巧解三視圖中的正方體個數問題

董翠花

由大小相同的小正方體堆積成的幾何體，我們不難畫出它的三視圖;反過來，給定小正方體堆積成的幾何體的視圖，如何確定小正方體的個數，是同學們普遍感到困難的地方，那么如何解決此類問題呢？

這種類型的問題通常分兩類：一是已知三個視圖，確定小正方體的個數;二是已知兩個視圖，確定小正方體個數的最值問題。而已知兩個視圖又分兩種情況：含有俯視圖和不含俯視圖。下面，我們對解決這類問題的方法進行總結。

一、已知三個視圖，確定正方體的個數

例1由一些相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖如圖1所示，則搭成該幾何體的小正方體有（）。

A.3個

B.4個

C.5個

D.6個

【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數及形狀，從主視圖和左視圖可以看出每一層小正方體的個數，從而算出總個數。

解：由俯視圖可以看出這個幾何體是2行2列，如圖2;

由主視圖可以看出從左往右第二列最高是1層，所以俯視圖中有兩個位置的層數可以確定，如圖3;

從左視圖可以看出從后往前第一行最高是1層，第二行最高是2層，再結合主視圖第一列最高是2層，所以俯視圖中另外兩個位置的層數就確定了，如圖4。

最后將各個數字相加，即1+1+1+2=5（個）。故選C。

二、已知兩個視圖，確定小正方體的個數

的最值

1.含有俯視圖。

例2一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖5所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數最少是個。

【分析】在“俯視打地基”的前提下，結合

左視圖可知俯視圖最上面一行三個小正方體的上方（第2層）至少還有1個正方體，據此可得答案。解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個數最少的分布情況如圖6所示，所以組成該幾何體所需小正方體的個數最少為5個。

例3如圖7是由若干個相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數最多是個。

解：由俯視圖與主視圖知，該幾何體所需

小正方體個數最多的分布情況如圖8所示，所以組成該幾何體所需小正方體的個數最多為6個。

2.不含俯視圖。

例4由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖9所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數最少是（）。

A.6

B.5

C.4

D.3

【分析】根據主視圖和左視圖確定俯視圖是2行2列，畫出“2行2列”俯視圖的全圖，再根據例1的方法確定各個位置的高度，標出對應位置的層數。因為要求最少個數，再把“違章”拆除，進而確定小正方體的最少個數。

解：據主視圖和左視圖確定俯視圖是2行2列，先畫出“2行2列”俯視圖的全圖，如圖10;

再根據例1的方法確定各個位置的高度，標出對應位置的層數，如圖11;

因為要確定最少個數，所以再把“違章”拆除，如圖12，最終確定小正方體的最少個數是1+2=3（個）。故選D。

由視圖確定小正方體的個數，主要抓住俯視圖。借助“俯視打地基”，結合主視圖和左視圖，弄清俯視圖中各個位置的層數，標上相應的數字，這樣此類問題就容易解決了。

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）