基于數(shù)學(xué)“構(gòu)造”的高階思維培養(yǎng)研究

廖金祥 陳曉靜

（1.廈門第二中學(xué)，福建 廈門 361009；2.廈門五緣實(shí)驗(yàn)學(xué)校，福建 廈門 361009）

傳統(tǒng)教學(xué)重視知識(shí)傳授、題型歸納、方法總結(jié)，注重記憶和理解，忽視分析和評(píng)價(jià)，更談不上創(chuàng)造，這不利于數(shù)學(xué)高階思維的培養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地需要培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維，重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的思維能力，包括基于記憶、理解、應(yīng)用的低階思維和基于分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造的高階思維.

構(gòu)造法本質(zhì)上就是一種創(chuàng)造，需要較強(qiáng)的想象能力，需要?jiǎng)?chuàng)新.2017 版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)多處提到“創(chuàng)新”：［1］（見(jiàn)表1）

表1

習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，抓創(chuàng)新就是抓發(fā)展，謀創(chuàng)新就是謀未來(lái).要?jiǎng)?chuàng)新就要有高階思維，數(shù)學(xué)構(gòu)造法教學(xué)可以有效培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.

一、構(gòu)造法是高階思維的重要表現(xiàn)

一些數(shù)學(xué)問(wèn)題用常規(guī)思路很難解決，這時(shí)需要打破常規(guī)，另辟蹊徑，即要有創(chuàng)新思路.數(shù)學(xué)構(gòu)造法是用新的視角探究隱藏在條件和結(jié)論之間內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造滿足要求的數(shù)學(xué)對(duì)象，使需要解決的問(wèn)題以新的方式呈現(xiàn)，借助新的數(shù)學(xué)對(duì)象解決舊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如構(gòu)造函數(shù)、不等式、圖形、向量等，也可以構(gòu)造輔助命題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等.［2］

構(gòu)造法是一種涉及多種思維成分的復(fù)雜的創(chuàng)造性思維過(guò)程，歷經(jīng)觀察、想象、抽象、概括等過(guò)程，勾股定理、祖堩原理的證明，無(wú)不閃爍著構(gòu)造智慧的光芒.在教學(xué)中要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有效的探究環(huán)境，鼓勵(lì)學(xué)生多維度探究思考，在反復(fù)地嘗試、反思和修正中構(gòu)造合理的模型，有效解決問(wèn)題，提高創(chuàng)新意識(shí).學(xué)生基礎(chǔ)越扎實(shí)，知識(shí)面越廣博，則聯(lián)想就越豐富，高階思維能力就越強(qiáng).［3］

構(gòu)造過(guò)程由近而遠(yuǎn)，由淺而深，由表及里，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的神奇與魅力.構(gòu)造法提高了學(xué)生的解題效率，擴(kuò)展了學(xué)生的思維空間，增強(qiáng)視力，優(yōu)化視角，開(kāi)闊視野，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，從而使培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)落地生根.

二、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題是培養(yǎng)高階思維的載體

思維大師杜威認(rèn)為：高階思維不是自然發(fā)生的，它是由“一些困惑、混淆或懷疑”引發(fā)的，因此，問(wèn)題是思維起點(diǎn)，也是終點(diǎn).好的教學(xué)以問(wèn)題為主體，思維為主線，用問(wèn)題來(lái)激發(fā)高階思維.課標(biāo)、教材、高考題有很多值得深度研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是激發(fā)學(xué)生高階思維 的 好 問(wèn) 題.如 教 材 證 明 公 式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，由左邊聯(lián)想夾角，構(gòu)造向量，由右邊聯(lián)想坐標(biāo)(cosα，sinα)，(cosβ，sinβ)，構(gòu)造單位圓，這就是一個(gè)充滿想象和創(chuàng)造，極有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

有價(jià)值含義深刻的數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)讓學(xué)生浮想聯(lián)翩，“無(wú)”中生“有”，“有”中生“新”，“新”中生“奇”，例如 我 們 熟 知 的 問(wèn) 題：已 知a，b，m∈R+，且a

三、構(gòu)造法培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維的主要路徑

（一）基于“函數(shù)”的構(gòu)造

基于“函數(shù)”的構(gòu)造，需要從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征，構(gòu)造出能解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)對(duì)象.函數(shù)是數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的概念，它描述了客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律，既具體又抽象，通過(guò)對(duì)條件結(jié)構(gòu)特征的分析、思考、聯(lián)想，結(jié)合函數(shù)概念和性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性等），構(gòu)造符合要求的基本初等函數(shù)，可以解決復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力，如公式=2n的證明就是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1+x)n，再結(jié)合二項(xiàng)式定理+…+

令x=1，即獲證.

在數(shù)學(xué)高考試題中，常常出現(xiàn)已知條件是用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的抽象函數(shù)的性質(zhì)的試題，例如，2008年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第11 題：

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)=f（y）+2xy(x，y∈R)，f(1)=2，則f(-3)等于（ ）

A.2 B.3 C.6 D.9

這種試題如能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，構(gòu)造背景函數(shù)——滿足要求的一個(gè)具體函數(shù)表達(dá)式（如f(x)=x2+x），就可以化抽象為具體，從而快速、準(zhǔn)確地獲取正確結(jié)果.這就要求學(xué)生對(duì)學(xué)過(guò)的常用基本初等函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)）的基本性質(zhì)深入地了解，理解函數(shù)的本質(zhì)特征，才能創(chuàng)造適合解決問(wèn)題的函數(shù).

常見(jiàn)函數(shù)f(x)滿足的性質(zhì)及與之對(duì)應(yīng)的特殊函數(shù)（背景函數(shù)），如表2 所示：

表2

由于抽象函數(shù)問(wèn)題具有抽象性、綜合性，既能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，又能考查學(xué)生的分析和創(chuàng)新等高階思維能力，因而它是歷年高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn).抽象函數(shù)具有高度的抽象性，學(xué)生在解題過(guò)程中往往感到不知從何處入手，構(gòu)造背景函數(shù)的方法在選擇填空題中尤其實(shí)用，應(yīng)用合理，則事半功倍.［4］

例1（2020 全國(guó)卷I 理科12）若2a+log2a=4b+2 log4b，則

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：在記憶指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)概念，理解它們的性質(zhì)基礎(chǔ)上，分析條件和選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x=log2x，則f(x)為增函數(shù)，由2a+log2a=4b+2 log4b=22b+log2b，得f(a) -f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)=-1<0，所以f(a)

f(a) -f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b，當(dāng)b=1 時(shí)，f(a) -f(b2)=2 >0，此 時(shí)f(a) >f(b2)，有a>b2.

當(dāng)b=2 時(shí)，f(a) -f(b2)=-1<0，此 時(shí)f(a)

例2（2009 高考陜西理12）定義在R 上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有(x2-x1)(f(x2) -f(x1)) >0.則當(dāng)n∈N*時(shí)，有

A.f(-n)

B.f(n-1)

C.f(n+1)

D.f(n+1)

分析：因?yàn)?x2-x)(f(x2)-f(x1)) >0，函數(shù)在-(∞，0]上為增函數(shù)，

又因?yàn)閒(x) 為偶函數(shù)，選擇背景函數(shù)為f(x)=-x2.

∴f(-n)=n2，f(n-1)=(n-1)2，f(n+1)=(n+1)2

∴當(dāng)n∈N*時(shí)，B 選項(xiàng)正確.

例3（2015 全國(guó)卷Ⅱ理科12）設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R) 的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0 時(shí)，xf′(x) -f(x) <0，則使得f(x) >0 成立的x的取值范圍是

A.(-∞，-1) ?(0，1) B.(-1，0) ?(1，+∞)

C.(-∞，-1) ?(-1，0) D.(0，1) ?(1，+∞)

分析：由已知抽象關(guān)系xf′(x) -f(x) <0，聯(lián)想導(dǎo)數(shù)除法法則，構(gòu)造函數(shù)g(x)=，則g′(x)=，因?yàn)楫?dāng)x>0 時(shí)，xf′(x) -f(x) <0，故當(dāng)x>0 時(shí)，g′(x) <0，所以g(x)在（0，+∞）單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(-∞，0)單調(diào)遞減，且g(-1)=g(1)=0.當(dāng)0 0，則f(x) >0；當(dāng)x<-1 時(shí)，g(x) <0，則f(x) >0，綜上所述，使得f(x) >0 成立的x的取值范圍是(-∞，-1)?(0，1)，故選A.

（二）基于“圖形”的構(gòu)造

數(shù)有了形則直觀，形有了數(shù)則深刻，很多代數(shù)結(jié)構(gòu)具有形的影子，如a2對(duì)應(yīng)正方形面積，對(duì)代數(shù)關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想遷移，構(gòu)造合理的幾何圖形，再通過(guò)分析、思考、計(jì)算等系列思維活動(dòng)，形成有創(chuàng)造性的思路和方法，這就完成從低階思維到高階思維的跨越.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家善于構(gòu)造圖形驗(yàn)證或證明代數(shù)等式、不等式，如趙爽構(gòu)造正方形ABCD，以及四個(gè)全等的直角三角形（弦圖），以此驗(yàn)證代數(shù)不等式a2+b2>2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）.

教材中的例題具有示范性和典型性，因此，例題教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生從不同角度，應(yīng)用新舊知識(shí)去聯(lián)想、去思考，克服學(xué)生思維定式，提高學(xué)生的高階思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

人教社A 版選修4-5 有一道非常經(jīng)典的例題：已知a，b，m∈R+，且a

該例題證明方法眾多，有低階的作差證明，高階的三角形構(gòu)造，特別有創(chuàng)新的方法是構(gòu)造函數(shù)f(x)=，它在(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，曲邊梯形ABCD 的面積大于曲邊梯形EFGH 的面積，所以因此,，從而不等式獲證.（見(jiàn)圖1）

課堂教學(xué)中，注意挖掘教材中具有某種創(chuàng)新價(jià)值的素材，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.[5]選擇有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，思考過(guò)程就是思維水平從低階逐步邁向高階的過(guò)程.

人教社A 版必修2 習(xí)題3.3B組第8 題：

圖1

要證的不等式有隱含的幾何元素——兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間距離，及四個(gè)定點(diǎn)O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)組成正方形，由此得到構(gòu)造“形”來(lái)證明“數(shù)”的方法.（見(jiàn)圖2）

在平面直角坐標(biāo)系中，畫點(diǎn)A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)三點(diǎn).

設(shè)P(x，y)是正方形OABC內(nèi)一點(diǎn)，則有0

圖2

高考試題也有豐富的基于“圖形”的構(gòu)造素材用以考查學(xué)生的高階思維能力，如2011 年全國(guó)高考新課標(biāo)卷理科16 題：

本題欲解決三角問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造方程到構(gòu)造橢圓，完成華麗轉(zhuǎn)身，可見(jiàn)構(gòu)造法需要學(xué)生既要有厚實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，又要善于聯(lián)想和靈活應(yīng)用.構(gòu)造法非常有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提升高階思維能力.

（三）基于“法則”的構(gòu)造

數(shù)學(xué)法則是計(jì)算、推理的依據(jù)，數(shù)學(xué)法則的表層應(yīng)用是低階思維，如計(jì)算并不需要?jiǎng)?chuàng)造性，只需記憶、理解對(duì)數(shù)基本知識(shí)，應(yīng)用對(duì)數(shù)四則運(yùn)算法則log2MN=logaM+logaN(a>o，a≠1，M>0，N>0)就可以求解.法則構(gòu)造首先要記憶理解有關(guān)法則，其次熟練應(yīng)用法則，這些都還是低階思維，在此基礎(chǔ)上深度思考，將法則應(yīng)用于新領(lǐng)域，進(jìn)行推理、計(jì)算、綜合和創(chuàng)造，發(fā)現(xiàn)或證明新的命題，這就需要高階思維.

二項(xiàng)式定理的證明就是典型的基于數(shù)學(xué)法則的構(gòu)造性證明，其根據(jù)是多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則.

因?yàn)?a+b)n是n個(gè)(a+b)相乘，根據(jù)多項(xiàng)式相乘的規(guī)律，展開(kāi)式中的每一項(xiàng)都是一個(gè)n次項(xiàng)，具有形式an-kbk，其中k=0，1，2，…，n.

因?yàn)閗個(gè)b來(lái)自不同的k個(gè)二項(xiàng)式(a+b)，n-k個(gè)a來(lái)自剩余的n-k個(gè)二項(xiàng)式(a+b)，所以an-kbk同類項(xiàng)的個(gè)數(shù)是組合數(shù).

即(a+b)n=

二項(xiàng)式定理的證明方法具有創(chuàng)新性，通過(guò)二項(xiàng)式定理的構(gòu)造性證明，有利于深刻體會(huì)運(yùn)算法則的作用，同時(shí)感知基于多項(xiàng)式乘法運(yùn)算（低階思維），是發(fā)現(xiàn)和提出命題、探索和嚴(yán)格論證（高階思維）的基礎(chǔ)，在構(gòu)造性證明過(guò)程中提高學(xué)生高階思維能力.