多種非線性因素下電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

滕漢卿　穆然

摘 要：本文以經(jīng)典的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為基礎(chǔ)建立了電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，在綜合考慮電磁力、質(zhì)量偏心力等非線性因素的基礎(chǔ)上建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，通過(guò)四階龍格庫(kù)塔法對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，借助分岔圖、Poincaré截面圖、相圖等探討此類(lèi)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨系統(tǒng)參數(shù)變化的分岔特性及演化過(guò)程，并判斷系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。結(jié)果表明，該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在加速初期有短暫的跳躍震顫現(xiàn)象，后經(jīng)倍化分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并以周期8—周期4—周期2—周期1運(yùn)動(dòng)的逆倍化分岔形式退出混沌運(yùn)動(dòng)，在后續(xù)加速過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性越來(lái)越復(fù)雜。

關(guān)鍵詞：電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng);分岔;混沌

中圖分類(lèi)號(hào)：TH133.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2021）26-0054-05

Dynamic Stability Analysis of Magnetic Bearing Rotor System

under Various Nonlinear Factors

TENG Hanqing MU Ran

（Hunan Railway Professional Technology College， Zhuzhou Hunan 412001）

Abstract： In this paper， the model of magnetic bearing rotor system was established based on the classic Jeffcott rotor system， the motion differential equation of the system was established based on the nonlinear factors such as electromagnetic force and mass eccentricity force， through fourth-order Runge-Kutta method to numerically simulate the differential equations of the system. The bifurcation characteristics and evolution process of the rotor system with the change of system parameters were discussed by bifurcation diagram， Poincaré section diagram and phase diagram， judge the periodic motion stability of the system. The results show that the rotor system has a short jump tremor at the initial stage of acceleration， then enters chaotic motion state through doubling bifurcation， and exits the chaotic motion in the form of inverse doubling bifurcation of period 8-period 4-period 2-period 1. In the subsequent acceleration process， the dynamic characteristics of the system become more and more complex.

Keywords： active magnetic bearing rotor system;bifurcation;chaos

隨著磁懸浮技術(shù)的不斷發(fā)展，電磁軸承的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。電磁軸承是利用電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮起來(lái)，并且可以通過(guò)控制系統(tǒng)控制的一種高性能機(jī)電一體化軸承。由于其具有無(wú)接觸摩擦、無(wú)須潤(rùn)滑、高精度、高轉(zhuǎn)速、低功耗、特性可控、使用壽命長(zhǎng)等突出優(yōu)點(diǎn)，因此在支撐領(lǐng)域越來(lái)越受到人們的關(guān)注。隨著現(xiàn)代控制理論和電子技術(shù)的快速發(fā)展，美國(guó)、法國(guó)、日本等國(guó)已將電磁軸承應(yīng)用于工業(yè)實(shí)際中，在衛(wèi)星慣性飛輪、高速離心機(jī)、高速機(jī)床、真空泵及航天器動(dòng)量輪等一些關(guān)鍵部位都有電磁軸承的身影[1-4]。目前，國(guó)內(nèi)對(duì)電磁軸承的研究還處于實(shí)驗(yàn)室研究階段，距離工業(yè)應(yīng)用還有一定的距離。電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究?jī)?nèi)容涉及基本的電磁學(xué)、電子學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等學(xué)科。由于電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，只用傳統(tǒng)的線性理論已經(jīng)不能完全揭示其所包含的非線性動(dòng)力學(xué)特性。因此，對(duì)該系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性及其周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究就很有必要。國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者針對(duì)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。張鋼等[5]從非線性多自由度的角度對(duì)5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，通過(guò)數(shù)值模擬結(jié)合試驗(yàn)的方法探討了此類(lèi)系統(tǒng)豐富的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。JAWAID等研究了幾何耦合參數(shù)及重力參數(shù)變化對(duì)主動(dòng)磁懸浮軸承撓性轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，利用分岔圖、時(shí)間響應(yīng)圖及Poincaré截面圖對(duì)主動(dòng)磁軸承支承的剛性轉(zhuǎn)子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由環(huán)面破裂引起的混沌行為進(jìn)行了深入研究[6-7]。孫保蒼等研究了磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主共振情形時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)行為[8]。單小磊研究了裂紋對(duì)磁浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的影響，分析了裂紋深度及裂紋角的變化對(duì)系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響規(guī)律，對(duì)此類(lèi)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障識(shí)別提供參考[9]。趙涇雄等使用ABAQUS有限元軟件數(shù)值模擬磁浮軸承轉(zhuǎn)子跌落至輔助軸承時(shí)，輔助軸承內(nèi)圈與滾動(dòng)體的變形及能量損耗特性，驗(yàn)證輔助軸承的可靠性[10]。本文通過(guò)對(duì)無(wú)量綱化后的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行仿真計(jì)算，通過(guò)不斷試驗(yàn)選取合理的系統(tǒng)控制參數(shù)，并在此參數(shù)下以分岔圖及轉(zhuǎn)子相圖為主要依據(jù)分析系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，從而確定該系統(tǒng)的周期性運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)及概周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)間，為此類(lèi)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速選取及穩(wěn)定性判斷提供依據(jù)。

1 系統(tǒng)模型及運(yùn)動(dòng)方程

以傳統(tǒng)Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為基礎(chǔ)建立系統(tǒng)模型（如圖1所示），用軸頸中心位移x、y和轉(zhuǎn)子幾何中心位移x、y描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，在綜合考慮主動(dòng)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量不平衡力及電磁力等強(qiáng)非線性因素的影響下，根據(jù)牛頓第二定律列出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的建立基于以下假設(shè)：①轉(zhuǎn)子質(zhì)量呈幾何對(duì)稱(chēng)分布;②軸是柔性但轉(zhuǎn)子與軸承卻是剛性的;③忽略轉(zhuǎn)子的軸向運(yùn)動(dòng);④忽略轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)。

式中：α為幾何耦合參數(shù);g為電磁軸承與轉(zhuǎn)子間隙;u為磁導(dǎo)率;N為線圈匝數(shù);A為電磁軸承磁鐵表面積;i為電磁軸承線圈電流;P為比例反饋增益;D為微分反饋增益。引入以下變量對(duì)方程進(jìn)行無(wú)量綱化處理[13-14]：

2 數(shù)值仿真及分析

利用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)無(wú)量綱系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程（18）進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)選取系統(tǒng)參數(shù)為：v=0.01、γ=0.25、P=1.1、D=0.03、U=0.1、W=0.02、w/w=0.65、α=0.24。在此參數(shù)基礎(chǔ)上展開(kāi)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的分析。

圖2為轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速比范圍內(nèi)的分岔圖。其中，圖2（a）為轉(zhuǎn)速比[Ω]在0～3.00變化時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全局分岔圖，從圖中可以看出，系統(tǒng)的加速過(guò)程中有穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)、臨界失穩(wěn)的概周期及失穩(wěn)的混沌運(yùn)動(dòng);圖2（b）的分岔圖表明，轉(zhuǎn)子在初步啟動(dòng)階段出現(xiàn)了跳躍震顫現(xiàn)象[15-16]，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定性較弱;圖2（c）表明，當(dāng)轉(zhuǎn)速比為0.28～0.32時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)短暫的周期2及周期4運(yùn)動(dòng)后，在轉(zhuǎn)速比Ω為0.31時(shí)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);圖2（e）表明，在轉(zhuǎn)速比為0.64～0.80時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)由混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)逐步演變?yōu)楦胖芷谶\(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)周期8運(yùn)動(dòng)—周期4運(yùn)動(dòng)—周期2運(yùn)動(dòng)—周期1運(yùn)動(dòng)的逆倍化分岔現(xiàn)象，在Ω=0.78時(shí)進(jìn)入周期1運(yùn)動(dòng);從圖2（f）可以看出，在轉(zhuǎn)速比為1.60～2.10時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)以概周期運(yùn)動(dòng)為主，同時(shí)還出現(xiàn)了周期6運(yùn)動(dòng);在此后較長(zhǎng)的轉(zhuǎn)速比范圍內(nèi)（轉(zhuǎn)速比為0.78～1.60），系統(tǒng)保持著周期1運(yùn)動(dòng)，此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定性強(qiáng)。

圖3為不同轉(zhuǎn)速比所對(duì)應(yīng)的相圖。圖3（a）是轉(zhuǎn)速比Ω為0.64時(shí)的相圖，圖上多條軌跡交織，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)振動(dòng)幅度最大，振動(dòng)最劇烈，表現(xiàn)出失穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)特性;圖3（b）是轉(zhuǎn)速比Ω為0.68時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為周期8的運(yùn)動(dòng)，借助圖4所示的Poincaré映射截面圖來(lái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)周期數(shù)驗(yàn)證;圖4（a）是轉(zhuǎn)速比Ω=0.68時(shí)的Poincaré映射截面圖，圖中出現(xiàn)了8個(gè)孤立點(diǎn)，表明此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為周期8運(yùn)動(dòng);圖3（c）為轉(zhuǎn)速比Ω=0.69時(shí)的相圖，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)由周期8經(jīng)過(guò)逆倍化分岔變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng);圖3（d）為轉(zhuǎn)速比Ω=1.65時(shí)的相圖，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為概周期1運(yùn)動(dòng)，相圖成網(wǎng)狀交織的輪胎狀。圖4（b）為轉(zhuǎn)速比Ω=1.65對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的Poincaré截面投影圖，表現(xiàn)為一個(gè)封閉的環(huán)，軸心軌跡在這個(gè)封閉的環(huán)域內(nèi)做震蕩運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)，如果此時(shí)轉(zhuǎn)子出現(xiàn)磕碰振動(dòng)，則會(huì)失去穩(wěn)定性。圖3（e）為轉(zhuǎn)速比Ω=1.80時(shí)的概周期運(yùn)動(dòng)相圖，圖4（c）為轉(zhuǎn)速比Ω=1.80對(duì)應(yīng)的龐加萊截面映射圖，此時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)也處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)，可能出現(xiàn)因磕碰造成轉(zhuǎn)子失穩(wěn)的情況。

3 結(jié)論

本文運(yùn)用龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真模擬，通過(guò)對(duì)分岔圖、轉(zhuǎn)子相圖及Poincaré映射截面圖進(jìn)行分析，得出以下結(jié)論。

①在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整個(gè)加速過(guò)程中，當(dāng)轉(zhuǎn)速比在0.46～0.64、0.78～1.60、2.10～3.00時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性強(qiáng)，但在選擇工作轉(zhuǎn)速時(shí)要注意避開(kāi)周期1運(yùn)動(dòng)中的震顫跳躍點(diǎn)。

②當(dāng)轉(zhuǎn)速比在0.31～0.78和1.60～2.10時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以混沌及概周期運(yùn)動(dòng)為主，在這一轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)呈現(xiàn)出失穩(wěn)和臨界失穩(wěn)的狀態(tài)，尤其要注意轉(zhuǎn)速比為0.64時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在轉(zhuǎn)子加速過(guò)程中要快速穿越這些轉(zhuǎn)速區(qū)間，防止系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間失穩(wěn)狀態(tài)下運(yùn)行產(chǎn)生故障。

③在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中出現(xiàn)了周期8—周期4—周期2—周期1運(yùn)動(dòng)的逆倍化分岔現(xiàn)象，在概周期運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)周期6的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

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