直觀想象揭面紗 邏輯推理顯真顏
——以2019 年人教A 版“直線與平面平行”為例

盧 妮 蔡海濤 黃 勇

（1.莆田第二中學，福建 莆田 351131；2.福建教育學院數學研修部，福建 福州 350025）

核心素養如何在教學中落地，引發了廣泛教師的關注.立體幾何的教學著重關注發展學生的直觀想象、邏輯推理的素養.研究空間幾何圖形和它們的性質的基本方法源于直觀感知，然后操作確認，最后邏輯驗證.基于此，筆者以2019 年人教A 版必修二（以下簡稱為“教材”）中的8.5.2 節“直線與平面平行”為例，對如何培養學生的直觀想象、邏輯推理素養，談談自己的一點做法.

一、直觀想象探思路

（一）借助模型直觀想象

問題1：如圖1，當門繞著一邊轉動時，另一邊與墻面有公共點嗎？門扇轉動的一邊與墻面平行嗎？

圖1

圖2

問題2：如圖2，將一塊矩形硬紙板ABCD 平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC 轉動，在轉動的過程中（AB 離開桌面），DC 的對邊AB 與桌面有公共點嗎？邊AB 與桌面平行嗎？

教師轉動教室的門，學生翻動紙板，都是充分利用了實物原型.學生借助模型，可以直觀看到無論門扇轉動到什么位置，轉動的一邊與固定的一邊總是平行的，它與墻面是平行的.教師引導學生根據實物抽象成數學模型，直觀想象直線與平面平行的判斷方法，探究如何將空間問題轉化為平面問題的有效途徑，進而得到直線與平面平行的判定定理.其實，直線與平面平行的判定定理滲透了處理空間位置關系的一般方法，即空間問題平面化.教師進而提出問題3：這一定理在現實生活中有許多應用，你們能舉例嗎？學生充分交流后不難回答：安裝教室的日光燈，為了使日光燈與地面平行，只需日光燈與天花板和墻面的交線平行；安裝黑板時，為了使黑板的邊緣與地面平行，只需黑板的邊緣與地面和墻面的交線平行……

從學生熟悉的實際問題引入，使學生了解數學來源于實際生活，經歷定理的發現過程.教師設置問題串，引導學生自主探究、合作交流，隨著學生思維的層層深入，探究發現“線面平行”判定的關鍵因素為找“線線平行”，這蘊含了研究立體幾何的基本方法，即借助模型→直觀想象→抽象概括，從而發展直觀想象素養.

（二）融合技術直觀想象

在應用直線與平面平行的性質定理時，教師展示例題：在如圖3 所示的一塊木料中，棱BC 平行于面A′C′.經過面A′C′內的一點P 和棱BC 將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？

有的學生在作圖時出現如圖4 所示的錯誤（直接連接PB 和PC）.對于這個錯誤，教師可以利用幾何畫板制作一個模擬鋸木料的動畫過程.讓學生更加直觀地理解切割的過程，理解畫的線實則是過點P 和棱BC 得到的截面與木料的表面的交線，由圖4、推論1 和線面平行的性質定理畫出正確的線段，得到如圖5.

融合信息技術，讓學生更直觀地觀察空間幾何體的結構特點和其中的位置關系，突破了本題的難點，發展了學生直觀想象的核心素養.

圖3

圖4

圖5

二、邏輯推理助解題

（一）邏輯推理建構知識網絡

教師在講解直線與平面平行的判定后，可以引導學生歸納總結判斷一條直線與平面平行的關鍵條件，進而提出問題：已知線面平行又能得到什么結論？即研究已知直線與平面內直線的位置關系，這就是線面平行的性質.教師可引導學生觀察長方體的模型，發現直線顯然與平面內直線沒有公共點.所以已知直線與平面內的直線平行或異面.此時，教師借助模型提醒學生，避免出現“若線面平行，則該線和面內任意一條直線平行”的錯誤.教師進一步啟發學生，若直線a平行平面α，直線a 滿足什么條件與α 內的直線b 平行，由基本事實的推論3 可得，直線a，b 可確定平面β.所以，直線b 被看作是平面α 與過直線a 的平面β 的交線.于是可得如下結論：過直線a 的平面β 與平面α 相交于b，則a//b.學生在教師的引導下探究—操作—猜想—論證，培養學生科學論證的理性精神，發展學生邏輯推理的核心素養.

本節是立體幾何研究線面平行“定性”問題的關鍵課時，研究直線與平面平行判定后再研究其性質，為后續研究直線和平面垂直關系奠定了基礎，乃至可以類比進一步研究直線與平面的位置關系，得到研究立體幾何的方法即把空間問題平面化這種化歸轉化的方法，學生在認識研究立體幾何的“基本套路”中，得到立體幾何“定性”問題以及研究方法知識體系的建構.

（二）邏輯推理學會合理表達

幾何語言包括圖形語言、文字語言和符號語言.融合這三種語言的過程就是邏輯推理的發展過程.表達是一種可視化的表現，它指的是學生把自己的見解、判斷、感受等通過圖畫、語言、符號等表現出來.例如，教材中證明直線、平面之間的平行的性質，讓學生學會用符號語言合理準確地表達，循序漸進地掌握相應的證明方法.又如，教材的137 頁的例2，是線面平行關系的經典范例，教材用三種語言進行表達，即如圖6，在空間四邊形中，AB 和AD 的中點分別是E、F，證明EF//平面BCD.教師引導學生先理解文字所反映的圖形及關系，再畫出相應的圖形，利用圖形語言進行表示，進而用符號語言進行論證、推理，讓學生熟練掌握“文字—符號—圖形”三種語言的表達，發展學生邏輯推理素養.

圖6

而在應用直線與平面平行的性質定理解決立體圖形問題時，如教材的138 頁的例3，其實是“實物模型—圖形—文字—符號”的這一抽象過程.直觀圖形，猜想所畫線與平面AC 的位置關系.在根據線面平行的判定和性質定理的證明過程中，學生有條理地去思考，再用數學符號語言有條理地表達，發展學生的邏輯推理的素養.

總之，立體幾何的教學在發展學生的直觀想象、邏輯推理等數學核心素養承擔重要的地位與作用.而立體幾何的“平行”“垂直”等“定性”關系需要學生有一定的空間想象和邏輯推理能力.“直觀”是一個人長期進行數學思維形成的，是逐漸養成的一種思維習慣，日積月累就形成素養.［1］事實上，學生在這方面的能力是比較薄弱.教學過程中，教師引導學生從整體到局部，從特殊到一般，認識空間幾何體；再以長方體為載體，直觀認識空間點、直線、平面的位置關系；最后由一般到特殊，進一步研究直線、平面的平行、垂直關系，重點研究判定與性質.這樣，學生有一個從具體到抽象、層層遞進、漸漸嚴謹的研究學習過程，從合情推理自然地過渡到邏輯推理.