探究組合長方體的最小表面積

范才鳳

在計算組合長方體的表面積時，由于擺放方法不一樣，它的表面積也就不一樣。例如：有兩個相同的長方體紙盒，它們的長、寬、高分別是16cm、6cm、2cm，現要用這兩個紙盒搭成一個大長方體，怎樣搭可使長方體的表面積最小？

實踐操作：我們發現，無論怎樣放置這兩個長方體紙盒，搭成的大長方體體積都不變。但是由于擺放位置的不同，它們的表面積會發生變化。經過操作，發現共有3種不同的擺放方式，如圖所示：

探究結論：

（1）請計算圖2、圖3、圖4中的大長方體的長、寬、高及其表面積，并填充下表：

根據上表可知，表面積最小的是所示的長方體。（填“圖2”“圖3”“圖4”）。解決問題：

（2）現在有4個小長方體紙盒，每個的長、寬、高都分別是16cm、6cm、2cm，若將這4個紙盒搭成一個大長方體，共有種不同的方式，搭成的大長方體的表面積最小為cm2。

（3）現在有4個小長方體紙盒，每個的長、寬、高都分別是a、b、c，a>2b且b>2c，若用這4個長方體紙盒搭成一個大長方體，共有種不同的方式，搭成的大長方體的表面積最小為cm2。（用含a、b、c的代數式表示）【解析】（1）長方體的體積不變，但由于擺放重疊的面不一樣，每個圖形的表面積也就不一樣。圖2中，長方體的高為4，表面積=2（16×6+16×4+4×6）=368;圖3中，長為32，表面積=2（32×6+32×2+6×2）=536;圖4中，寬為12，表面積=2（16×12+16×2+12×2）=496。所以圖1的表面積最小。

（2）如圖5所示：

現在有4個小長方體紙盒，每個的長、寬、高都分別是16cm、6cm、2cm，若將這4個紙盒搭成一個大長方體，共有7種不同的方式，搭成的大長方體的表面積最小為2（16×6+16×8+6×8）=544cm2。故答案為7，544。

（3）現在有4個小長方體紙盒，每個長、寬、高都分別是a、b、c，a>2b且b>2c，若用這4個長方體紙盒搭成一個大長方體，當a=?3b且b=?3c時，共有6種搭法，可分兩類。如圖5，第一類有3種情況，表面積分別為（8ab+8ac+2bc）cm2、（8ab+2ac+8bc）cm2、（2ab+8ac+8bc）cm2。第二類也有3種情況，表面積分別為（4ab+4ac+8bc）cm2、（8ab+4ac+4bc）cm2、（4ab+8ac+4bc）cm2。第三類：當a=3b時，表面積分別為（8ab+5ac+3bc）cm2;當b=3c時，表面積分別為（3ab+8ac+5bc）cm2。因此共有6（a=?3b且b=?3c）或7（a=3b或b=3c）或8（a=3b且b=3c）種不同的方式。由于a>2b且b>2c搭成的大長方體的表面積最小為（2ab+8ac+8bc）cm2。（用含a、b、c的代數式表示）

本題主要考查了幾何體的表面積，解題的關鍵是如何用分類討論的方法思考長方體的擺放。擺放的方法不一樣，解題的結果就不一樣，這屬于中考常見題型。

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）