基于對數正態分布的海雜波修正概率密度分布函數

周 亮，匡華星，張玉濤，丁 春，王玲玲

(中國船舶集團有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

海雜波是海面反射雷達波所形成的回波信號。海雜波功率較強時會淹沒目標回波且會產生大量虛警，直接影響著對海探測時的目標檢測性能。[1-3]一類重要的目標檢測方法是恒虛警檢測算法，其根據海雜波幅度的概率密度分布模型及虛警率來控制檢測門限。因此，海雜波的概率密度分布模型無論在設計階段還是在信號處理階段都具有重要的參考價值。

海雜波幅度的隨機起伏性可以使用概率密度分布模型進行描述。經典的幅度概率密度分布模型主要研究的是海雜波的線性幅度。傳統的概率密度分布模型有瑞利分布、對數正態分布、韋布爾分布和K分布等[4-5]。研究發現，海雜波分布存在嚴重拖尾現象，導致這些模型與實際數據的統計結果存在較大的偏差。為了解決拖尾問題，相繼發展了多種概率密度分布模型，可以分為3類：(1)通過改變海雜波紋理分量的概率密度分布的方式，得到廣義K分布模型[6]；(2)混合一種或幾種概率密度分布，形成KA分布、KK分布[7]、WW分布等廣義復合概率分布模型[8]；(3)提出新的統計模型，如Pareto分布[9]、逆伽馬分布、逆高斯分布等模型。

國內外研究雖然提出了很多海雜波概率密度分布模型，但這些模型主要存在2個問題，一是這些概率密度分布模型是非標準化的，在不同的距離單元上海雜波回波信號的統計特性存在差異性。數據擬合后所得到的幅度分布模型僅適用于當前距離單元，而難以適用于其他距離段上的分辨單元；二是模型的可控參數較少，導致擬合誤差大，難以吻合實際的海雜波幅度分布。

針對上述問題，本文對標準化后(對數回波減均值后除方差得到無量綱的值)的海雜波幅度進行數理統計，使得分析的海雜波幅度分布模型能夠很好地適用于不同的距離段，提高了模型的適用性；并提出了兩種修正對數正態分布模型，使其能夠更好地表示海雜波幅度分布的左右不對稱性。最后統計了海雜波在不同距離段、多周期上的幅度概率密度分布曲線。結果表明，修正概率密度分布模型能夠顯著減少幅度分布上的誤差，具有重要的工程應用價值。

1 海雜波幅度的對數標準化概率密度分布

最早提出的海雜波幅度分布為瑞利分布模型，其假設天線波束照射區內大量散射單元回波滿足獨立同分布的高斯隨機過程，則回波幅度符合瑞利分布。但是，隨著雷達分辨率的提高，在低入射角時海雜波幅度分布出現了更長的拖尾，其概率分布偏離了高斯分布，因此需要采用對數正態分布、威布爾(Weibull)分布和復合K分布等非高斯模型。具體分布函數如表1所示。

表1 經典的海雜波線性幅度的概率密度分布模型

為了獲得對數幅度條件下的分布函數，可以通過累積概率密度函數(CDF)進行計算。設線性幅度X具有概率密度分布fX(x)，其對數幅度為Y=20log10(X)，其反變換為X=10Y/20。對數幅度下的累積分布函數FY(y)滿足：

FY(y)=P{Y≤y}

=P{20log10(X)≤y}

=P{X≤10y/20}

=FX(10y/20)

求導后得到對數幅度條件下的分布函數：

為了獲得滿足不同量程的概率密度分布，提取和分析環境雜波的幅度特征，還需要對數據進行標準化，具體為

其中，μ和σ分別為隨機變量Y的均值和標準差，需要通過實測數據求出：

求導后得到標準化后的分布函數：

根據標準化的海雜波概率密度分布函數可以得到全距離段上對數及線性的海雜波概率密度分布函數：

2 基于對數正態分布的海雜波修正概率密度分布

實驗表明，X波段雷達的海雜波幅度概率密度分布曲線能夠很好地吻合對數正態分布模型。具體參數可以通過參數擬合方法獲得，將海雜波數據取對數并標準化后，通過數理統計方法來獲得不同距離段、不同掃描周期的海雜波幅度概率密度曲線，再通過參數擬合方法來得到最佳的參數。

選擇導航雷達和某雷達的實測數據進行分析，擬合得到的概率密度分布曲線如圖1所示。

圖1 海雜波對數幅度在標準化后的概率密度分布，

從圖1中可以看出，海雜波對數幅度在經過標準化后與對數正態分布的均方根誤差分別為0.7%、0.8%和0.71%，均方根誤差的定義為

實測結果由兩型雷達在不同距離段、不同周期、3個測量時間上獲得的，其概率密度分布具有一致性，說明海雜波對數幅度在標準化后的概率密度分布具有深刻的內在規律。然而，標準正態分布不能很好地刻畫海雜波的特征，需要對其進行修正。

2.1 3參數修正對數正態分布模型

實測海雜波概率密度分布曲線表明，在均值左右應滿足不同方差的正態分布，得到3參數修正對數正態分布模型，即

即可以得到3參數修正對數正態分布模型：

2.2 11參數修正對數正態分布模型

為了更好地擬合海雜波幅度分布模型，得到一般性更強、吻合度更好的概率密度分布模型，可以使用泰勒公式在均值處進行展開，左右各取4階多項式進行匹配擬合，寫為

其中，擬合所用多項式為

乘多項式后的函數其定積分不再為1，因此需要對其歸一化，得到11參數修正對數正態分布模型：

3 實驗驗證

為了對海雜波標準化后幅度的概率密度分布規律進行分析和建模，對導航雷達和某雷達實測數據進行統計，結果如圖2所示，圖中結果已經對100個周期數據進行了平均。可以看出，海雜波標準化后的對數幅度分布比線性幅度分布穩定，對數幅度在不同距離段上較為相似，而線性幅度存在較大的區別，因此，采用對數幅度能夠更好地描述多量程段上的海雜波幅度分布規律。

圖2 不同距離時海雜波幅度概率密度分布曲線

分別采用韋布爾分布和復合K分布來描述海雜波線性幅度(同樣經過標準化，即海雜波線性幅度減均值后除標準差，得到的無量綱值)的概率密度分布曲線，曲線擬合后的結果如圖3所示。從圖中可以看出，線性幅度條件下，使用韋布爾分布擬合的分布曲線存在2%～4.2%的誤差，使用復合K分布擬合的分布曲線存在1.5%～4%的誤差，擬合誤差較大。這和文獻[2]中X波段雷達數據的結論相似。

圖3 不同距離時海雜波幅度概率密度分布曲線

采用3參數修正對數正態分布擬合得到的海雜波概率密度分布模型，其與實測數據的吻合程度更好。相較于對數正態分布而言，3組數據的擬合誤差分別降低了32.8%、22.5%和49.3%。與擬合的對數正態分布曲線相比，曲線均值正向移動到0.16～0.2之間，均值左邊的方差在1.03～1.05之間，右邊的方差在0.83～0.84之間，如圖4所示。3參數修正模型存在一定的偏斜，左右不再對稱。

圖4 3參數修正對數正態分布模型擬合結果

采用11參數修正對數正態分布擬合得到的海雜波概率密度分布模型，其與實測數據的吻合程度得到進一步提高，參數如表2所示。相較于對數正態分布而言，3組數據的擬合誤差分別降低了87.1%、72.5%和94.4%，如圖5所示。值得注意的是，擬合誤差的減小會降低模型的泛化性，得到的新模型的均值在0.01～0.05之間，左右的標準差也有所增加。

表2 11參數修正對數正態分布模型中的多項式系數

圖5 11參數修正對數正態分布模型擬合結果

4 結束語

本文提出了對數正態分布的兩種修改模型，能夠很好地分析海雜波對數幅度在標準化后的概率密度分布規律。通過X波段雷達實測數據統計結果的對比，驗證了算法的正確性和有效性。該算法能夠應用在雷達恒虛警檢測和自適應檢測算法中，具有一定的工程應用價值。