透視折疊的紙帶

文周淑芳

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學）

在“平面圖形的認識（二）”這一章中，有些同學怕做折疊類題，生怕出錯。周老師現挑出折疊問題中的一個典型案例與同學們分享，以期幫助大家理清思路，正視錯誤，引以為戒。

例題如圖1，一條兩邊平行的紙帶折疊后仍在同一平面內，已知α=76°，則∠1=（ ）。

圖1

A.28° B.30° C.38° D.45°

【錯誤】錯誤1：猜測∠1 與α 互余，沒有選項可選，隨便選擇一個選項。錯誤2：度量∠1 的度數，憑經驗取整得選項B。

【錯因】找不到角與角之間的關系；想把折疊前的紙帶重新畫出來，但畫圖不準確，難以入手。

【解析】題目的情境是一張折疊的紙帶，“互相平行”這個條件不容忽視。本題的關鍵詞有兩個：折疊與平行。折疊，前后圖形一樣；平行，三類角關系確定。

如何把折疊的紙帶還原圖畫出來呢？動手折疊，打開直觀感知，然后抓住原來兩邊互相平行，不難畫出圖2。

圖2

折疊，得到∠GCD=∠ECD=∠2+∠α，由平角的定義得到∠ACD+∠GCD=180°，即∠2+2∠α=180，解得∠2=28°，根據紙帶平行得CE∥DF，由其性質得∠1=∠2，最后求得∠1 的度數為28°。當然，也可以由平行得到∠CDH=∠α，折疊得到∠CDH=∠CDF，進而求得∠FDB，由平行得∠1=∠FDB。

【總結】折疊的問題，可以轉化為角平分線的問題，折痕所在直線即為角平分線，再綜合運用平角的定義與平行線的性質即可解決問題。

【練習】圖3 是長方形紙帶，∠DEF=15°，將紙帶沿EF折疊成圖4，則∠AEG=______度，再沿BF折疊成圖5，則圖中的∠CFE=______度。

圖3

圖4

圖5

【解析】先將圖4還原成折疊前的紙帶，折痕EF就是角平分線。

圖3

圖4（還原）

則∠1=∠2=15°，因此∠AEG=180°-2×15°=150°。

再將圖5還原。

圖3

圖4（還原）

圖5（還原）

第二次折疊后不難發現折痕GF也是角平分線，

∴∠FGD′=∠FGD，

∴∠GFC′=∠GFC。

由于紙條是長方形，

∴AH∥BF，FC′∥ED′，

∴∠EFG=∠FEH=15°，

且∠EFC′=180°-∠FEG=165°，

∴∠GFC=∠GFC′=165°-15°=150°，

∴∠CFE=∠GFC-∠GFE=150°-15°=135°。

【總結】折疊紙帶問題考查的知識點是平行線的性質，難點是轉化為角平分線問題，關鍵是畫出還原圖。具體思路是：畫出還原圖，折痕即角平分線；結合平行性質，找到角之間的數量關系。思路如下：