具有心理效應的媒介傳染病模型的研究

王 琪，薛亞奎

（中北大學 理學院，太原 030051）

媒介傳染病是一種重要的傳染病，是由受感染的節肢動物傳播的疾病，如蚊子、扁虱等。一個世紀以前就有證據表明，吸血節肢動物能夠向人類以及動物和人類之間傳播特定類型的病毒、細菌、原生動物和蠕蟲。自那時以來，有大量媒介傳播疾病爆發的報告，如瘧疾、登革熱、南美錐蟲病和利什曼病，根據世界衛生組織（WHO）的數據，媒介傳播疾病占所有傳染病病例的17% 以上，每年導致超過100萬人死亡［1］，媒介傳染病嚴重威脅著人類的健康。因此針對媒介傳染病，很多數學工作者通過建立數學模型進行理論分析和定量研究［2-7］。文獻［8］對于蟲媒傳染病SEIR模型進行了分析和模擬，文獻［9］介紹了在埃及伊蚊的Zika病毒的垂直傳染，表明了垂直傳染可能提供了一個潛在的機制，病毒會在惡劣的條件下生存。

了解人類行為及社會反映對傳染病傳播的影響是加強控制工作的關鍵。疾病發生率在傳播過程中其重要作用，在大部分動力學模型中使用的是雙線性發生率βSI，而當越來越多的染病病例被媒體報道后，人們的防護意識會增強，使得實際染病者數量降低。在文獻［10-15］中使用非單調發生函數模擬了這種現象。因而本文綜合考慮了一類具有心理效應及垂直傳播的媒介傳染病SEIRS模型，由于心理效應的影響，染病媒介與易感人群之間采用發生率

1 動力學模型

本文把疾病流行區域或國家的總人口分為易感類、潛伏類、染病類、移出類等4類，分別用SH（t）、EH（t）、IH（t）、RH（t）表示t時刻的易感類、潛伏類、染病類、移出類的人口數量。假設染病類的后代以p的概率具有先天免疫，則以（1-p）的概率進入潛伏類，用NH（t）表示t時刻的總人數，則NH（t）=SH（t）+EH（t）+IH（t）+RH（t）。將媒介分為易感和感染等2類，分別用SV（t），IV（t）表示t時刻的易感類和感染類媒介的數量，用NV（t）表示t時刻的媒介總數，則NV（t）=SV（t）+IV（t）。建立模型如下：

式中：假設不考慮因病死亡，媒介的出生和死亡率相等均用d表示，人口的出生和死亡率系數相等均用μ表示；β1表示人的心理對疾病的感染強度；表示當染病人群的數量達到一定數量后，易感者行為改變的心理效應；β2表示染病類人群對易感媒介的感染率；β3表示潛伏類人群對易感媒介的感染率；ε表示潛伏者發病成染病者的概率；γ表示染病者的康復率；δ表示移出者再次感染的概率。

不妨令：NH（t）=SH（t）+EH（t）+IH（t）+RH（t）=NH0，NV（t）=SV（t）+IV（t）=NV0，設：

則有：

進一步，模型（1）可以化簡為：

為方便討論，記θ1=μ+ε，θ2=μ+γ，θ3=μ（1-p），θ4=μ+δ，α1=αN2H0，a=β1NV0，b=β2NH0，c=β3NH0，顯然：Ω=｛（Sh，Eh，Ih，Iv）∈R4+：0≤Sh+Eh+Ih≤1，0≤Iv≤1｝是模型（2）的一個正向不變集，下面將在集合Ω中研究模型（2）的動力學性態。

2 基本再生數及平衡點的存在性

2.1 基本再生數及無病平衡點的存在性

易知模型（2）總存在無病平衡點E0=（1，0，0，0），根據下一代矩陣法，求得基本再生數R0的表達式為：

顯然θ1θ2-εθ3=μ2+εγ+μγ+μεp＞0。

2.2 地方病平衡點的存在性

為了得到模型的地方病平衡點E*=（S*h，E*h，I*h，I*v），令模型（2）方程的右端為0，并將S*h，E*h，I*h，I*v分別代入方程得到：

得到：

代入方程（4），有：

式中：a1=-α1（bε+cθ2）（θ1θ2-εθ3）θ4；a2=-α1dε（θ1θ2-εθ3）θ4；a3=-（bε+cθ2）（θ1θ2-εθ3）θ4-a（bε+cθ2）（θ1θ2+δθ2+δε）；a4=εa（bε+cθ2）θ4-dε（θ1θ2-εθ3）θ4。

則

當Ih＞0時，F′（Ih）＜0，即F（Ih）＜F（0），因此，當R0＞1時，有F（0）＞0，則方程（8）有唯一正根I*h，模型（2）存在唯一的正平衡點E*=（S*h，E*h，I*h，I*v）。

定理1模型（2）一定存在無病平衡點E0，當R0＞1時，存在唯一地方病平衡點E*。

3 平衡點的穩定性

3.1 無病平衡點的穩定性

定理2對于模型（2），當R0＜1時，無病平衡點E0是全局漸近穩定的。

證明模型（2）在無病平衡點E0處的Jacobian矩陣為：

對J（E0）進行初等保號變換，有：

則J（E0）的特征方程對應的特征根為：

當R0＜1時，d（R20-1）＜0，即特征方程的所有特征根均有負實部。

因此，R0＜1時，無病平衡點E0是局部漸近穩定的。構造Lyapunov函數為：

計算：

當R0＜1時，V·≤0，當且僅當Eh=Ih=0或Iv=Ih=0時，V·=0，由LaSalle不變集原理可知，E0在可行域內是全局漸近穩定的。證畢。

3.2 地方病平衡點的穩定性

定理3對于模型（2），當R0＞1時，地方病平衡點E*是局部漸近穩定的。

證明模型（2）在地方病平衡點E*處的Jacobian矩陣為：

對J（E*）進行初等保號變換，有：

其中，

記

可得C＜0，E＜0，J（E*）特征方程對應的特征根為：

即特征方程所有的特征根均有負實部，因此模型（2）的地方病平衡點E*是局部漸近穩定的。證畢。

4 數值模擬

平衡點的穩定性模擬結果如圖1所示。圖1（a）中取參數μ=0.3，β1=0.072，p=0.37，β2=0.052，β3=0.023，γ=0.05，δ=0.05，ε=0.63，α=0.1，d=0.02。此時，R0=0.1193＜1，可以看出當R0＜1時，無病平衡點是全局漸近穩定的。圖1（b）中取參數μ=0.3，β1=0.62，p=0.37，β2=0.52，β3=0.32，γ=0.05，δ=0.5，ε=0.63，α=0.7，d=0.7。此時，R0=1.2776＞1，可以看出當R0＞1時，地方病平衡點是局部漸近穩定的。

心理效應、媒介死亡率、染病媒介與易感人群的接觸率對染病者的影響如圖2所示。通過數值模擬說明了，心理效應對模型平衡點的穩定性并不會產生影響，但如果疾病流行，考慮心理效應會影響染病者的數量。并且得到當參數α和d增加或者β1減小時，染病者的數量會減少，選取“《中國疾病預防控制中心》全國法定傳染病疫情概況”中2013年1月—10月全國甲型H1N1流感染病者的比例［16］，本文中繪制了染病者比例折線圖，可以看出通過媒體、政府等各方面的宣傳干預，人們預防疾病的意識增強，逐漸形成心理暗示后，染病者人數明顯下降。從文獻［17］中容易得到滅蚊行動對登革熱疫情產生重要影響。以2013年中國大陸爆發的甲型H7N9禽流感為例，發病數最多的3個省份強制關閉了一些城市的大型活禽市場，盡管距離關閉活禽市場尚不足2個潛伏期，但新發病例報告數已出現大幅下降［18］。

圖1 平衡點的穩定性模擬

圖2 心理效應、媒介死亡率、染病媒介與易感人群的接觸率對染病者的影響

5 結論

研究了一類具有心理效應的媒介傳染病，得到決定疾病是否流行的閾值R0，通過LaSalle不變集原理及構造Lyapunov函數，得到當R0＜1時，無病平衡點是全局漸近穩定的，當R0＞1時，得到唯一的地方病平衡點，并證明它在可行域內是局部漸近穩定的，通過數值模擬驗證了結論的正確性。結果表明，考慮公眾的心理并不會影響平衡點的穩定性，但如果疾病流行，會影響染病者的數量。本文通過理論分析及數值模擬證明了，縮短媒介的壽命、增強人們對疾病的信息接收以及減少易感人群與染病媒介的接觸等方法，都對疾病的控制有所幫助。