可利用O(x0，y0)與A兩點之間距離的最大值rAi(i=1，2，...，z)的均值計算齒頂圓直徑da，與F之間距離的最小值rFi(i=1，2，...，z)的均值計算齒根圓直徑df。對于小模數齒輪來說，齒頂高系數h*a=1，計算得到：

其中m為模數。如果待測齒輪模數為標準值，則可以對式（6）得到的結果用標準模數比較接近的模數值確定最終模數m。

3.2 齒距偏差評定方法

齒距偏差反映了齒輪的加工精度，影響傳動過程的平穩性，是精度指標主要的偏差項目之一。齒距偏差評定流程如圖7所示。對采集的齒輪圖像進行預處理后，提取齒輪的亞像素邊緣，定義分度圓d為測量圓dM，測量圓與提取的齒廓邊緣相交，得到邊緣在分度圓上的交點數組；以齒輪幾何中心向交點做檢測線，對獲得的交點以左右齒面分為對應的數組；由標準ISO 1328-1：2013對齒距偏差進行評定。

圖7 齒距偏差評定流程Fig.7 Assessment process of tooth pitch deviations

齒距偏差評定的關鍵是對齒距的測量。如圖8所示，齒輪齒廓與測量圓（本文以分度圓作為測量圓）相交，與齒輪左右齒廓相交的交點分別為L1，L2，L3，...，Lz和R1，R2，R3，...，Rz；以 點O(x0，y0)為中心，同向齒廓兩相鄰交點之間的夾角（銳角）分別為θ1，θ2，θ3，...，θz（∠LiOLi+1）與β1，β，2，β3，…，βZ（∠RiORi+1）；同側齒廓上兩相鄰交點之間夾角對應的弧長為實際基圓齒距pi。

測量銳角βi時，由向量ORi和ORi+1得到：

其中：Ri與Ri+1之間夾角對應的弧長為齒輪的實際齒距pi，其公式為：

圖8 齒距偏差評定原理Fig.8 Principle for tooth pitch deviations evaluation

同理可得到Li與Li+1之間的實際齒距pi。

任一單個齒距偏差為：

單個齒距偏差為：

任一齒距累積偏差為：

齒距累積總偏差為：

3.3 齒廓偏差評定方法

齒廓總偏差Fa是評定齒輪幾何精度的基本項目之一，是齒輪工作平穩性的重要指標。

漸開線上任何一點的軌跡方程可表示為：

圖9 直角坐標系漸開線測量原理Fig.9 Principle for involute measurement in cartesian co?ordinate system

如圖9所示，K(xk，yk)為漸開線上一點，ε為漸開線起始點與x軸方向上的夾角，rb為基圓半徑，φk為漸開線展開角，αk為壓力角，θk為OK與x軸方向上的夾角。由圖中的幾何關系可知：

由圖9齒輪中的幾何關系化簡可得：

將漸開線上的任一待測點(xh，yh)代入式（16），可得：

采集漸開線齒廓上m點后可以得到一系列εh(h=1，2，...，m)，找到其中的最大值εmax與最小值εmin，二者之間的差值可用Δε表示，齒廓總偏差可表示為：

各測量點的齒廓偏差值的集合為Eh，每個測量點對應的展開長度為Lh。對計值范圍Lα內的坐標點集合{(Lh，Eh)}進行齒廓偏差評定，其中，h=1，2……m，m為集合{(Lh，Eh)}中的測量點數。對集合進行最小二乘中線擬合，得到：

根據齒廓偏差的定義可知，齒廓形狀偏差為：

齒廓傾斜偏差為：

式中：k為最小二乘中線斜率，ra為齒頂圓半徑，rb為基圓半徑，LCf為齒廓控制點對應的展開長度。

4 試驗結果與分析

小模數齒輪視覺測量裝置如圖10所示，主要包括德國Basler公司型號為acA3800-10gm的面陣CMOS黑白相機，感光芯片尺寸為6.44 mm×4.62 mm，相機圖像分辨率為3 856 pixel×2 764 pixel，像素尺寸為1.67μm×1.67μm；日本Mori?tex公司型號為MML03-HR110D-5M1的物方遠心鏡頭，視野范圍為21.47 mm×15.40 mm。該系統中配備了LED平面光源，發光顏色為紅色，光源亮度可調。該系統采用玻璃圓點標定板。結合德國MVtec公司的HALCON視覺算法包，進行數字圖像處理。

圖10 小模數齒輪視覺測量試驗裝置Fig.10 Experiment device of small-modulus gear visual measurement system

4.1 小模數齒輪測量系統評定軟件

小模數齒輪視覺測量系統軟件主要由4個模塊組成：圖像采集、數字圖像處理、攝像機標定及齒輪偏差評定，測量軟件界面如圖11所示。

圖11 小模數齒輪視覺測量系統的軟件界面Fig.11 Software interface for small-modulus gear visual measurement system

4.2 齒距和齒廓偏差評定結果

將視覺測量試驗結果與齒輪參數的設計值進行對比，結果如表1所示。

表1 齒輪基本參數反求結果Tab.1 Reverse results of basic gear parameters

除分度圓直徑外，本系統各參數的測量值均為視覺測量中未經圓整的數據值，因被測小模數齒輪為標準模數齒輪，經圓整后的最終模數為0.5 mm，由圓整后的最終模數計算分度圓直徑d。本系統齒頂圓直徑和齒根圓直徑的測量值與理論值的差值分別為?0.01，?0.01 mm。由于齒輪加工誤差的存在，齒根圓直徑和齒頂圓直徑的測量值與設計值會存在一定的偏差。

4.2.1 齒距偏差測量

由齒距偏差測量方法，得到左齒面及右齒面的任一單個齒距偏差fpi的測量結果，如表2所示。由表2可知，左齒面單個齒距偏差fp=11μm，右齒面單個齒距偏差fp=13μm。經計算可得左右齒面任一齒距累積曲線偏差，分別如圖12和圖13所示。

表2 任一單個齒距偏差測量的結果Tab.2 Measurement results of individual single pitch de?viation （μm）

圖12 左齒面任一齒距累積偏差曲線Fig.12 Curve of individual cumulative pitch deviation of left tooth flank

圖13 右齒面任一齒距累積偏差曲線Fig.13 Curve of individual cumulative pitch deviation of right tooth flank

由任一齒距累積偏差可計算左齒面齒距累積總偏差Fp=7+11=18μm；右齒面齒距累積總偏差Fp=10+9=19μm。

基于該小模數齒輪視覺測量系統（Visual Measurement System，VMS）及齒距偏差評定方法，根據ISO 1328-1：2013進行齒距偏差評定結果與齒輪測量中心（Gear Measuring Center，GMC）測量結果的對比。在齒輪測量中心上對該被測齒輪進行測量，被測齒輪評定結果為8級（ISO 1328-1：2013）。齒輪測量中心測量試驗如圖14所示，評定結果也是依據標準ISO 1328-1：2013。

齒距偏差比對結果如表3所示。本系統單個齒距偏差、齒距累積總偏差測量值與齒輪測量中心的測量值左、右齒面的最大差值，分別為1，4μm。

圖14 齒輪測量中心測量試驗Fig.14 Measurement of gear′s measurement center

表3 齒距偏差比對結果Tab.3 Comparison of tooth pitch deviations（μm）

4.2.2 齒廓偏差測量

對被測齒輪進行全齒測量，齒廓偏差全齒測量結果如表4所示。對比基于本文設計的小模數齒輪視覺測量系統及齒廓偏差評定方法的測量結果與齒輪測量中心，選擇齒序為1，7，12和17四條齒廓，對比結果如表5所示。本系統的齒廓總偏差、齒廓形狀偏差、齒廓傾斜偏差測量值與齒輪測量中心測量值的最大差值分別為4，3，3μm。

將以上得到的小模數齒輪左右齒面的齒距偏差和齒廓偏差測量值根據齒輪精度標準ISO 1328-1：2013各偏差項目的公差允許值進行齒輪精度等級評定，如表6所示?？梢钥闯觯粶y小模數齒輪的齒距偏差和齒廓偏差的評定精度等級為8級，與齒輪測量中心給出的對應偏差的精度等級一致。

試驗結果表明，基于本文的小模數齒輪視覺測量系統的齒距偏差和齒廓偏差測量結果與齒輪測量中心相比，絕對誤差最大為4μm；而采用視覺測量小模數齒輪的測量時間為7～10 s，遠遠小于人工測量所需要的時間，因此漸開線小模數齒輪視覺測量方法相比齒輪測量中心上的測量，操作更容易，減小了操作員的工作強度，并提高了測量效率。

表4 齒廓偏差全齒測量結果Tab.4 Measurement results of tooth profile deviations（μm）

表5 齒廓總偏差評定結果Tab.5 Evaluation results of total profile deviation（μm）

表6 齒輪齒距偏差和齒廓偏差的評定結果Tab.6 Results of tooth profile deviations measurement（μm）

5 結 論

依據齒輪精度標準ISO 1328-1：2013中齒輪偏差的定義及評定方法，本文給出了基于視覺測量的齒輪基本參數的（齒輪中心、齒數、模數、齒頂圓直徑和齒根圓直徑）反求方法和齒距偏差和齒廓偏差的評定方法，并開發了小模數齒輪視覺測量數據處理軟件。采用小模數齒輪視覺測量系統對模數為0.5 mm的漸開線圓柱直齒輪進行測量，并與齒輪測量中心的測量結果對比，兩者的絕對誤差最大為4μm，最小為1μm，評定齒輪精度等級均為8級。本系統及測量方法可在一定范圍內用于小模數齒輪齒距和齒廓偏差測量，為基于視覺測量、工業CT和結構光等非接觸式齒輪測量方法的研究提供了參考。