運用轉化思想巧解中考試題

陳海燕

一道中考數學題，可以從不同的知識板塊、不同的視角嘗試多種解法。通過已知條件，找到其中隱含的關鍵量是一題多解的基礎;合理轉化是一題多解的關鍵。本文以一道中考填空壓軸題為例，運用轉化思想，將復雜問題轉化為簡單問題，進而找到解題的突破口。在初中數學學習中，同學們要熟練掌握轉化思想，巧妙運用轉化方法，開拓解題思路，這樣可以幫助我們輕松突破數學問題。

試題呈現（2018·江蘇蘇州）如圖1，已知AB=8，P為線段AB上的一個動點，分別以AP、PB為邊在AB的同側作菱形APCD和菱形PBFE，點P、C、E在一條直線上，∠DAP=60°。M、N分別是對角線AC、BE的中點。當點P在線段AB上移動時，點M、N之間的距離最短為。（結果保留根號）

【思路分析】解決本題的關鍵是如何表示MN的長度，根據條件可以連接PM、PN。首先證明∠MPN=90°，設PA=2a，則PB=8-2a，PM=a，PN=3（4-a），構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題。

解法一：連接PM、PN。

∵四邊形APCD和四邊形PBFE都是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M、N分別是對角線AC、BE的中點，

∴∠CPM=12∠APC=60°，

∠EPN=2∠EPB=30°，

∴∠MPN=60°+30°=90°。設PA=2a，

則PB=8-2a，PM=a，PN=3（4-a），

∴當a=3時，MN有最小值，最小

值為23。

【思路分析】因為M、N是PD、PF的

中點，則中位線MN=12DF，所以轉化為

求DF的最小值。考慮到AD平行BF，則DF的最小值就是平行線之間的距離。DF的最小值=BH。

解法二：在Rt△ABH中，∠HAP=60°，AB=8，則BH=43，所以MN的最小值為23。

【思路分析】因為四邊形APCD和四邊形PBFE都是菱形，所以AC⊥DP，

BE⊥PF，由∠DPF=90°，想到延長MC，交EB于點Q，得到四邊形PNQM為矩形，MN=PQ，所以要求MN的最小值，就轉化為求PQ的最小值。

解法三：在Rt△ABQ中，AB=8，∠QAB=30°，PQ最短=QH=23，所以MN的最小值為23。

【思考】轉化是處理數學問題至關重要的思想方法之一，是攻克數學難題的利器。在平時的學習中，同學們要注意靈活運用轉化思想，培養轉化意識，走出思想束縛，激活思維靈活性，以此促進數學思維的發展和解題能力的提升。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校）