基于光程變化量的反射式光學系統敏感度理論分析與降敏設計方法

孟慶宇，汪洪源，王 維，秦子長，3，王曉東

（1.哈爾濱工業大學空間光學工程研究中心，黑龍江哈爾濱150001；2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130031；3.中國科學院大學，北京100049）

1 引 言

反射式光學系統已有400余年的發展歷史［1］，并廣泛地應用于大型光學系統中。從20世紀至今，隨著宇宙科學、地球觀測等領域對高分辨率成像的需求，大口徑、長焦距反射式光學系統的體積越來越大，光學系統的焦距已增長到數十米至數百米的尺度，口徑尺寸達到了數米至數十米的量級。反射式光學系統雖然構型相對簡單，光學元件數量少，但隨著焦距與口徑的增大，光學系統的加工難度與裝調敏感劇增，這為大型光學儀器的實現帶來了挑戰，消耗了巨大的經濟與時間成本［2-3］。

光學系統的最終性能不僅取決于光學設計結果的好壞，還取決于建造過程中對于面形加工、裝調位置、系統穩定性等各項誤差因素的控制，而從過往經驗來看，這些實際誤差因素在光學系統設計中占據主導地位［4-5］。針對這一問題，在大口徑、長焦距反射式系統的研制當中，一方面要通過CAA、主動光學、精密溫控、高剛度高穩定性光機結構等手段實現更高精度的誤差控制［6-12］；另一方面，也必須對光學系統的誤差敏感性進行研究，探究光學系統誤差敏感性的因素及影響規律，尋找光學系統的降敏設計方法，降低光學系統成像質量對誤差控制精度的依賴，這對于降低大口徑長焦距光學系統的建造難度、時間成本和經濟成本具有重要的意義。

目前，針對光學系統的降敏設計方法主要有6種［13］：第一種是全局搜索優化法［14］；第二種是全差分波前誤差集成優化法，該方法依靠設計軟件的宏命令，在優化過程中程序不斷返回可以反應光學系統敏感度的波前差分值，進而獲得敏感度較優方案；第三種是光線折射角、入射角優化法［15-16］；第四種是降低光學表面傾斜對軸向彗差影響的方法；第五種是多重結構降敏設計方法；第六種是降低偏心引起的差分波前誤差方法［17］。

這些降敏設計方法的理論評價主要以波像差為主，但很多情況下，光學系統初始結構的波像差較大，此時以波像差作為敏感度評價標準，往往不能直觀地反映出系統的真實情況。而初始結構的選取對于誤差敏感性具有非常重要甚至是決定性的影響，因此還需要發展一種更加簡潔直觀的評價方式，用于實現低敏感度初始設計。

影響光學系統成像質量的誤差因素一般包括兩大類，一是光學元件空間位置的失調，主要由光學系統裝調殘差、光機系統穩定性誤差和溫度控制誤差等因素引起；二是光學元件面形誤差，主要由光學加工制造以及環境因素引起。具有低敏感度特征的光學系統，應能夠更好地抵抗這兩種誤差因素引起的成像質量下降。因此，為了能夠獲得低敏感度光學系統，應首先分析上述因素引起的系統光程變化，進而明確各項系統參數對于各項誤差因素的敏感度模型。這是后續實現降敏設計的理論基礎。

同軸兩反式光學系統是大口徑光學望遠鏡最基本、最經典的系統形式。本文以同軸兩反式系統作為研究對象，采用以失調擾動引起的光程變化量（Optical Path Variation，OPV）作為評價誤差敏感程度的評價標準，推導了各項失調因素引起的成像光路OPV的理論表達式，進而提出了以OPV為理論基礎的降敏設計方法。

2 理論分析

2.1 光學系統敏感度理論分析方法

光學元件的位置失調主要包括偏心平移、傾斜、軸向間距與旋轉，如圖1所示。偏心平移失調定義為光學元件以其曲面頂點為中心，向子午方向、弧矢方向或某一合成方向平移了δ；傾斜定義為光學元件以其曲面頂點為中心，繞著子午軸或弧矢軸旋轉了η；軸向間距失調定義為反射鏡沿著光軸方向的位置移動了d；旋轉失調是一種特殊的傾斜，特指光學元件以其曲面頂點為中心，繞著光軸進行旋轉，對于同軸光學系統，當光學元件為旋轉對稱面形時則不存在旋轉失調。光學元件的位置失調往往是綜合產生的，即偏心平移、傾斜、軸向間距失調與旋轉是相互伴隨，相互混合的。在光學元件位置失調對成像光路光程變化的敏感度影響分析中，為了便于歸納總結，以單一類型的位置失調為研究對象。

圖1 典型光學元件位置失調類型Fig.1 Typical types of optical component misalignment

圖2 失調前后像面附近的成像光線Fig.2 Layout of optical system with mislignments

根據費馬原理，在理想光學系統中，不同孔徑、不同視場的光線經過光學系統后，應該具有相同的光程（Optical Path，OP）［18］。光學系統元件失調后，系統穩態受到破壞，成像光線光程產生變化，如圖2所示，光學系統中的每根成像光線會產生因失調而引起的OPV。從幾何光學角度分析，失調后每根成像光線的OPV絕對量越小，光學系統越接近失調前的狀態，相應地成像質量退化也更小，這種變化量數值越小，失調對系統像質的影響也就越小。所以，失調后產生OPV數值小的系統，是低敏感度光學系統應有的特征。

如果將失調定義為｛α|α1，α2，…αn｝，其中αn代表的是一系列失調類型，那么光學系統因為失調而引起的OPV一定是失調類型與失調量的函數，即：

根據工程應用經驗，因失調引起的OPV與光學系統的內部參數具有一定的相關性，則因失調而引起的OPV應該與光學系統的內部參數｛β|β1，β2，…βn｝構成一定的函數關系，即：

那么，在同軸反射式系統敏感度影響因素的理論分析中，由光學元件失調引起的OPV為光學系統敏感度的評價標準，探尋失調類型、內部參數等對光程變化敏感度的內在規律，理論揭示影響同軸反射式光學系統敏感度的重要因素，具有重要的意義。

同軸兩鏡光學系統是大型反射式光學系統最基本的形式，本文以兩鏡反射式光學系統作為基本分析對象，所采用的數學分析方法對反射式光學系統是通用的。

2.2 主鏡偏心平移失調

如圖3所示，同軸兩鏡反射式光學系統結構由主鏡（Primary mirror，PM）與次鏡（Secondary mirror，SM）組成，其中主鏡作為光學系統的孔徑光闌，光學系統位于右手坐標系中，主鏡的頂點位于坐標系原點（0，0，0），z軸是系統光軸，光線沿著光軸方向傳播。光線由物方無窮遠發出，入射到主鏡鏡面M1（x1，y1，z1）點，經主鏡反射后，光線入射到次鏡鏡面M2（x2，y2，z2）點，再經次鏡反射后，光線成像于像面M3（x3，y3，z3）點。主鏡與次鏡可以為任意曲面面型，通?？啥x為：

圖3 兩鏡反射式光學系統結構模型Fig.3 Configuration model of two-mirror optical system

式中：z為平行于光軸的曲面矢高；c為曲面的頂點曲率；k為Schwarzschild常數，即二次曲面常數；r為曲面投影在x軸與y軸確定的平面上的點相對于光軸的徑向距離，如式（4）所示：

如前所述，光線經光學系統的光程可分為3個部分，即無窮遠物點至M1（x1，y1，z1）點，定義該部分光程長度為z1；M1（x1，y1，z1）點至M2（x2，y2，z2）點，定義該部分光程長度為s1；M2（x2，y2，z2）點至M3（x3，y3，z3）點，定義該部分光程長度為s2。根據費馬原理，三部分光程之和為常數：

若主鏡在子午方向產生了偏心平移失調，如圖4所示，即沿著y方向平移了δ，入射光線IR入射到主鏡鏡面上的點的x軸坐標與y軸坐標不變，仍然為（x1，y1），但光線入射到主鏡鏡面上的點的z軸坐標平移了Δz1，此時入射光線與主鏡鏡面交點的坐標為M′1（x1，y1，z1+Δz1）。相應地，入射光線與次鏡鏡面交點的坐標也發生了變化，為M′2（x2+Δx2，y2+Δy2，z2），其中z2是x與y的函數。

主鏡位置產生偏心平移失調后，光線經光學系統的3部分光程之和為：

圖4 主鏡偏心平移后的光線追跡Fig.4 Ray tracing in condition of PM decenter

這里需要強調的是，在反射式光學系統敏感度影響因素的理論分析中，關注的是光學系統在無補償情況下由光學元件失調導致的光程變化的敏感度，在一定程度上這種敏感度表征了光學系統對光學元件擾動的抵抗能力，所以在分析時，焦面位置保持不變，即系統無調焦補償環節。

對比式（6）與式（5）的變化量可知，在主鏡產生偏心平移失調前后，光學系統OPV為：

在式（7）中，對Δz1進行數學展開［19］，得到：

為了便于簡化，這里對式（8）利用一階近似，則有：

在考慮式（7）中的Δs1與Δs2時，首先分析光程s1與光程s2。根據空間兩點之間的距離公式得到：

在假定條件下，z1，x2，y2的變化會影響s1的數值，則利用一階近似，光程s1的變化量為：

這里z2的變化以函數的形式體現在x2與y2中，則有：

同理，光程s2的變化量為：

綜合分析式（13）與式（14），首先歸納分析得到：

如圖5所示，光線在光學系統中傳播時，以光軸為回轉對稱軸，光線與每個光學元件相交的坐標點相對x坐標軸與y坐標軸具有相同的輻角數值，且光線與光學元件相交點的坐標為：

式中：r為相交坐標點的孔徑值，是該點距離光軸的徑向距離；x為相交坐標點在x軸的坐標；y為相交坐標點在y軸的坐標；θ為輻角值。

圖5 空間光線傳播示意圖Fig.5 Ray propagation in three-dimensional space

所以在光學系統中，有：

因此有：

為了求解式（19），在圖3的基礎上，在光學系統模型中增加一些特殊角度，如圖6所示。

圖6 光學系統結構模型Fig.6 Configuration model of optical system

根據反射定律，入射光線與反射光線分居法線兩側，入射角等于反射角，當入射光線交主鏡于M1點時，定義法線為NL，入射角為φ；以光線與次鏡鏡面交點M2為一點，定義與入射光線平行的直線PL，直線PL與光線S1的夾角則為2φ，直線PL與光線S2的夾角為ξ，ξ是光學系統像方孔徑角的1/2。根據定義有：

如圖7所示，z2為曲面矢高，是次鏡的曲面函數；r2如式（4）所述，是曲面投影在x軸與y軸確定的平面上的點相對于光軸的徑向距離，曲面z2上任意一點處的切線為TL，法線為NL。z2曲面沿著r2方向的偏導數為：

式中ζ為次鏡曲面上任意一點處的法線與直線PL的夾角。

如圖7所示，曲面矢高z2的增長與徑向距離的增長符號相反。根據次鏡的入射光線、反射光線、法線和曲面切線等特征線構成的角度數學關系，則有：

圖7 光線路徑數學關系Fig.7 Ray propagation mathematical model

根據式（25）與式（26）即可得出式（24）。

將式（20）～式（24）代入式（19），則有：

即有：

根據以上數學關系可知，主鏡偏心平移擾動給光學系統帶來的OPV為：

式中：

假設主鏡在子午方向產生了偏心平移失調，即沿著坐標軸y方向平移了δ，所以有：

則式（31）可轉化為：

大型反射式光學系統，如哈勃空間望遠鏡、詹姆斯·韋伯太空望遠鏡等，多屬于長焦距小相對孔徑系統，主鏡焦比較小，則光線在主鏡上的入射角與反射角φ也較小［20］。以哈勃空間望遠鏡為例，主鏡光線入射角φ約為6°［21］。因此，根據一階近似可以認為：

綜上分析，由主鏡偏心平移失調引起的OPV如下：

在兩鏡光學系統中，當主鏡沿著子午方向產生了偏心平移失調量δ，對任意一根光線所產生的OPV，為該光線與主鏡鏡面入射點處的鏡面矢高z沿y方向的變化率（偏導數）與2倍偏心平移失調量δ的乘積，也為失調前后該光線在主鏡鏡面入射點處矢高變化量的2倍。這個結論不僅適用于主鏡沿子午方向平移產生的失調，還適用于主鏡沿著任意方向產生的平移失調。

2.3 次鏡偏心平移失調

根據前一節對主鏡平移的失調推導，當次鏡產生偏心平移時，由次鏡偏心平移引起的光學系統OPV為：

同前文推導結論一致，在兩鏡光學系統中，當次鏡沿著子午方向產生了偏心平移失調量δ，對某一光線所產生的光程變化量OPV，為該光線與次鏡鏡面入射點處的鏡面矢高z沿y方向的變化率（偏導數）與2倍偏心平移失調量δ的乘積，也為失調前后，該光線在次鏡鏡面入射點處矢高變化量的2倍。這個結論不僅適用于次鏡沿著子午方向平移產生的失調，還適用于次鏡沿著任意方向產生的平移失調。

通過對兩鏡反射式光學系統中主鏡偏心平移與次鏡偏心平移的數學推導可以看出，該結論可以推廣到三鏡反射式光學系統乃至多鏡反射式光學系統中。

2.4 主鏡、次鏡傾斜失調

當主鏡或次鏡發生傾斜時，如圖8所示，光程長度z1，s1與s2的變化因素與前文推導過程完全一致。因此，可直接利用前文推導結論，若主鏡以頂點為圓心，繞著弧矢軸傾斜擾動了角度η，則入射到主鏡上高度為y1的光線的OPV為：

同理，若次鏡以頂點為圓心，繞著弧矢軸傾斜擾動了角度η，則入射到次鏡上高度為y2的光線的OPV為：

式中：y1與y2表征光線與鏡面交點處的位置坐標，與關于主鏡偏心平移的數學推導過程唯一不同的是對矢高變化量Δz的表征方式不同。

在兩鏡系統中，當主鏡繞著弧矢軸傾斜擾動了角度η，對某一光線所產生的OPV為失調前后該光線在主鏡鏡面入射點處矢高變化量的2倍，也為傾斜角度η與光線高度坐標乘積的2倍。這個結論不僅適用于反射鏡繞著弧矢軸傾斜擾動，還適用于反射鏡繞著任意方向產生的傾斜擾動。

圖8 反射鏡傾斜后的光線追跡Fig.8 Ray tracing in condition of mirror tilt

2.5 主次鏡軸向距離失調

光學元件之間沿著光軸方向的距離變化是最為常見的位置誤差，其最明顯的影響是使光學系統產生離焦。如圖9所示，簡化式（10）與式（11），將光程s1與s2表示為：

圖9 主次鏡軸向距離變化后的光線追跡Fig.9 Ray tracing in condition of mirrors distance pertur?bation

當主次鏡軸向距離產生變化時，假設次鏡向遠離主鏡的方向移動Δz2時，則在光學坐標系下有：

求解式中的偏導數部分得到：

式中，三角函數的正負號關系可通過參數之間的變化關系得到，即當r2增大時，s2也隨之增大，所以sinξ前為正號；當z2增大時，s2隨之減小，所以cosξ前為負號。將式（42）與式（43）代入式（41）得到：

根據以上數學推導關系，由于主次鏡軸向距離變化擾動給光學系統帶來的OPV為：

式中的負號表示：當主次鏡軸向距離變大時，即Δz2取負值時，光程增大。

結合式（45）進一步分析，當ξ與2φ均較小時，cos（ξ+2φ）≈1，cos 2φ≈1，則有：

3 OPV光線追跡驗證

為了驗證2.2至2.5節中推導的由各種失調因素引起光學系統OPV的數學式，應用一個系統焦距為1 000 mm，相對孔徑為1∶5的標準Ritchey-Chrétien系統進行光線追跡，對光學系統分別施加主鏡偏心平移、次鏡偏心平移、次鏡傾斜和主次鏡軸向距離失調等擾動。采用光線追跡法對上光線的實際OP、由失調因素引起的上光線OPV進行計算，以（2Δz-OPV）/OPV評價OPV理論解析值與光線追跡真值的誤差，結果如表1～表4所示。

分析結果顯示，與OPV光線追跡值對比，主鏡偏心平移、次鏡偏心平移、主次鏡軸向距離失調擾動引起的OPV的理論解析計算誤差在1%量級；反射鏡傾斜失調擾動引起的OPV的理論解析計算誤差在0.1%量級，驗證了理論分析結果的正確性。

表1 主鏡偏心平移時光程變化量的數據分析Tab.1 Data analysis of OPV for PM decentration condition

表2 次鏡偏心平移時光程變化量的數據分析Tab.2 Data analysis of OPV for SM decentration condition

表3 次鏡傾斜時光程變化量的數據分析Tab.3 Data analysis of OPV for SM tilt condition

表4 關于主次鏡軸向距離變化的光學系統光程變化量的數據分析Tab.4 Data analysis of OPV for mirrors distance perturbation condition

4 基于光程變化量的降敏設計

4.1 降敏設計

評價函數是光學系統設計的重要評價指標。當光學系統受到相同的失調擾動時，OPV大的光學系統，敏感度高，魯棒性差；OPV小的光學系統，敏感度低，魯棒性好。

由多種因素引起的OPV具有獨立性和互不相關性，可以采用和方根值（Root-Sum-Squares，RSS）來計算由于多種失調因素引起的總的OPV。因此，將式（47）作為評價函數來對光學系統進行降敏設計，相關各種其他失調因素引起的OPV可進行數學理論推導。

基于該思想與OPV評價函數，設計了一個焦距為5 600 mm，相對孔徑為1∶7，視場角為15′的兩反系統。設計過程中對系統OPV進行約束，以達到降敏設計的目的，使它在多項失調公差約束的情況下，以8.200 0μm作為系統OPV判定的上限閾值。像質判定標準則選用波前誤差（Wavefront Error，WFE）RMS平均值，判定閾值為0.065 0λ（λ=0.48μm）。

通過初始結構篩選，經過15輪迭代優化設計（光學系統結果標記為L1～L15），獲得了RMS波像差為0.059 85λ、OPV為8.195 6μm的光學系統。該光學系統的OPV與RMS WFE值的變化曲線如圖10所示。

圖10 降敏優化過程中RMS WFE與OPV的變化Fig.10 Variation of OPV and RMS WFE in desensitiza?tion optimization process

4.2 評價函數OPV與波像差改變量（ΔRMS WFE）的關系

商業光學系統設計軟件沒有直接計算OPV的功能。通常，設計人員通過計算在特定公差下的波像差改變量（ΔRMS WFE），來判斷光學系統的敏感度情況。根據波動光學理論，OPV與ΔRMS WFE的數學關系可表示為：

式中S為光瞳面積。

從式（48）中并不可直接獲知OPV與ΔRMS WFE的相關性。在降敏設計過程中，從實驗數據角度，為了驗證OPV評價標準的正確性，與基于OPV的降敏設計方法的有效性，同步計算了15輪迭代設計過程中的ΔRMS WFE。通過實驗數據可以看出，光學系統OPV與ΔRMS WFE具有正相關性，在優化過程中，二者的變化趨勢一致。

圖11 降敏優化過程中光學系統ΔRMS WFE與OPV的變化情況Fig.11 Variation of OPV andΔRMS WFE in desensiti?zation optimization process

綜上分析，從波像差理論與實驗數據兩方面，驗證了OPV評價標準的正確性與基于OPV評價標準的光學系統降敏設計方法的有效性。OPV與ΔRMS WFE均可以在光學設計中作為評價光學系統敏感度的評價標準。

5 結 論

基于失調后成像光線的光程變化絕對量越小，成像質量退化也越小的思想，本文提出以OPV作為衡量光學系統敏感度的評價標準。在一階近似的條件下，通過建立光線傳播路徑的幾何模型，理論推導了主鏡/次鏡偏心、主鏡/次鏡傾斜、主次鏡間距變化等誤差因素引起的OPV的數學解析表達式。通過一套標準Ritchey-Chretien系統，應用經典幾何光線追跡法，計算了在各種失調擾動情況下所產生的OPV實際數值，與理論推導值對比，相對誤差均在1%左右，證明了所推導的OPV理論表達式的正確性。

基于OPV的理論推導，建立了以OPV為評價函數的反射式光學系統降敏設計方法，設計了一個焦距為5 600 mm，相對孔徑為1∶7，視場角為15′的兩反系統，經過15輪迭代設計，獲得了OPV與RMS WFE均滿足指標要求的系統。對設計過程數據進行監控，分析了15輪迭代設計過程中的OPV與ΔRMS WFE，結果顯示二者在優化過程中變化趨勢一致，具有正相關性，驗證了OPV評價標準的正確性與基于OPV評價標準的光學系統降敏設計方法的有效性。