Cartan型模李超代數W(n)的伴隨模

孫麗萍 張秋陽 劉文德

摘 要：Cartan型模李超代數的分類是解決素特征域上單李超代數分類問題的關鍵。識別定理為素特征域上李代數分類問題的解決奠定了基礎。仿照識別定理中對于Cartan型模李代數伴隨模的理論，研究了Cartan型模李超代數W（n）的伴隨模。通過對W（n）的?2-階化分支的直和分解，得到了兩類伴隨模，進而給出了這兩類伴隨模之間的關系，并證明了它們的不可約性。

關鍵詞：Cartan型李超代數;伴隨模;子模;不可約

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.020

中圖分類號： O152.5

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2021）06-0149-04

Adjoint Modules of Cartan Type Modular Lie Superalgebras W（n）

SUN Li-ping1， ZHANG Qiu-yang1， LIU Wen-de2

（1.School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China;

2.School of Mathematics and Statistics， Hainan Normal University， Haikou 571158， China）

Abstract：The classification of Cartan type modular Lie superalgebras is the key of the classification of Lie superalgebras over a fields of prime characteristic. The Recognition Theorem established foundation for the classification of Lie algebras over a fields of prime characteristic. According to the theories on adjoint modules of Cartan type modular Lie algebras in Recognition Theorem， we study the adjoint modules of Cartan type modular Lie superalgebras W（n）. By virtue of the direct sum decomposition of the2-graded components in W（n）， we obtain two types of adjoint module， analyse the relationship between them， and prove their irreducibilities.

Keywords：Cartan type Lie superalgebra; adjoint module; submodule; irreducibility

0 引 言

對于特征零域上的李超代數（稱為非模李超代數），有限維單李超代數的分類工作和向量場線性緊致單李超代數的分類及結構研究已經完成[1-3]。對于素特征域上的李超代數（稱為模李超代數），由于受到基域的限制，至今單李超代數的分類工作仍是一個開放問題[4-5]。研究表明，模與非模李超代數的區別主要在Cartan型李超代數上，所以此類問題研究受到關注，如文[6-10]。本文將模李代數識別定理（見文[11]）中對于Cartan型李代數W（n）的伴隨模的相關結論推廣到模李超代數中，以期對于研究Cartan型模李超代數的極大子代數等結構有所幫助，參見文[12-13]。

1 預備知識

本文設域F的特征p>3，2={1-，0-}為模2剩余類環。本文中所有子空間、子代數和子模都是2-階化和-階化的，|x|和degx分別表示齊次元素x的2-次數和-次數。

設Λ（n）是F上由n個變元x1，x2，…，xn生成的外代數，并有自然的2-階化結構：

Λ（n）k-=spanF{xi1…xir|1≤i1≤，…，≤ir≤n}， 當r為偶數時，k=0，當r為奇數時，k=1。令

B（n）：={〈i1，…，ik〉|0≤k≤n}，

對于u：=〈i1，i2，…，ik〉∈B（n），記

xu：=xi1xi2…xik，x=1，‖u‖=k。

令degxi=1，則degxu=‖u‖，得到外代數Λ（n）的一個自然-階化結構：Λ（n）=nl=0Λl（n）， 其中

Λl（n）=spanF{xu|‖u‖=l}。

設i為外代數Λ（n）的超導子，使得i（xj）=δij，易見|i|=1-，degi=-1，i=1，2，…，n。令

W（n）：={ni=1fii|fi∈Λ（n）}，

則W（n）是Λ（n）的導代數，且每個導子D∈W（n）都可以表示成D=ni=1xui，xu∈Λ（n）。外代數Λ（n）的-階化結構誘導出W（n）的一個-階化結構：W（n）=n-1l=-1W（n）l，其中

W（n）l={D∈W（n）|D（Λ（n）s）Λ（n）s+l}=

spanF{xui|‖u‖=l+1，i=1，…，n}，

則W（n）l是W（n）0=spanF{xij|1≤i，j≤n}的伴隨模，且W（n）-1=spanF{i|i=1，…，n}是W（n）0的不可約模。 方便起見，下文中簡記W（n）為W，并在W中定義以下次數導子：

Df：=fD，其中f∈Λ（n）， D=ni=1xii。

易見，degDf=degf，且

[Df，Dg]=（degg-degf）Dfg。

令

div（xui）=（-1）||u||i（xu），

W′l：={D∈Wl|div（D）=0}，

W″l：=spanF{Df|degf=l}。

當l≥0時，我們將研究Wl′和W″l作為W（n）0伴隨模的性質。首先，容易證明：

引理1 W′l=spanF{S∪T}，其中

S={xui|i{u}，‖u‖=l+1}，

T={xixvi-xjxvj|i，j{v}，‖v‖=l}。

引理2 若f∈Λ（n）l，則divDf=（l-n）f。

證明：設f=xu，則

divDf=div（fni=1xii）=ni=1（-1）l+1i（fxi）=

niu（-1）2l+1i（xif）=niu-f=（l-n）f。

引理3 對于如上定義的W′l和W″l，有

（i）當l-n≡0（modp）時，Wl=W′lW″l;

（ii）當l-n≡0（modp）時，W″lW′l。

證明：（i）首先證明W′l∩W″l=0。對于任意D∈W′l∩W″l，可設D=fD，f∈Λ（n）。由引理2，

0=div（D）=div（fD）=（l-n）f。

由于l-n≡0（modp），有f=0，從而D=0。

下面證明Wl=W′l+W″l。對于任意D∈Wl，D可寫成D1+D2，其中：

D1=D-1l-n（divD）D，

D2=1l-n（divD）D。

由于deg （div）=0，有divD1=0，則D1∈W′l。又由D2∈W″l，知WlW′l+W″l。反包含顯然成立。

（ii）對于任意D∈W″l，可設D=fD，其中f∈Λ（n）。由l-n≡0（modp）知，div（D）=（l-n）f=0，因此D∈W′l。

引理4 設N是Wl的一個非零W0-子模，則N包含以下形式的元素：

B=xE1+nk=2bkk，

其中xE=x1x2…xl+1，bk∈Λ（n）l+1。

證明：設A=nk=1akk∈N，ak∈Λ（n）l+1，且A≠0。不失一般性，可設a1≠0。由

[xij，A]=nk=1xij（ak）k-aij

知存在由a1決定的j使得j（a1）≠0，且由xij經過最多l+1次相乘之后，即有：

B=x1x2…xl+11+nk=2bkk∈N。

2 主要結論

定理1 W′l和W″l都是Wl的非平凡W0-子模，且W″l是不可約的W0-模。

證明：首先證明[W′l，W0]W′l。對于任意D∈W′l，E∈W0，有divD=0，divE∈F，則

div（[D，E]）=D（divE）-（-1）|D||E|E（divD）=0，

故[D，E]∈W′l。然后證明[W″l，W0]W″l。對于任意D=fD∈W″l，E=xij∈W0，

[E，D]=[xij，fD]=

xij（f）D+f[xij，D]=

xij（f）D∈W″l（1）

最后，由式（1）可知W″l是不可約的W0-模。

定理2 設N是W′l的W0-子模，如果有某個元素xui∈N，其中i{u}，則N=W′l。

證明：首先證明，對于任意xv∈Λ（n）l+1，j{v}都有xvj∈N。設xu=xi1…xirxir+1…xil+1，xv=xj1…xjrxir+1…xil+1，其中r表示xu和xv中不同因子的個數。如果r=0，即xv=±xu，則

xvj=±[xui，xij]∈N。

下面對r應用數學歸納法。當r=1，記xu=xi1xl，xv=xj1xl，則

[xui，xij]=xuj-δj，i1xixl∈N，

[xj1，[xui，xij]]=xvj-δj，i1[xj1i1，xixli]=

xvj+δj，i1δi，j1xixli1∈N。

若j=i1且i=j1，則有2xvj∈N。否則，直接可得xvj∈N。由于域F特征p>3，r=1時得證。由歸納法知，

[xjrir，xj1…xjr-1xir…xil+1j]=xj1…xjrxir+1…xil+1j=xvj∈N。

其次，由上面的證明知xjxvi∈N，故對于i，j{v}，且‖v‖=l，

[xij，xjxvi]=xixvi-xjxvj∈N

最后，由引理1，知N=W′l.

定理3 當l-n0（modp）時，W′l是Wl的不可約的W0-子模。

證明：假定N是W′l的非零W0-子模，根據引理4，N包含一個非零的元素B：

B=xE1+nk=2bkk，bk∈Λ（n）l+1

我們斷言，必存在i0≤l+1和j0>l+1，使得[xi0j0，B]≠0。否則，倘若對于任意i≤l+1和j>l+1都有[xij，B]=0。當i=1時，

[x1j，B]=-xEj+nk=2x1j（bk）k=0（2）

當2≤i≤l+1時，

[xij，B]=nk=2xij（bk）k-bij=0（3）

由式（2），有x1j（bj）=xE，那么

bj=xjx2…xl+1+b′j，jb′j=0，j>l+1（4）

由式（3），有xij（bj）=bi，再由式（4），得

bi=xix2…xl+1=0，2≤i≤l+1（5）

綜上，

B=nk=1xkx2…xl+1k+nj=l+2b′jj=

nk=1（-1）lx2…xl+1xkk+nj=l+2b′jj =

（-1）lx2…xl+1D+nj=l+2b′jj

由引理2，并注意到jb′j=0，j=2，…，l+1，有

divB=（l-n）（-1）lx2…xl+1

但是在l-n0（modp）的情況下，有divB≠0，此與B∈W′l矛盾。

不失一般性，可設[x1j0，B]=A≠0，其中j0>l+1。由式（2），如果nk=2x1j0（bk）k=0，那么[x1j0，B]=-x1…xl+1j∈N，由定理2，知N=W′l;如果存在k=2，…，n，使得x1j0（bk）≠0，由[A，xij]∈N， i≤l+1，j>l+1，可得xEs∈N，其中s>l+1。由定理2，也有N=W′l。

定理4 當l-n≡0（modp）時，W″l是W′l的唯一非平凡W0-子模。

證明：設N≠W″l，是包含于W′l的一個非零子模。由引理4，在N里存在如下形式非零元素B：

B=xE1+nk=2bkk，bk∈Λ（n）l+1

如果BW″l，由定理1的證明知，存在i0≤l+1，j0>l+1，使得

0≠[B，xi0j0]=A∈N。

當i≤l+1，j>l+1，將xij作用在A上，有

xEj∈N，j>l+1。

由定理2，知N=W′l。

如果B∈W″l，那么W″lN。由定理1，知W″l是不可約的。對于任意A=nk=1akk∈N，但AW″l，我們考慮以下兩種情況：

（i）對于任意i≤l+1，j>l+1，都有[xij，A]=0。由

[xij，nk=1akk]=nk=1xij（ak）k-aij=0

知xij（aj）=ai，xij（ak）=0，其中，k≠j。從而ai=λixE，λi∈F，i≤l+1，且

aj=xjl+1i=1λii（xE）+ajxE，j>l+1

因此

A=l+1i=1λixEi+nj=l+2（xjl+1i=1λii（xE）+ajxE）j=

l+1i=1λi（i（xE）xii+nj=l+2i（xE）xjj）+

nj=l+2ajxEj=

l+1i=1λii（xE）D+nj=l+2ajxEj

注意到AW″l，l+1i=1i（xE）D∈W″l，則nj=l+2ajxEjW″l，但屬于N。由于aj不全為零，設ak≠0，l+1<k≤n，則

[xkn，nj=l+2ajxEj]=-λkxEn∈N

由定理2，有N=W′l。

（ii）如果存在i0≤l+1，j0>l+1，使得對于任意[xi0j0，A]=D≠0，則取A=xuj0，其中i0{u}，j0∈{u}，則D=xi0j0（xu）j0∈N。由定理2，亦有N=W′l，定理得證。

參 考 文 獻：

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（編輯：溫澤宇）

收稿日期： 2020-08-28

基金項目： 國家自然科學基金（11471090）;黑龍江省自然科學基金（A20150017，QC2018006）.

作者簡介：

張秋陽（1993—），男，碩士研究生;

劉文德（1965—），男，教授，博士，博士研究生導師.

通信作者：

孫麗萍（1970—），女，博士，教授，碩士研究生導師，E-mail：sunliping@hrbust.edu.cn.

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