一道高考圖像題的分析與教學(xué)思考

劉柳如

[摘? ?要]文章以2019年高考全國(guó)Ⅰ卷第21題為例，闡述如何讀取函數(shù)圖像中的信息解決物理問(wèn)題，并總結(jié)在高三物理教學(xué)中學(xué)生面對(duì)函數(shù)圖像類(lèi)題目時(shí)，需要關(guān)注的三種思維方法：極限思維法、構(gòu)建函數(shù)法、類(lèi)比遷移法。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)圖像;截距;斜率;面積

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）08-0054-03

函數(shù)圖像在物理學(xué)習(xí)中被廣泛應(yīng)用，2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)用函數(shù)圖像描述物理過(guò)程和物理關(guān)系有明確的要求。如必修1機(jī)械運(yùn)動(dòng)與物理模型中“1.1.3通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，能用公式、圖像等方法描述勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)”。又如“在科學(xué)探究過(guò)程中，學(xué)生要提升表達(dá)能力，表達(dá)的形式包括文字、表格、圖像、公式、插圖等”。同時(shí)讀函數(shù)圖像的能力也是高考必考的能力。縱觀(guān)歷年高考，每年都會(huì)有函數(shù)圖像的題目，如2019年高考全國(guó)Ⅰ卷第20、21、25題，2018年高考全國(guó)Ⅰ卷第15、23、33題。本文以2019年全國(guó)Ⅰ卷第21題為例，闡述如何讀取函數(shù)圖像中的信息解決問(wèn)題，并總結(jié)出在高三物理復(fù)習(xí)中如何開(kāi)展函數(shù)圖像題的復(fù)習(xí)教學(xué)。

一、從典例中歸納方法

[例1]（2019年全國(guó)Ⅰ卷第21題）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運(yùn)動(dòng)，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖1中實(shí)線(xiàn)所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過(guò)程，其a–x關(guān)系如圖1中虛線(xiàn)所示，假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則（? ? ? ）。

A. M與N的密度相等

B. Q的質(zhì)量是P的3倍

C. Q下落過(guò)程中的最大動(dòng)能是P的4倍

D. Q下落過(guò)程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

（一）試題分析

1.本題難點(diǎn)：學(xué)生一看到這個(gè)平時(shí)沒(méi)接觸過(guò)的圖像題就覺(jué)得無(wú)從下手，不知道這個(gè)圖像提供了什么解題的信息。看到已知縱橫坐標(biāo)的交點(diǎn)也不知道這交點(diǎn)的物理意義，不能很好地把圖和題文描述的物理過(guò)程聯(lián)系在一起分析。更不能很好地利用圖形與x軸圍成的面積簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

2.命題立意：本題考查了學(xué)生對(duì)萬(wàn)有引力、重力加速度、牛頓定律、彈力做功、彈性勢(shì)能等知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。本題設(shè)置的情景新穎，是萬(wàn)有引力的一種區(qū)別于以往高考題的新考法。不僅考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的熟練程度，還考查了學(xué)生讀函數(shù)圖像的能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力。

（二）解題的關(guān)鍵

1.弄清圖線(xiàn)交點(diǎn)的物理意義，找出解題突破口

抓住圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，找出其物理意義。

先讀縱軸截距，縱軸截距是當(dāng)x為零時(shí)，即彈簧壓縮量為零時(shí)（亦即物體剛放上去還沒(méi)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)）的加速度值。再根據(jù)題目描述的情景，兩物體都是只受重力作用，即可根據(jù)牛頓定律列出下面兩個(gè)等式：

二、對(duì)函數(shù)圖像問(wèn)題進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)的思考

高考題中與函數(shù)圖像有關(guān)的題目，有些是考查學(xué)生能否讀懂函數(shù)圖像的縱橫軸截距、斜率、面積的物理意義，要求學(xué)生能從圖中求出解題需要的某些物理量;有些是考查學(xué)生能否根據(jù)題目描述的物理情境，畫(huà)出或選擇出相關(guān)的物理量之間的關(guān)系圖;有些更難一點(diǎn)，是考查學(xué)生能否利用函數(shù)圖像法簡(jiǎn)化解題過(guò)程。在高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以給學(xué)生總結(jié)下面三種解決函數(shù)圖像問(wèn)題的方法，并讓學(xué)生熟練掌握。下面詳細(xì)敘述在教學(xué)中怎樣才能讓學(xué)生熟練應(yīng)用這三種方法突破函數(shù)圖像題的難點(diǎn)。

（一）極限思維法——快速確定圖像截距的物理意義

圖線(xiàn)上的點(diǎn)通常是某個(gè)狀態(tài)下兩個(gè)物理量的值，與縱橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)通常是當(dāng)一個(gè)物理量處于一種極限狀態(tài)下另一個(gè)物理量的值，對(duì)分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程和受力過(guò)程有關(guān)鍵作用，讀懂這兩個(gè)值的物理意義通常是解題的關(guān)鍵。

例如，在做探究物體的加速度與所受合外力的關(guān)系實(shí)驗(yàn)時(shí)，有時(shí)學(xué)生會(huì)描出這樣的圖像，如圖2所示。

這時(shí)教師要問(wèn)學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)圖線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)的情況，并引導(dǎo)學(xué)生以截距的物理意義為切入點(diǎn)思考問(wèn)題。圖2中左圖橫軸截距是當(dāng)加速度為零時(shí)合外力的值，即有一定合外力時(shí)，加速度卻為零。結(jié)合實(shí)驗(yàn)操作，我們記錄的力是細(xì)繩的拉力，有拉力沒(méi)有加速度，說(shuō)明存在摩擦力，即軌道一端墊得不夠高，沒(méi)有完全平衡掉摩擦力。而圖2中右圖縱軸截距是當(dāng)力為零時(shí)的加速度值，即沒(méi)有力卻有加速度，說(shuō)明平衡摩擦力時(shí)軌道墊得過(guò)高。

又如，光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，得出來(lái)的最大初動(dòng)能和入射光頻率的關(guān)系圖，如圖3所示。

教師可要求學(xué)生用“當(dāng)一個(gè)物理量為零時(shí)，另一個(gè)物理量的值”這樣的極限思維去尋找這個(gè)截距的物理意義。圖3中橫軸截距就是當(dāng)出來(lái)的光電子最大初動(dòng)能為零時(shí)的入射光頻，也即極限頻。

（二）構(gòu)建函數(shù)式——精準(zhǔn)描繪函數(shù)圖像

如果說(shuō)直接找縱橫坐標(biāo)截距物理意義的方法只能用在一些比較好分析的情況，那么對(duì)于大多數(shù)情況，我們可以用列函數(shù)表達(dá)式的方法找截距和斜率的意義，或描繪出物理量間的函數(shù)關(guān)系圖。在實(shí)際教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生知道要列函數(shù)表達(dá)式，但怎樣列式對(duì)他們來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)。對(duì)此，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）函數(shù)圖像是在什么物理情景下作出來(lái)的？是用來(lái)描述力的作用過(guò)程，還是運(yùn)動(dòng)過(guò)程（抑或是其他）？這是思考的大方向。一種大方向?qū)?yīng)著這個(gè)方向下的一些定理、定律、公式。（2）看縱橫坐標(biāo)的物理量，找出在這個(gè)方向下包含有這兩個(gè)物理量或其中一個(gè)物理量的一些公式、定理。以這個(gè)公式或定理為原始式子，再結(jié)合題目的具體情況對(duì)式子進(jìn)行細(xì)化，讓等式包含這兩個(gè)物理量。（3）把縱坐標(biāo)的物理量移項(xiàng)到等式的一邊，其余的量移項(xiàng)到另一邊。再對(duì)比一次函數(shù)式或二次函數(shù)式，得出截距和斜率的物理意義。可簡(jiǎn)單總結(jié)為6步：①確定知識(shí)大方向;②觀(guān)察縱橫坐標(biāo)的物理量;③確定原始式子;④根據(jù)題目意思細(xì)化式子;⑤移項(xiàng);⑥與一次函數(shù)或二次函數(shù)對(duì)比。

[例2]（2018年全國(guó)Ⅰ卷第15題） 如圖4，輕彈簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物塊P，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)用一豎直向上的力F作用在P上，使其向上做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，以x表示P離開(kāi)靜止位置的位移，在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)前，下列表示F和x之間關(guān)系的圖像可能正確的是（）。

在高考中，如遇上述圖像，學(xué)生就可以快速簡(jiǎn)便地運(yùn)用這些平時(shí)總結(jié)出來(lái)的方法解題，可大大節(jié)省解題時(shí)間。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 崔偉健.高中物理圖像中“面積”的意義和應(yīng)用[J]. 物理之友，2018（8）： 43-45.

[2]? 秦緒健.淺析高中物理圖像中斜率的意義及應(yīng)用[J]. 課程教育研究，2018（20）：156.

[3]? 劉磊.函數(shù)圖像法在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2013.

（責(zé)任編輯 易志毅）