對稱軌道型單側碰撞非線性能量阱的振動抑制

黎文科， 楊鐵軍， 李新輝

(哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

結構在極端載荷作用下容易發生破壞，造成嚴重的經濟損失及人員傷亡。有效控制結構振動一直是各國學者研究的熱點問題[1]。非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)是一種新型的被動振動控制設備，當其與主結構相連接時，由于非線性作用力的原因，常常具有獨特的動力學特性。例如，NES能夠實現從主結構向NES單向地、不可逆地傳遞能量，這種現象被稱為靶能量傳遞[2-3]。另一方面，NES還能夠實現能量從低頻振動向高頻振動的轉移，由于在相同能量水平下，高頻振動常常具有幅值較小，更容易被阻尼等耗散的特點，這種能量轉移能夠有效的降低結構動力學響應[3-4]。軌道型非線性能量阱(track NES)是一種新型的NES，由Wang等[5]提出之后就受到學者的廣泛關注。不同于其他NES設備，軌道型NES通過設置一個質量在特定的軌道上運動實現非線性回復力。數值仿真[5]和實驗研究[6]都表明，軌道型NES能夠有效地抑制結構在地震載荷作用下的動力學響應。進一步的，劉中坡等[7]將軌道型NES應用于大型樓房結構的抗震控制之中，實驗結果表明，在多種地震載荷作用下，軌道型NES均能有效地抑制結構響應，尤其對位移均方根響應控制效果最為突出。隨后，劉中坡等[8]又將軌道型NES應用于高層結構的脈動風振控制之中，結果表明，優化的軌道型NES能夠同時抑制多個模態的振動，提高建筑在脈動風振載荷作用下的舒適程度。在軌道型NES設計過程中，軌道形狀，NES質量以及阻尼等是重要的設計參數，不同的參數將會導致不同的控制效果。因此，對軌道型NES設計參數的研究和分析對其實際應用有著重要的指導意義。王菁菁等[9]研究發現，當實際輸入系統中的能量與設計輸入能量差異較大時對軌道型NES性能的影響較大，但是這種影響可以通過調節阻尼而消除。王菁菁等[10]還比較了不同軌道形狀對軌道型NES性能的影響，并從控制效果和實際實現等方面給出了軌道形狀的選擇建議。Lu等[11]給出了一種軌道型NES的參數優化的通用方法，并將其應用于大型結構的振動控制之中，實驗結果驗證了優化策略的有效性。碰撞過程會導致速度的迅速改變，并伴有能量損失，在NES的設計過程中常常被考慮。Wang等[12]通過在軌道型NES的基礎上增加一個單側的碰撞表面，將其擴展成單側碰撞軌道型非線性能量阱(single-sided vibro-impact track nonlinear energy sink, SSVI Track NES)。該SSVI Track NES在運動過程中會產生光滑和非光滑非線性回復力。并且由于碰撞表面的引入，進一步增強了能量從低頻振動向高頻振動的轉移。大量結果表明這種SSVI Track NES能夠在更寬的范圍內有效抑制結構振動響應。Li等[13-14]考慮了主結構豎直方向的動力學特性，并通過數值仿真發現SSVI Track NES能夠將主結構水平方向的振動轉移至豎直方向的振動。對于建筑結構，由于結構豎直方向的剛度通常很大，且不容易發生破壞。因此，水平方向向豎直方向的能量轉移有利于保護結構。受到以往研究[13-15]的啟發，本文提出一種對稱單側碰撞軌道型非線性能量阱(symmetric single-sided vibro-impact track nonlinear energy sink, SSSVI Track NES)，克服了SSVI Track NES振動控制性能受載荷方向的影響這一問題。首先，推導系統的動力學方程，并討論設計參數變化對其振動控制性能的影響。經過研究發現，SSSVI Track NES不僅僅是2個SSVI Track NES的簡單組合，還存在更加復雜的動力學過程，會產生更復雜的運動。數值仿真表明，SSSVI Track NES不僅能夠有效的抑制結構動力學響應，實現能量從低頻振動向高頻振動的能量轉移，還對軌道形狀及NES質量等設計參數的差異具有很強的魯棒性，這對其實際應用具有十分重要的現實意義。

1 對稱軌道型單側碰撞NES

作為一種新型的NES，SSSVI Track NES不僅具有SSVI Track NESS的優點：通過與待減振結構之間的光滑和非光滑非線性回復力，實現在較短的時間內迅速降低結構動力學響應。對稱布置可以克服SSVI Track NES對于外部載荷方向的敏感性這一問題。

如圖1為帶有SSSVI Track NES的系統示意圖。主結構為1個單自由度線性振子，其質量為m1，通過剛度為k1的線性彈簧和阻尼系數為c1的線性阻尼與基礎相連接，其位移用X1表示。SSSVI Track NES由2個質量mN1和mN2分別在形狀H1(U1)和H2(U2)的軌道上運動構成，其中U1和U2分別代表質量mN1和mN2的相對于主結構的位移，XN1和XN2分別代表質量mN1和mN2的絕對位移。NES與主結構之間為線性阻尼，阻尼系數分別為cN1和cN2。在距離軌道底部B和-B的位置布置碰撞表面，當NES中的質量運動到碰撞表面時，NES與主結構發生碰撞，同時伴有動量交換和能量損失。

圖1 對稱軌道型單側碰撞NES系統示意Fig.1 SDOF system with a SSSVI track NES

1.1 非碰撞間隔運動方程

假設SSSVI Track NES的2個質量mN1和mN2在運動過程中均不與軌道分離。當質量塊mN1和主結構質量m1之間的相對位移大于間隙-B、且非線性能量阱的質量塊mN2和主結構質量m1之間的相對位移小于間隙B時，NES中的2個質量均未達到碰撞表面，主結構與SSSVI Track NES不發生碰撞。此時，整個系統的勢能為：

(1)

整個系統的動能為：

(2)

非保守力所做虛功為：

(3)

將式(1)～(3)分別代入拉格朗日方程：

(4)

可以得到系統的運動方程：

(5)

式中：U1、U2分別代表SSSVI Track NES中質量mN1和mN2相對主結構的位移；X1代表主結構位移，重力加速度為g。NES在運動過程中產生的非線性回復力為：

(6)

式中FNi(i=1,2)分別代表SSSVI Track NES中質量mN1和mN2在運動過程中產生的非線性恢復力。

(7)

其中NES在運動過程中產生的無量綱化非線性回復力為：

1.2 碰撞時運動方程

當主結構與SSSVI Track NES的相對位移之差等于碰撞間隙的時候，主結構與SSSVI Track NES質量發生碰撞。假設在碰撞的時，主結構和SSSVI Track NES的速度迅速改變，SSSVI Track NES與主結構之間發生動量的交換，同時伴有能量損失。碰撞結束后，SSSVI Track NES和主結構又以新的初值運動，直至下一次碰撞發生。假設碰撞是一瞬時發生的，恢復系數為：

(8)

式中上標-和+分別表示碰撞前時刻和碰撞之后時刻。當SSSVI Track NES中的2個質量mN1或mN2中僅有1個與主結構m1發生碰撞時，通過引入動量守恒定律，碰撞前后SSSVI Track NES和主結構的速度為：

(9)

然而，整個系統在運動過程中還存在另一種碰撞，即SSSVI Track NES的2個質量同時到達碰撞邊界，則會發生3個質量的相互碰撞。結合恢復系數定義及動量守恒方程可以得到：

(10)

因此，SSSVI Track NES不僅僅是2個SSVI Track NES的簡單對稱布置，而是存在更加復雜的動力學行為。

2 仿真結果及分析

在仿真過程中檢測SSSVI Track NES的質量mN1或mN2是否抵達碰撞表面。若判斷結果為真，則中斷仿真，判斷此時屬于何種碰撞模式，并將速度代入到式(9)或式(10)中計算碰撞后的速度。將得到的結果視作新的初始條件，重新開始計算。

2.1 軌道形狀和NES質量的影響

SSSVI Track NES由于碰撞耗散的能量如圖2所示，從圖中可以觀察到對于質量較小的情況，碰撞耗散的能量很少，這是由于質量過于小從而不能有效的從主結構吸收能量并耗散。相比較軌道形狀而言，質量對碰撞耗散的能量影響更為明顯。另一方面，存在最優的軌道形狀參數和質量組合使碰撞損耗的能量達到最大值(約占總能量的60%)。

圖2 碰撞耗散的能量Fig.2 Energy dissipated due to impact

從圖3可以看出，隨著軌道形狀參數aNi的增加，阻尼耗散的能量明顯降低，而說明軌道形狀對阻尼耗散的能量影響較大。觀察到當固定軌道形狀而改變SSSVI Track NES質量參數時，阻尼耗散的能量并未發生明顯改變，說明相比較NES質量而言，軌道形狀對阻尼耗散的能量影響更為明顯。

圖3 阻尼耗散的能量Fig.3 Energy dissipated due to damping

從圖4可以看出，當質量過小或者軌道形狀參數過大的時候，SSSVI Track NES耗散的總能量都很少。存在1個特定的SSSVI Track NES軌道形狀和質量的組合使得總耗散的能量達到最大值。

圖4 總耗散的能量Fig.4 Total energy dissipated

2.2 系統響應分析

選取從圖4中總耗散能量最多的NES軌道形狀和質量組合aN1=aN2=0.001和mNES=0.32作為以下仿真參數。同時將SSSVI Track NES與NES鎖住的情況進行對比。NES鎖住是將NES與主結構固定在一起，主結構與NES之間沒有相對運動，NES鎖住時SSSVI Track NES的2個質量塊和主結構相當于一個整體。從主結構振動的角度來看，這樣選擇時具有相同的附加質量。

如圖5為NES鎖住和NES未鎖住2種情況下主結構的響應。從圖5(a)可以看出，當NES未鎖住時，主結構的響應迅速降低，說明SSSVI Track NES能夠迅速降低結構響應。從圖5(b)可以看出，除了迅速降低主結構的速度響應之外，SSSVI Track NES還會引起速度的突然改變，這種速度的突然改變是由碰撞引起的。

主結構的速度響應進行小波變換如圖6所示。比較SSSVI Track NES鎖住和SSSVI Track NES未鎖住的情況發現，對于SSSVI Track NES鎖住的情形，整個系統只存在一種頻率的振動；而對于SSSVI Track NES未鎖住的情形，除了低頻率的振動以外，還存在更高頻率的振動，說明SSSVI Track NES能夠實現低頻振動向高頻振動轉移。結合圖5可知這種低頻振動向高頻振的轉移主要是由碰撞引起的。低頻振動向高頻振的轉移對于降低結構振動響應是有意義的：高頻振動的能量更容易被阻尼等耗散，另一方面，在同等能量量級下，高頻振動的幅值小于低頻振動的幅值，因此能夠快速、有效地抑制結構的振動響應。

2.3 魯棒性分析

在實際應用過程中，由于加工誤差等的存在，使設備參數完全符合設計要求將會導致巨大的成本。另一方面，設備在使用過程中會存在損耗，從而導致偏離設計要求。基于這些考慮，檢驗SSSVI Track NES參數差異對其性能的影響則顯得十分重要。SSSVI Track NES的設計參數主要體現在軌道形狀和質量2個方面。首先考慮當SSSVI Track NES質量為mNES=0.32時，軌道形狀變化對其降低系統中能量的影響。選取aN1=0.001，而將aN2的變化范圍設置為最優值的0.8～1.2。圖7可以看出，隨著aN2/aN1的增加，碰撞耗散的能量減少，阻尼耗散的能量增加，但總耗散的能量變化不明顯，說明在小范圍內改變軌道形狀，對其性能的影響并不大。因此，可以說明SSSVI Track NES對軌道形狀差異具有很好的魯棒性。

圖5 主結構的響應Fig.5 Primary structure response

圖6 主結構速度響應小波變換Fig.6 Wavelet spectrum of velocity response of the primary structure

圖7 對軌道差異性的魯棒性Fig.7 Robustness to track shape differences

為了檢驗SSSVI Track NES中2個質量mN1和mN2之間的差異對其性能的影響，固定mN1=0.16，而將mN2的變化范圍設置為最優值的0.8～1.2倍。從圖8可以觀察到，隨著mN2/mN1的增大，總耗散的能量和碰撞耗散的能量均增加，而阻尼耗散的能量減少。注意到，碰撞的耗散能量的增加會更有利于系統響應的降低，這主要是由于碰撞會導致低頻振動向高頻振動轉移，進而更容易將能量耗散。當mN2/mN1超過1之后，總耗散的能量增加并不明顯，卻導致NES的總質量增加，這是不利的，因此應該避免增加額外的質量。總體來說，SSSVI Track NES對于設計參數變化具有較強的魯棒性。

圖8 對質量差異的魯棒性Fig.8 Robustness to mass differences

3 結論

1)本文提出一種對稱單側碰撞軌道非線性能量阱(SSSVI Track NES)，并將其應用于一個單自由度振動結構的響應控制之中。通過分析SSSVI Track NES參數變化對碰撞耗散能量、阻尼耗散能量及總耗散能量的影響，得到SSSVI Track NES的最優參數，為其設計應用提供指導。

2)優化后的SSSVI Track NES能夠實現能量從低頻振動向高頻振動轉移，并能有效降低主結構的振動響應。隨著SSSVI Track NES軌道形狀和質量差異的增加，整個系統中總能量的耗散并未發現明顯變化，表明SSSVI Track NES對主結構振動控制性能對設計參數差異的顯示了相對較好的魯棒性和很強的實際應用價值。

本文通過數值方法研究了對稱單側碰撞軌道非線性能量阱對單自由度主結構的振動抑制性能，將對稱單側碰撞軌道非線性能量阱應用于復雜結構的振動控制及對其性能進行實驗驗證是后期研究的重點。