電磁驅動問題分類剖析

劉光輝

[摘? ?要]電磁驅動涉及力、相對運動和能量的相關問題，解決此類問題的主要步驟：一是受力分析，畫出等效電路;二是從動量與能量的角度選取并正確分析物理過程;三是依據物理規律 列關系，并求解。文章結合例題進行分類剖析。

[關鍵詞]電磁驅動;受力分析;等效電路

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）08-0035-03

隨著科學技術的發展，電磁驅動已應用到各行各業，相比傳的統驅動方式，電磁驅動具有低碳環保、低機械磨損率等優點，以至于小到電動玩具，大到工業驅動裝置，電磁驅動的應用越來越廣泛。電磁驅動的原理即電磁感應現象，如果磁場相對于導體運動，在導體中會產生感應電流，有電流通過的導體在磁場中會受到安培力的作用，導體就會運動起來，這種作用就是電磁驅動。相比于實際模型，高中階段處理電磁驅動問題會相對簡化，但該類問題由于存在相對運動，有時還會涉及參考系的轉化，學生在解決時往往由于對規律的理解不夠深刻而出現差錯，下面就對該類問題展開討論。

一、勻強磁場驅動

解決勻強磁場的驅動問題，首先要厘清導體棒相對于磁場的運動情況，包括切割磁感線的方向和速度大小，在分析電路時，就可以獲得電源的各項參數，然后根據電路結構確定電流大小和方向，進而確定導體棒的受力情況及運動規律。

[例1]如圖1所示，兩條相距d的平行金屬導軌位于同一水平面內，其右端接一阻值為R的電阻。質量為m的金屬桿靜置在導軌上，其左側的矩形勻強磁場區域MNPQ的磁感應強度大小為B、方向豎直向下。當該磁場區域以速度v0勻速地向右掃過金屬桿后，金屬桿的速度變為v。導軌和金屬桿的電阻不計，導軌光滑且足夠長，桿在運動過程中始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸。求：

（1）MN剛掃過金屬桿時，桿中感應電流的大小I;

（2）MN剛掃過金屬桿時，桿的加速度大小a;

（3）PQ剛要離開金屬桿時，感應電流的功率P。

[例2]隨著摩天大樓高度的增加，鋼索電梯的制造難度越來越大。利用直流電機模式獲得電磁驅動力的磁動力電梯研發成功。磁動力電梯的轎廂上安裝了永久磁鐵，電梯的井壁上鋪設了導電線圈。這些線圈采取了分段式相繼通電，生成一個移動的磁場，從而帶動電梯上升或者下降。工作原理可簡化為如下情景，如圖2所示，豎直平面內有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面、方向相反的勻強磁場，磁感應強度均為B;電梯轎廂固定在如圖2所示的一個N匝金屬框abdc內（電梯轎廂在圖中未畫出），并且與之絕緣，金屬框cd的邊長為L，兩磁場的豎直寬度與金屬框ac邊的長度相同且均為d，金屬框整個回路的總電阻為R;電梯所受阻力大小恒為f;電梯空載時的總質量為m0。已知重力加速度為g。

（1）兩磁場以速度v0豎直向上做勻速運動，問電梯在圖示位置由靜止啟動的瞬間，金屬線框內感應電流的大小和方向;

（2）兩磁場以速度v0豎直向上做勻速運動，為啟動處于靜止狀態的電梯，運載乘客的總質量應滿足什么條件？

（3）兩磁場以速度v0豎直向上做勻速運動，要啟動處于靜止狀態下空載的電梯，最后電梯以某一速度做勻速運動，求在電梯勻速運動的過程中，外界在單位時間內提供的總能量。

點評：解決例1、例2兩個問題的關鍵是磁場掃過導體棒時，產生的電動勢由二者的相對速度決定，確定電動勢后再結合相應的電路分析和受力與運動分析，即可得到相應的結果。例1是單棒切割的模型，較為常規;例2是雙棒切割，要注意是雙電源，第3問還可以采用另外一種解法：系統所有增加的能量均來自于磁場的驅動，驅動磁場以速度[v0]勻速運動需要提供作用力[f+m0g]，單位時間內外界提供的總能量即為該驅動力做功的功率[（f+m0g）v0]。

二、非勻強磁場驅動

非勻強磁場的驅動問題相對復雜，一般在線框不同位置時的磁場是不同的。在分析此類問題時，采用微元法更容易厘清磁通量的變化情況，進而確定回路的電動勢，在分析受力情況時也需要特別注意由磁場差異引起的安培力的不同。

[例3]磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具，它的驅動系統可簡化為如下模型，固定在列車下端的動力繞組可視為一個矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內，長邊MN長為l，平行于y軸，寬度為d的NP邊平行于x軸，如圖3所示。列車軌道沿Ox方向，軌道區域內存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應強度B沿Ox方向按正弦規律分布，其周期為λ，最大值為B0，如圖4所示，金屬框同一長邊上各處的磁感應強度相同，整個磁場以速度v0沿Ox方向勻速平移。設在短暫時間內，MN、PQ邊所在位置的磁感應強度隨時間的變化可以忽略，并忽略一切阻力。列車在驅動系統作用下沿Ox方向加速行駛，某時刻速度為v（v

（1）簡要敘述列車運行中獲得驅動力的原理;

（2）為使列車獲得最大驅動力，寫出MN、PQ邊應處于磁場中的什么位置及λ與d之間應滿足的關系式;

（3）計算在滿足第（2）問的條件下列車速度為v時驅動力的大小。

[例4]磁懸浮列車是一種高速運載工具。它具有兩個重要系統。一個是懸浮系統，利用磁力（可由超導電磁鐵提供）使車體在導軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。另一個是驅動系統，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產生隨時間、空間作周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來源，我們求解下面的問題：設有一與軌道平面垂直的磁場，磁感應強度B隨時間t和空間位置x變化的規律為[B（x ， t）=B0cos（ωt-kx）]，式中[B0]、[ω]、[k]均為已知常量，坐標軸x與軌道平行。在任一時刻t，軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的，如圖5所示。圖中xOy平面代表軌道平面，“×”表示磁場的方向垂直xOy平面指向紙里，“· ”表示磁場的方向垂直xOy平面指向紙外。規定指向紙外時B取正值。“×”和“· ”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為[l]，與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d，金屬框的電阻為R，不計金屬框的電感。

（1）試求在時刻t，當金屬框的MN邊位于x處時磁場作用于金屬框的安培力，設此時刻金屬框沿x軸正方向移動的速度為v。

（2）試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關系。

點評：解決例3、例4兩個問題的關鍵是能準確寫出磁通量的變化，根據法拉第電磁感應定律確定回路的電動勢，進而確定電流和受力情況，當然這兩個例題也可以通過導體棒切割磁感線的模型來確定電動勢。例3主要分析了兩根導體棒同處于磁場最強位置的特殊情況，例4分析的磁懸浮模型更接近實際情境。兩根導體棒所處的磁場不同，結論更具一般性。

通過以上對電磁驅動問題的分析發現，電磁驅動問題的本源就是法拉第電磁感應定律，解題的關鍵在于感應電動勢的確定。確定電動勢一般有兩種方法，一是導體棒切割的模型，要注意導體棒相對于磁場的切割速度;二是應用回路磁通量的變化，要注意磁通量的表示要準確無誤，尤其是非勻強磁場驅動的模型。

（責任編輯 易志毅）