剖析向量高考題 抓準復習著力點

宋 磊

(上海南匯中學 201399)

一、高考對向量的考查內容和要求

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》對向量進行了刻畫：向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁，是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮重要作用.基于向量的重要性，平面向量是高考的重要考點之一.

高考對平面向量的考查主要有三個層面：知識層面，直接考查向量的線性運算、數量積、垂直或平行關系、基底、模與夾角、向量基本定理等；方法層面，重點考查數形結合、轉化與化歸、分類討論、函數與方程等思想方法；素養層面，主要考查數學運算、直觀想象、邏輯推理和數學建模等核心素養.2020年全國高考向量試題遵循了“考查基礎知識的同時，注重了思想方法和核心素養考查”的原則，很好地考查了知識點、思想方法和數學素養.

二、2020年高考向量試題剖析

平面向量融數、形于一體，具有幾何和代數的“雙重身份”，由于其知識的特點，在試題的基礎性、綜合性、靈活性、創新性、難度設計和區分度設計等方面提供了廣泛的試題命制空間，因而決定了其必然會成為歷年高考試題中的熱點內容.筆者以2020年高考數學全國文理和各省市真題卷為例，擷取若干典型問題剖析，以期找尋試題中所含知識要點、思想方法，探求數學本質，感悟核心素養，進而指導和反思向量教學，為2021年高考復習抓準著力點.

1.注重向量基本運算

低中難度的向量問題考查基本上是基于線性運算和數量積運算，以符號形式和坐標形式兩種方式，展開平行、垂直、夾角、模等問題的考查.

例1 (2020年新課標Ⅰ文14)設向量a=(1,-1)，b=(m+1,2m-4)，若a⊥b，則m=____.

A. 圓B. 橢圓C. 拋物線D. 直線

例3(2020年新課標Ⅱ理13)已知單位向量a,b的夾角為45°，ka-b與a垂直，則k=____.

例4 (2020年新課標Ⅲ理6)已知向量a,b滿足|a|=5，|b|=6，a·b=-6，則cos=( ).

例5 (2020年新課標Ⅰ理14)設a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=____.

圖1

2.注重代數運算與幾何推理相結合

由于向量是溝通代數與幾何的有力工具，向量問題的解決途徑一般有兩個：一是代數法，從向量的線性運算、數量積、平面向量基本定理以及坐標表示等方面思考，將問題轉化為代數中的有關問題解決；二是幾何法，通過向量的幾何意義以及向量的基本運算將其轉化為平面幾何問題.很多向量的綜合問題需要代數運算與幾何推理相結合.

圖2

3.突出向量與其它知識的交匯

向量是溝通代數與幾何的重要工具，是聯系不等式、函數、三角、數列、幾何等多項內容的橋梁.因此，向量與其它知識的交匯自然深受高考命題專家的青睞.

圖3

(2)After eliminating the observations affected by multipath by the EM-aided method.Through conversion,the ranging error was reduced to approximately 20%compared with that of dual-frequency ambiguity estimation.

圖4

評析方法1、2均采用代數法符號運算，結合不等式、函數相關知識解決；方法3采用坐標法；方法4是轉化為幾何法解決.

三、抓準向量“三核心”，強化向量“四意識”

通過對2020高考向量試題的剖析，可以幫助我們抓準復習的著力點，建構2021高考復習的框架.筆者認為，應當抓準向量“三核心”，強化向量“四意識”.

1.向量“三核心”

向量復習的第一個核心是加強基本概念與基本運算的復習，主要包括平面向量基本定理、向量的模的運算和幾何意義、向量的線性運算、共線向量、向量數量積及相關的向量夾角與向量垂直等內容，基本運算包括符號形式與坐標形式.

向量復習的第二個核心是明確向量代數與幾何雙角色，凸顯雙性.在復習過程中，例題的示范要凸顯雙性，如上文例9、例10一樣，讓學生感受到手中有兩招，可選擇可優化，形成代數與幾何這兩個解題流程.

向量復習的第三個核心是注重平面向量運算工具的靈活使用，縱橫交匯.由于平面向量作為溝通代數與幾何的橋梁，其研究幾何圖形性質的工具性的作用非常明顯，因此，以平面向量為背景或利用平面向量作為解題工具來命制高考試題，是數學高考試題命制的常見方法.在全面復習的基礎上，重視對主干知識和重要思想方法的掌握，掌握向量在知識交匯處的主要考查途徑和解決方式，讓學生體會關于高考數學命題的新理念.

2.向量“四意識”

第一，向量復習要有“坐標意識”.“坐標法”是解決向量問題的重要途徑，其優點是思維方式比較“固定”，學生容易掌握.坐標法的關鍵是合理建立直角坐標系，準確算出關鍵點的坐標.如上文例2、例6、例7均可以用坐標法解決.

第二，向量復習要有“幾何意識”.我們要引導學生主動挖掘向量問題的幾何背景用以解題.很多時候，我們如果能將向量問題置于適當的幾何背景之中，就能夠使抽象問題直觀化，將復雜的代數問題轉化為幾何問題，從而快速求解.

第三，向量復習要有“投影意識”.向量的數量積是向量非常重要的核心知識，而投影對向量數量積本質的理解和把握，起到了關鍵作用，在向量復習中要強化向量投影的意義和價值的認識.在解決向量數量積問題時，利用投影可能會事半功倍.

A.(-2,6) B.(-6,2)

C.(-2,4) D.(-4,6)

圖5

第四，向量復習要有“基底意識”.平面向量基本定理是向量知識體系中占有核心地位的定理，而“基底意識”的本質就是平面向量基本定理的靈活運用，難點是如何選擇“基底”用于簡化運算.上文中，例6、例7、例9、例10都可以用“基底思想”來解決.