帶可變遺忘因子遞推最小二乘法的超級電容模組等效模型參數辨識方法

謝文超 趙延明,2 方紫微 劉樹立

（1. 湖南科技大學信息與電氣工程學院 湘潭 411201 2. 風電機組運行數據挖掘與利用技術湖南省工程研究中心（湖南科技大學） 湘潭 411201）

0 引言

風力發電是可再生能源技術中最具有發展前景的技術之一，在現代電網中，風力發電的普及可以降低電力系統的慣性[1]。而變槳系統是變速恒頻風力發電機組的重要組成，它不僅關系到大型MW級風機的安全運行，而且對風能吸收具有較好的控制作用[2]。而變槳系統備用電源是其中的關鍵零部件。變槳系統的備用電源通常采用鉛酸蓄電池或者鋰電池[3]。隨著超級電容儲能技術的迅速成熟和大規模應用，超級電容器作為獨立或輔助儲能系統的運行安全性越來越受到人們的關注[4]。超級電容比傳統的電解電容器具有更高的能量密度，比目前的儲能元件（如電池）具有更高的功率密度[5]，且還具有充放電速度快、工作效率高、循環壽命長、報廢處理綠色環保、能承受瞬時大電流充放電等優點[6-11]，已經開始逐步取代鉛酸蓄電池等傳統電池成為風力發電機變槳系統的備用電源[12-13]。備用電源屬于典型間隙性工作，通常變槳系統都是由電網供電，正常工況下，備用電源處于靜置狀態；在遭遇大風惡劣天氣或者電網掉電等極端情況時，備用電源給變槳系統供電完成緊急順槳，保證風機安全穩定。

剩余容量[14]是用來標稱當前電容容量的狀態參數[15],為了精確估算超級電容模組剩余容量，必須建立一個能精確反映超級電容模組充放電特性尤其是靜置自放電特性的等效模型，并辨識等效模型參數，其辨識方法的選取直接影響著模型辨識結果。準確反映實際性能特征的超級電容模型對合理利用、優化性能和系統仿真同樣具有重要意義[16-17]。Luis Zubieta等[18]提出了一種基于雙層電容器三RC分支電路模型參數辨識方法，通過對電容器進行充電，并在 30min內觀察內電荷再分配過程中的終端電壓，分析電路關系來確定模型參數。這種方法簡單直接，可操作性強，但是辨識精度比較低，適用于精度要求不高的場合。Chin-Teng Goh等[19]在考慮電容的電壓和電荷依賴性的基礎上，提出了一種新的雙變量二次型方法來近似超級電容器的電荷電壓特性，從而辨識出模型的參數，二元二次擬合方法實驗簡單，但是求解結果為特定的解，可能產生虛根問題從而導致辨識結果不準確。趙洋等提出了一種改進的最小二乘法來辨識超級電容的參數[20]，最小二乘法簡單直觀，對非線性模型參數具有很好的統計效果，但辨識精度不高[21]。Xu Dan等利用受控電流源來反映超級電容器的自放電效應，采用粒子群算法對受控電流源不同階段的參數進行辨識[22]，粒子群算法辨識精度高，但是計算復雜。黃凱等提出一種基于信息反饋的粒子群算法用于鋰電池一階RC 等效電路模型參數辨識，辨識精度較高，對超級電容模型辨識具有借鑒意義，但是對于多階模型相對計算復雜[23]。A. E. Mejdoubi[24]提出一種基于自適應增益模觀測器的在線辨識方法，考慮容量和偏置電壓之間的非線性關系，進行了李雅普諾夫穩定性分析，但此方法辨識結構復雜，實現較困難[25]。等效模型參數的辨識方法的選取直接影響著模型辨識結果，進而影響模型精度，選擇什么樣的辨識方法與不同應用背景息息相關。

1 超級電容模組模型

許多國內外的專家學者對超級電容的建模做了大量的研究。超級電容的雙電層模型是由德國的亥姆霍茲首先提出的，并由古伊等[26]提出的雙電層理論發展而來，雙電層模型能夠很好地表達超級電容的物理意義，但是不適合表征超級電容的電氣特性。單金生等[27]對幾種基于阻抗特性的超級電容模型進行了分析和總結，基于阻抗特性的超級電容模型有較好的頻率適應性，可以較好地表征超級電容的阻抗特性，但是參數需要通過阻抗譜分析來確定，需要的實驗設備較多，實驗較為復雜。分數階微積分是描述超級電容器內部多孔電極和電解液電學行為的有力工具[28]，A. Allagui等[29]提出了一套分別在正弦激勵、階躍電流輸入和線性電壓輸入下，用分數階微積分計算超級電容參數的方法，超級電容分數階模型具有精度高、參數少、復雜度低等優點，但是如果階數較高會占用大量的運算時間，在要求實時性的場合不太適用。A. Varsha等[30]研究了經典等效電路模型，其電路簡單，辨識方便，但是在長時間充放電和靜置情況下存在較大的誤差，不能很好地表征非線性特性。超級電容通常由電阻元件和電容元件組成的等效電路模型來表征其特性，如果要應用于頻率敏感的場合，還可以引入電感元件[31]。超級電容通常串聯成超級電容模組使用，而大規模儲能應用中超級電容模組需要大量串并聯組合工作[32]。于是本文以單體串聯成的超級電容模組為研究對象，為了合理有效表征超級電容模組在充放電過程中、充放電結束后內部電荷再分配以及靜置過程中自放電現象等動態特性，建立了超級電容模組三分支電路等效模型，如圖1所示。I為輸入電流；U為超級電容模組端電壓；Rf為超級電容模組的等效串聯內阻，包含了單體串聯時產生的附加串聯電阻；固定電容Cf0和隨電壓變化的可變電容Cf1并聯構成可變電容Cf；Rf和Cf組成了充放電支路；Rl為固定電阻，Cl為固定電容，Rl和Cl組成了電荷平衡支路；Rsd為一個阻值較大的固定電阻，組成了自放電支路。

圖1 超級電容模組三分支電路等效模型Fig.1 Three-branch equivalent circuit model of supercapacitor cell module

2 帶可變遺忘因子的RLS參數辨識方法

遞推最小二乘（Recursive Least Squares, RLS）法是一種常用的辨識算法,易實現且有較高的精度,但在辨識過程中隨著數據量的增大會出現“數據飽和”等問題,對于時變系統不能很好地進行參數跟蹤[33]。于是在遞推最小二乘法中引入遺忘因子λ，用來確定數據更新的權重，防止出現“數據飽和”的情況[34]，其算法的收斂速度、跟蹤速度和修正效果受遺忘因子的影響。

待辨識系統的輸入-輸出模型可表示為

式中，y(k)為系統輸出量的第k次觀測值；y(k-i)為系統輸出量的第k-i次觀測值；u(k-i)為系統輸入量的第k-i次輸入值；ε(k)為系統的測量噪聲；φ(k)為系統輸入輸出量的觀測向量；θ為待辨識的參數向量。

對于式（1）所示的待辨識系統模型，帶遺忘因子的遞推最小二乘法的遞推公式為[35-36]

式中，W為加權對角陣；Φ為觀測向量，加權對角陣W為

式中，N為觀測數據組數，觀測矩陣Φ為

式中，λ為遺忘因子，其表達式為

式中，λ1(k)和λ2(k)為構成遺忘因子的兩個權重，取值范圍分別為 0 ＜λ1(k) ≤ 1，0 ＜λ2(k)≤ 1。通過調整權重λ1(k)和λ2(k)的取值，影響自適應增益的變化，使誤差的協方差矩陣P(k+1)最小。在參數辨識的過程中，可以根據被辨識系統的情況來確定λ1(k)和λ2(k)的取值，λ1(k)和λ2(k)的取值情況分為三種：

（1）λ1(k)和λ2(k)都取 1的情況，即：λ1(k)=1，λ2(k)=1，此時式（2）為基本遞推最小二乘法。

（2）λ2(k)取 1，λ1(k)取范圍內固定值的情況，即λ2(k)=1，λ1(k)=λ1， 0 ＜λ1＜1，適用于緩變系統的參數辨識。

（3）λ2(k)取 1，λ1(k)取可變值的情況，即：λ2(k)=1，λ1(k) =λ0λ1(k?1)+1?λ0，系數λ0的取值范圍為0＜λ0＜1，適用于平穩系統的參數辨識，避免了自適應增益的過快下降，使收斂的速度加快。

對于超級電容模組三分支電路等效模型，如圖1 所示，需要辨識的參數有Rf、Cf、Rl、Cl、Rsd。首先，確定系統輸入-輸出方程，并求解傳遞函數，再通過求解拉氏變換可得到系統拉氏變換系數表達式為

然后，對連續傳遞函數進行離散化并得到差分方程，此時可以得到遞推最小二乘法的待求解系數為

將帶可變遺忘因子的 RLS得到的系統待辨識參數估計值向量代入式（8），求解出β0、β1、α0、α1、α2，再代入式（7），即可求得超級電容模組電路等效模型參數Rf、Cf、Rl、Cl和Rsd。

3 實驗平臺搭建與數據獲取

本文選取的研究對象是由8個超級電容單體串聯的超級電容模組。單體選擇的是由Maxwell公司生產的BCAP0350 E270 T11 350F，主要參數見表1。將 8個單體串聯構成超級電容模組，額定電壓為21.6V，額定電容為43.75F。

表1 超級電容單體主要參數Tab.1 Main parameters of supercapacitor cell

為了測取參數辨識所需要的實驗數據，本文搭建了超級電容模組充放電實驗測試平臺，如圖2所示。電池測試儀型號為 EBC-A10H，其主要產品功能信息見表 2。以恒定電流（I=1A）對超級電容模組進行充放電實驗，充放電完畢后靜置一段時間到模組端電壓穩定。整個實驗過程運用實驗測試平臺對其進行數據采集，并記錄數據。采集的數據包括采樣總時間、充電電流、放電電流、模組兩端電壓等，實驗環境溫度為23℃，采樣周期為2s。

圖2 超級電容模組充放電實驗測試平臺Fig.2 Experimental of charge-discharge test platform of supercapacitor cell module

表2 電池測試儀功能信息Tab.2 Functional parameters of battery tester

4 參數辨識與仿真分析

圖3 超級電容模組參數辨識與仿真分析流程Fig.3 Parameter identification and simulation analysis flow chart of supercapacitor cell module

超級電容模組等效電路參數辨識與仿真分析流程如圖3所示。在實驗數據獲取階段，通過搭建的實驗測試平臺，進行多次充放電實驗，獲取相關數據；在模型參數辨識階段，采用電路分析法、分段優化法和帶可變遺忘因子遞推最小二乘法對超級電容模組等效電路進行參數辨識，分段優化法和帶可變遺忘因子遞推最小二乘法的辨識初值是電路分析法的參數辨識結果，辨識數據是實驗靜置階段的數據；在仿真結果分析階段，將三種方法的辨識結果輸入到超級電容模組多方法Simulink仿真模型中進行仿真，并計算出充電階段、靜置階段、放電階段的綜合誤差以及全過程的綜合誤差，然后進行分析與驗證。

4.1 參數辨識

4.1.1 電路分析法

本文所建立的超級電容模組三分支電路等效模型能有效表征超級電容模組在充放電過程、充放電結束后內部電荷再分配以及靜置過程中自放電現象等動態特性，并且三條支路的電阻與電容大小各不相同，具有明顯不同的時間常數，采用電路分析法[35]來辨識模型參數，通過分析端電壓隨時間的變化，獨立分析各個支路的暫態過程。

通過超級電容模組充放電實驗測試平臺對超級電容模組進行充放電實驗，并記錄不同時刻的暫態過程數據（充放電電流I=1A，電壓增量ΔU=50mV），選取符合等效電路模型暫態過程的實驗數據，見表3，代入到電路分析法相應的計算公式中[38]，依次得到的超級電容模組等效電路的參數辨識結果見表 4。

表3 電路分析法辨識使用的部分實驗數據Tab.3 The circuit analysis method identifies some experimental data used

表4 電路分析法參數辨識結果Tab.4 The parameter identification results of circuit analysis method

4.1.2 分段優化法

基于三分支等效電路的分段優化法是一種具有較精準初值和較高辨識精度的超級電容等效模型參數辨識方法[30]。由于超級電容模組等效電路中各參數（電阻值、電容值）具有物理意義，且要求各個參數都大于零，選取θ?(0)=0、P(0)=δE作為遞推最小二乘法辨識初值時，辨識結果中出現了負值，因此，這種初值的選取是不符合實際的。

由于電路分析法具有在充電階段能夠較為準確地表征超級電容模組的動態特性的優點，遞推最小二乘法具有在超級電容模組充電完畢以后的靜置階段更為精準的表征其自放電特性的優點，可以有效地表征靜置階段的特性。因此，分段優化法運用電路分析法參數辨識結果（見表 4）作為遞推最小二乘法的初值、靜置階段的實驗數據作為遞推辨識數據，進行了參數辨識，運算得到其辨識結果見表5。

表5 分段優化法參數辨識結果Tab.5 The parameter identification results of segmentation optimization method

4.1.3 帶可變遺忘因子RLS法

由于風機變槳控制系統備用電源屬于間隙性工作，靜置時間較長，因此采集的數據量較大。隨著數據量的增加，式（2）中的K(k+1)和P(k+1)變得越來越小，修正項對θ?(k+1)的修正能力變得越來越弱，新加入的系統輸入/輸出數據對參數向量的估計值的更新作用不大，會出現“數據飽和”的現象[34,37]。帶可變遺忘因子的 RLS參數辨識方法引入遺忘因子，避免了自適應增益過快下降，有效克服了這種現象的出現。并以電路分析法的辨識結果作為辨識初值，以靜置階段的實驗數據作為遞推辨識數據，來確保精準地反映超級電容模組在充電階段的動態特性、在靜置階段的自放電特性。

結合電路分析法參數辨識結果（見表 4）以及實驗靜置階段的數據，通過多次調試，得到P(0)=0.000 13，λ0= 0 .997，λ1= 0 .99，然后進行了參數辨識，運算得到其結果，見表6。

4.2 仿真建模

為了能夠驗證辨識結果的有效性，本文根據提出的超級電容模組三分支電路等效模型，在Matlab/Simulink環境下搭建超級電容模組多方法參數辨識仿真模型，如圖4所示。將實驗平臺所測得的實驗電壓隨時間的變化數據和實驗電流隨時間變化的數據輸入到電壓數據框和電流數據框中，并將表4、表 6所示的參數辨識結果分別輸入到電路分析法仿真子模塊、分段優化法仿真子模塊、帶可變遺忘因子的RLS法仿真子模塊中，即可得到三種方法參數辨識結果的仿真曲線，并在示波器中進行顯示。

表6 帶可變遺忘因子的RLS法參數辨識結果Tab.6 The parameter identification results of variable forgetting factor RLS

圖4 超級電容模組多方法參數辨識仿真模型Fig.4 Multi-method parameter identification Simulink simulation model of supercapacitor cell module

4.3 仿真結果分析

通過將電路分析法、分段優化法、帶可變遺忘因子的 RLS法的辨識結果以及實驗數據輸入到超級電容模組多方法參數辨識仿真模型（圖 4）中進行仿真，得到了超級電容模組多方法參數辨識結果仿真曲線，如圖5所示。對比模型仿真結果的輸出電壓和實驗獲得的電壓，分析其誤差并驗證所辨識參數的準確性。相對誤差計算如式（9）所示，綜合誤差如式（10）所示。

式中，re為各方法仿真結果與實驗結果的相對誤差；Us為仿真輸出的電壓；UEx為實驗測得的電壓；s為采樣次數且s=1,2,3,…S；rc為各方法仿真結果與實驗結果的綜合誤差。

4.3.1 仿真曲線與實驗曲線趨勢分析

圖5 超級電容模組多方法參數辨識結果仿真曲線Fig.5 Simulation curve of multi-method parameter identification of supercapacitor cell module

由圖5可以看出，在充電階段，電路分析法、分段優化法和帶可變遺忘因子的 RLS法的仿真曲線均與實驗曲線較為貼合，當t＜410s時，電路分析法曲線在實驗曲線下方；410s＜t＜938s時，電路分析法曲線在實驗曲線上方且逐漸偏離。分段優化法曲線整個充電階段都在實驗曲線上方。當t＜748s時，帶可變遺忘因子的RLS法仿真曲線介于分段優化法曲線和實驗曲線之間；748s＜t＜938s時，位于實驗曲線下方。

在靜置階段，電路分析法仿真曲線在實驗曲線上方且相差較遠；分段優化法仿真曲線和帶可變遺忘因子的RLS法仿真曲線都與實驗曲線較為貼合，當 938s＜t＜4 960s時，分段優化法仿真曲線在實驗曲線上方；4 960s＜t＜9 000s時，分段優化法仿真曲線在實驗曲線下方。當 938s＜t＜5 128s時，帶可變遺忘因子的 RLS法仿真曲線在實驗曲線下方；當 5 128s＜t＜9 000s時，帶可變遺忘因子的RLS法仿真曲線介于實驗曲線與分段優化法仿真曲線之間。

放電全階段，9 000s＜t＜9 880s時，電路分析法仿真曲線在實驗曲線上方且逐漸偏離；分段優化法仿真曲線介于實驗曲線與帶可變遺忘因子的RLS法仿真曲線之間；帶可變遺忘因子的RLS法仿真曲線在實驗曲線上方且較為貼合。9 880s＜t＜10 400s時，曲線高低依次為電路分析法仿真曲線、實驗曲線、帶可變遺忘因子的RLS法仿真曲線和分段優化法仿真曲線。

4.3.2 誤差分析

在充電階段，即 0＜t＜938s時，電路分析法的綜合誤差為2.52%，分段優化法的綜合誤差為0.66%，帶可變遺忘因子的 RLS法綜合誤差為 0.4%，比電路分析法的綜合誤差降低了 2.12%，比分段優化法的綜合誤差降低了0.26%。

在充電后的靜置階段，即938s＜t＜9 000s時，電路分析法的綜合誤差為 7.11%，分段優化法的綜合誤差為0.28%，帶可變遺忘因子的RLS法綜合誤差為0.19%，比電路分析法的綜合誤差降低了6.92%，比分段優化法的綜合誤差降低了0.09%。

在放電全階段，即 9 000s＜t＜10 400s電路分析法的綜合誤差為37.01%，分段優化法的綜合誤差為 18.88%，帶可變遺忘因子的 RLS法綜合誤差為7.72%，比電路分析法的綜合誤差降低了 29.29%，比分段優化法的綜合誤差降低了11.16%。

計算整個過程的綜合誤差，電路分析法的綜合誤差為 10.72%，分段優化法的綜合誤差為 2.82%，帶可變遺忘因子的RLS法為1.22%，比電路分析法降低了9.5%，比分段優化法降低了1.6%。多方法仿真結果的誤差對比見表7。

表7 多方法仿真結果誤差Tab.7 The error of multi-method simulation results（%）

從表7可以看出，電路分析法辨識結果仿真誤差在充電階段較小，辨識精度較高，但是在后續的靜置階段和放電全階段誤差較大，特別是在放電全階段辨識精度嚴重不足，整體誤差較大。分段優化法辨識結果仿真誤差在充電階段、充電后靜置階段都在1%以內，與電路分析法相比誤差明顯降低，具有較高的辨識精度，在放電全階段誤差也有所下降，但誤差依舊較大，辨識精度不足，整體誤差較小。帶可變遺忘因子的 RLS法辨識結果仿真誤差在充電階段、充電后靜置階段均在0.5%以內，與分段優化法相比誤差進一步降低，特別在放電全階段誤差降低了11.16%，具有較高的辨識精度，且整體誤差進一步減少。

綜上分析，帶可變遺忘因子的RLS法不僅在充電階段能夠保證辨識的精度，而且在靜置階段比分段優化法和電路分析法具有更精確的辨識效果，特別是在放電全階段，帶遺忘因子的RLS法收斂速度更快，較大地降低了誤差，能夠較為有效地辨識超級電容模組等效模型的參數。

5 結論

1）針對大型風機變槳系統備用電源工況特性，建立超級電容模組三分支等效電路模型，提出了一種帶可變遺忘因子 RLS的超級電容模組等效電路模型參數辨識方法，以電路分析法的辨識結果作為方法的辨識初值，以靜置階段的實驗數據作為遞推辨識數據進行參數辨識。

2）建立了超級電容模組多方法參數辨識的Simulink仿真模型，并進行仿真與誤差分析，結果表明：帶可變遺忘因子的RLS法比電路分析法和分段優化法擁有更高的辨識精度。

3）帶可變遺忘因子 RLS法繼承了電路分析法在充電階段和分段優化法在靜置階段具有高辨識精度的優點，并引入可變遺忘因子有效解決因“數據飽和”現象所產生增益下降過快的缺點，為估算超級電容模組SOC提供精確的等效模型。