基于速度前瞻的雙軸直線電機交叉耦合控制策略

李 爭 肖 宇 孫鶴旭 周 碩 王群京

（1. 河北科技大學電氣工程學院 石家莊 050018 2. 安徽大學高節能電機及控制技術國家地方聯合工程實驗室 合肥 230601）

0 引言

隨著直線電機的廣泛應用，傳統旋轉電機與絲杠結合的傳動結構在很多工業領域都逐漸被直線電機所取代，尤其在半導體制造、高精元件加工以及電路板貼片等領域都采用多軸直線電機協同工作系統，該系統提高了響應速度，保證了加工精度[1-3]。

雙軸直線電機系統主要應用于平面輪廓加工領域，可完成二維的平面運動。然而在電機運行過程中，由于負載擾動、雙軸機械結構的振動及雙電機響應速度不匹配等因素都會影響最終的運行結果。

為更好地執行平面輪廓跟蹤任務，基于輪廓誤差的交叉耦合控制方法得到了廣泛研究。當給定的參考軌跡存在尖角輪廓等曲率變化較大的點時，會嚴重影響軌跡的跟蹤精度，并帶來較大的機械結構振動，影響工作性能[4-5]。為進一步提高跟蹤精度，文獻[6]提出利用輪廓誤差作為傳遞函數的魯棒補償器變增益控制方法，利用曲線的正切估計近似為參考輪廓進行插補運算，從而提高精度，但并沒有對曲線不可導點等特殊位置進行考慮，難以適應廣泛類型的參考軌跡。文獻[7-8]提出滑模互補控制結構，并利用模糊控制方法，來提高系統響應速度，增強系統魯棒性；同時設計雙直線電機交叉耦合控制器，并利用神經網絡等智能算法優化控制輸出，從而減小各軸間的位置誤差，保證雙直線電機運行的精度，但該控制策略整體計算量較大，不利于協同控制時的速度響應匹配。文獻[9-10]則提出了前瞻速度規劃算法，針對運動路徑進行數學解析，從而進行速度規劃，避免了速度突變帶來的機械沖擊，減小了系統的振蕩。

為提高雙軸直線電機對于參考軌跡的跟蹤能力，主要解決三個問題：①建立交叉耦合控制模型，該模型可以適應廣泛曲線類型，并盡量減小在線計算量；②在實現單軸直線電機的跟隨性能最優的同時，應匹配雙軸響應速度，盡量同步雙電機協同完成控制器指令的時間；③優化運行速度，在尖角折線點，高曲率點等特殊位置進行速度平滑處理，并增加插補點。基于以上考慮，本文以垂直布局的十字形雙軸結構直線電機為研究對象，提出了一種基于速度前瞻型雙軸直線電機交叉耦合控制策略，十字形雙軸結構直線電機示意圖如圖1所示。首先設計能夠適應多種路徑類型的改進自適應插補算法交叉耦合控制器，并采用具有雙環滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）結構的單軸控制器來執行交叉耦合控制器傳送的目標指令。通過速度前瞻算法，提前對參考軌跡進行五段式S型速度規劃，在折線點和曲率變化較大點進行速度平滑處理，柔滑了系統運行過程，減小頻繁速度突變沖擊帶來的系統振動。實驗結果表明，所提出的控制方案有效可行，提高了系統的跟蹤性能和魯棒性能，明顯減小了系統的輪廓誤差。

圖1 十字形雙軸結構直線電機示意圖Fig.1 Cross-shaped dual-axis structure line motor

1 直線電機工作平臺數學模型

本文所使用的實驗驗證平臺采用的是雙邊磁極無鐵心永磁同步直線電機，雙邊直線電機基本結構如圖2所示。

圖2 雙邊直線電機基本結構Fig.2 Basic structure of bilateral linear motor

根據永磁同步電機運行特點，需要理想化其電磁特性[11-15]：①忽略其非線性狀態，設其狀態是線性的；②電機的動子與定子之間的二次側與一次側的氣隙磁場呈現均勻分布；③一次線圈均勻分布，無熱效應。

得到永磁同步直線電機推力方程為

式中，Fem為電機推力；pn為電機極對數；Ld、Lq分別為直軸和交軸電感量；ψmf為永磁體磁鏈；τ為電機極距；id、iq分別為電機d軸和q軸電流。

直線電機的運動方程為

從式（1）、式（2）可以得到

式中，m為動子質量；v為直線電機運行速度；B為黏滯摩擦因數；f為系統擾動；

根據式（3）可以將電機的運動方程改寫為

在電機運行系統中，考慮到由于機械沖擊、電流諧波、不確定外部擾動等因素，會給整體系統帶來參數擾動，所以電機運行方程[16-21]表示為

2 基于自適應插補的交叉耦合控制器

在雙軸系統工作過程中，由于非線性摩擦、參數攝動、傳感器精度等原因，必然會造成單軸跟蹤誤差，從而導致出現輪廓誤差。輪廓誤差示意圖如圖3所示，將理想軌跡與實際跟蹤軌跡放大，可以較為明顯地看到系統運動過程中的絕對位置誤差與輪廓誤差。將當前實際位置設為點P，理想位置點為P′，絕對位置的跟蹤誤差為e，此時對應的輪廓誤差為ε。為完成輪廓跟蹤任務，單純的追求跟蹤誤差的e精度并不能完全提高運行精度，需要結合輪廓誤差ε共同調節系統運動位置。

圖3 輪廓誤差示意圖Fig.3 Contour error diagram

然而在實際運行過程中，面臨各種曲線情況，針對特殊拐點、尖峰點，現在已經存在多種插補計算的方法。在盡可能減少在線計算量的前提下，并同時能夠滿足對于更多種曲線計算的需求，本文提出一種自適應插補交叉解耦控制器。首先建立近似輪廓誤差模型如圖4所示，圖4中，取輪廓軌跡上一段路徑（見圖4中矩形框部分），為減小處理負荷，將相鄰極近的幾個位置點可近似為圓弧上的點，以該段路徑為例，假設在控制運動過程中，實際位置到達點為Pk(xk,yk)，對應時刻期望點為向前回溯的兩個時刻的期望點分別是因此當前位置與時刻期望點之間的跟蹤誤差向量表示為

首先判斷該三點不共線，即

圖4 近似輪廓誤差模型Fig.4 Approximate contour error model

如果三點共線，則無需進行自適應插補，不需要進行交叉耦合計算。通過式（7）判斷符合三點不共線條件，則進入交叉耦合計算環節。輪廓誤差的標準定義為當前位置點到達對應弧線的最短距離，然而對于給定曲線，如果在線對整體曲線進行曲率計算、切線求取、最短距離判斷等操作，會對工控系統造成較為巨大的計算量，不利于系統實時性和工作效率的提高。因而本文中只利用實時更新的三個點，在保證一定精度的前提下，盡可能減少計算量。分別是對應當前時刻期望點向前回溯兩時刻期望點與并由這相鄰極近的三點構成三點圓弧，由圖4所示可以近似認為部分圓弧與理想給定軌跡重合。

設由這三點構成的圓為

則由這三點可以構成的圓弧圓心為

可以將實際位置點Pk(xk,yk)到達該三點圓弧的最短距離近似為輪廓誤差ε。

圓弧上的點以及實際位置點分別到達圓上的點的距離滿足

為求得Pk(xk,yk)到達圓弧最短距離，可以設定函數為

式中，u為可調權重因子。

并分別求偏導得

求出偏導解析解，最短距離可以表示為

如圖4所示，在綜合考慮跟蹤誤差向量與輪廓誤差向量后，實際的耦合誤差插補向量可以設定為

式中，λ1、λ2為經過算法計算出的步長參數。

圖5 自適應插補示意圖Fig.5 Schematic diagram of adaptive interpolation

基于上述目的，本文提出一種自適應可調節插補結構，在系統運行過程中，動態改變1λ、2λ的大小，起到調節插補向量δ的目的。其自適應結構為

式中，χ、w1和1γ均為常值參數；η為插補位置點P(xδ,yδ)到割線l的垂直距離。結合式（17），自適應參數綜合考慮輪廓誤差ε和插補位置點P(xδ,yδ)到割線l的垂直距離η，在系統運行過程中動態調節控制器輸出，通過對其自適應結構分析，可以發現，參數λ1、λ2互為制衡變量，通過兩個誤差值ε和η構成了負反饋系統，在有效提高控制精度的同時避免了參數不收斂，造成控制超調的出現。同時參照式（16）最終的插補結果δ也是建立在單軸位置誤差與輪廓誤差二者綜合的基礎上，避免由于單方面誤差跳躍過大帶來的“過校”操作，增強了系統穩定性。

3 單軸直線電機雙環控制

為了更好地實現單軸直線電機平臺的軌跡運動控制，高效地執行來自交叉耦合控制器的指令信號，本文設計了基于雙環滑模控制的單軸直線電機控制系統如圖6所示。

圖6 基于雙環滑模控制的單軸直線電機控制系統Fig.6 Single-axis linear motor control system based on double-loop sliding mode control

3.1 電流控制器

為了更好地適應控制過程中電流信號的快速變化，本文設計了基于Super-twisting二階滑模控制算法的電流控制器，將滑模控制中不連續的控制作用施加在二階控制量上，并進行積分輸出，從而較大程度地削弱抖振作用[22]。依據式（1）和式（2）可以得到

一般地，非線性受控系統的二階導可表示為

因而基于 Super-twisting算法的二階滑模電流控制器可以設計為

式中，r為的指數次冪；ki、kq為待速寫的控制正增益； t anh(si)為雙曲正切函數。

根據式（21）可得，Super-twisting二階滑模電流控制器如圖7所示。

圖7 Super-twisting二階滑模電流控制器Fig.7 Super-twisting second-order sliding mode current controller

3.2 位置控制器

為實現控制單軸直線電機平臺能夠準確跟蹤交叉耦合控制器輸出的輪廓誤差指令，本文設計了基于指數趨近律的一階滑模位置控制器，準確地跟蹤輪廓誤差的同時還可以通過調節所設計的趨近律參數減弱高頻抖振，提高運行控制過程的動態品質。因此由式（2）可得

設計選取位置滑模面函數為

式中，cx為常數量；ex為單軸直線電機的位置誤差，為給定的跟蹤位置信號，x為位置反饋；

基于指數趨近律，可以得到

式中，sgn(?)為符號函數。

2) 實時異常分析與監控處理功能。根據裝置的工藝區域與設備列表，系統可提供相關報警/預警/異常狀態的總覽，并以樹狀分層結構展示異常信息: 裝置—工藝區域—異常工況—原因診斷。

結合上述式（22）～式（24），可以得到

因此，結合式（1）、式（25），采用指數趨近律的一階滑模位置控制器可以設計為

根據式（26）設計的一階滑模位置控制器如圖8所示。

圖8 一階滑模位置控制器Fig.8 First-order sliding mode position controller

4 基于速度前瞻的S型速度規劃

考慮到系統運行過程中，電機的起動與加速，包括每次速度的變化，都會引起機械結構的振動，這樣的振動必然影響到整體的運行精度，傳統缺乏靈活性的速度設計無法對抗這種由于速度突變帶來的系統擾動。為了更好地實現較為平穩的運行，需要對整體運行過程的速度進行規劃。

在系統起動運行前，對于給定的參考軌跡，首先進行離散處理，并采用非均勻有理B樣條進行插補，從而避免了不可導點的出現，獲得較為柔性的運動路徑。

一條k次NURBS曲線的有理分式可以表示為

式中，P(u)為以參數u為自變量的曲線上的點；di(i= 0 ,1,… ,n)為控制點序列；wi(i= 0 ,1,… ,n)為權因子序列，權因子序列與控制點序列相互對應；Ni,k(u)為k次規范B樣條基函數。

利用德布爾算法（De Boor algorithm）進行曲率檢測，可以將式（27）表示為

通過對NURBS曲線利用De Boor algorithm算法求導得

曲率檢測示意圖如圖9所示，對于給定參考軌跡，可以求出其曲線斜率變化以及曲率變化率的關系。這樣便可以提前定位曲率變化較大的位置，作為特別前瞻點，進行速度規劃。

圖9 曲率檢測示意圖Fig.9 Curvature detection diagram

5段式S型速度規劃示意圖如圖10所示，計算過程如式（31）和式（32）所示。該算法可以在盡量減小速度劇烈波動的情況下，柔和速度變化過程。

式中，J為加速度的導數。

圖10 5段式S型速度規劃示意圖Fig.10 5-stage S-type speed planning

5 系統實驗分析

為進一步驗證算法的可靠性，并通過實際的實驗來完善控制系統，提高雙軸直線電機運行性能，采用實驗樣機進行算法驗證，十字形直線電機實驗裝置如圖 11所示。該實驗裝置由精密直線電機平臺、ACJ-005-09型Copley伺服驅動器、Galil DMC控制卡、VILT-0400光柵傳感器和上位機組成。永磁同步直線電機主要參數見表 1，其中兩臺電機類型均為雙邊磁極無鐵心永磁同步直線電機。

圖11 十字形直線電機實驗裝置Fig.11 Cross-shaped linear motor experimental device diagram

表1 永磁同步直線電機主要參數Tab.1 Main parameters of permanent magnet synchronous linear motor

圖12 系統工作流程Fig.12 System work flow chart

系統工作流程如圖12所示。系統正式運行前，需要進行初始化操作，主要包括永磁式電機磁極對準和雙軸電機機械原點歸零以及清空內部計算緩存。狀態監測模塊主要負責過電壓、過電流和溫度監測，當出現監測量異常時，系統將進行緊急制動，并掉電保護。初始工作完成后，進入任務執行模塊，首先進行曲線預處理，包括生成 NURBS曲線，并進行速度規劃，將規劃好的速度存入緩存，配合速度時基模塊，在運行過程中時刻調整速度。預處理完成后，雙軸系統在交叉耦合控制器的控制下，執行運動任務。前瞻型速度規劃與交叉耦合控制構成了主控制算法體系，位置反饋信號由光柵傳感器獲取。

本文以伯努利雙鈕線為跟蹤對象，進行輪廓跟蹤任務，通過對輪廓進行預處理，然后由交叉耦合控制實現高精度跟蹤任務，伯努利雙鈕線如圖 13所示。

圖13 伯努利雙鈕線Fig.13 Bernoulli double button curve

首先對于給定的路徑進行前瞻處理，并檢測其曲率變化，從而在曲率變化較大的地方進行S型速度規劃，柔滑整體的運行過程。

由于伯努利雙鈕線關于x軸對稱，因而只需處理x軸上半部分，然后做對稱處理，便能完成對于整體輪廓的預處理任務。半伯努利雙紐線如圖 14所示，曲率變化如圖 15所示，可以得知，在 200點左右，曲率開始發生波動，于200點處曲率變化最大。按照曲率變化越大，對應速度越小的原則，利用5段式S型速度規劃算法，其速度規劃過程如圖16所示。在100點前，速度柔滑上升，在100點后，為保證加工精度，并減小機械沖擊，在100點后提前減速，保證在200點（曲率變化較大處）左右具有較小速度，避免在大曲率處出現較大誤差。對應圖 15、圖16上的點依上述分析，都滿足在曲率較大處，能夠低速運行，整體速度平滑變化的要求。

圖14 半伯努利雙鈕線Fig.14 Half Bernoulli double button curve

圖15 曲率變化過程Fig.15 Curvature change

圖16 速度規劃過程Fig.16 Speed planning diagram

圖17 PID單軸控制器誤差Fig.17 PID single axis controller

僅從執行給定命令的角度看，通過比較不同單軸位置控制器，PID單軸控制器誤差如圖17所示，滑模控制器單軸控制器誤差如圖18所示。在起動瞬間，受起動電流和機械慣性影響，位置控制器均出現了較大的誤差，在調節過程中，具有雙環滑模控制結構的SMC控制器具有較快的響應速度，系統迅速調節，最后將單軸誤差穩定在 15μm左右。相比來看，PID控制需要較長的調節時間，在2s左右，位置誤差才趨于穩定，最終穩定在20～40μm。

圖18 SMC單軸控制器誤差Fig.18 SMC single axis controller

無耦合控制PID結構下輪廓誤差如圖19所示，在沒有耦合控制下，通過對比圖17和圖19，可以發現，其單軸誤差曲線與輪廓誤差曲線具有一致性趨勢，側面說明了在無耦合控制下，雙軸系統的輪廓誤差大小完全取決于單軸控制器精度，僅提高單軸精度會帶來硬件成本增加和提高系統復雜度，無法徹底解決輪廓誤差問題，在無耦合控制器PID單軸控制結構下，輪廓誤差穩定在60μm左右；在加入耦合控制器后，耦合控制PID結構下輪廓誤差如圖20所示。在沒有進一步提高單軸控制器精度的條件下，依靠耦合控制結構使總體輪廓誤差穩定時間提前，并且利用生成的自適應插補點，使其輪廓誤差明顯減小，最終穩定在20～25μm。

圖19 無耦合控制PID結構下輪廓誤差Fig.19 Contour error under PID control without coupling

圖20 耦合控制PID結構下輪廓誤差Fig.20 Contour error under coupled control PID structure

通過以上分析，說明設計的耦合控制器在減小輪廓誤差方面具有較大潛力。為進一步改善控制結構，提高運行性能，本文提出了一種具有雙滑模控制機制的雙軸直線電機交叉耦合控制策略。雙環滑模結構控制效果更優于 PID結構。圖 18中，在沒有耦合控制器的調控下，單軸控制精度已達到15μm，并且從誤差收斂曲線來看，收斂平穩，無較大波動，體現了其較好的控制穩定性。無耦合控制SMC結構下輪廓誤差如圖21所示。在無耦合控制下，其輪廓誤差穩定在 50μm以下，遠高于單軸控制精度，因而再次體現了交叉耦合控制器存在的必要性。耦合控制SMC結構下輪廓誤差如圖22所示，在耦合控制的共同配合下，系統在經歷起動時刻的波動后，迅速穩定，并將輪廓誤差抑制在20μm以下。對比圖20與圖22可以明顯發現，5s前雙滑模耦合的控制結構收斂性優于傳統PID耦合結構，體現出滑模快開關特性的優勢。以上實驗通過較高的輪廓誤差控制精度和較快的響應速度，驗證了基于速度前瞻型雙軸直線電機交叉耦合控制策略的實用性。

圖21 無耦合控制SMC結構下輪廓誤差Fig.21 Uncoupled control of contour error under SMC structure

圖22 耦合控制SMC結構下輪廓誤差Fig.22 Coupling control SMC structure contour error

6 結論

本文提出一種基于速度前瞻型雙軸直線電機交叉耦合控制策略，并證明了該算法的有效性。通過理論推導與實驗驗證，體現了自適應插補交叉耦合控制器在減小輪廓誤差方面的重要意義，同時利用雙環滑模結構自有的收斂快、魯棒性好的特點，為直線電機提供了高效控制策略，并為滑模變結構算法在直線電機上的應用提供了新的思路。