中線長定理的證明及應用舉例

李秀元

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

一、中線長定理的內容、地位及證明

中線長定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是關于三角形三邊和中線長度關系的歐氏幾何定理.文字表述為：三角形一條中線兩側所對邊的平方和等于底邊一半的平方與該邊中線的平方和的2倍.

圖1

如圖示，設△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，AC，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，則：

中線長定理在人教課標教材A版中一共出現三次，一次是《數學》必修5第一章《解三角形》20頁習題13，作為余弦定理的應用，它突出了中線長的計算：

△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，應用余弦定理證明：

一次是《數學》必修2第三章《直線與方程》110頁B組習題7，以解析法的形式，突出了中線長與三角形三邊的關系：

已知AO是△ABC邊BC的中線，求證：

|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

第三次是《數學》必修2第三章《直線與方程》105頁例4在兩點間距離公式的應用基礎上，給出了平行四邊形的性質，也可以理解為中線長定理的變形式：

證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

下面用不同方法證明如下：

證法1應用余弦定理(只證第一式，其余同理).

證法2綜合應用平面向量知識和余弦定理.

證法3解析法.

如圖，以BC邊的中點為原點，邊BC所在直線為x軸建立直角坐標系.

圖2

設C(c,0)，A(a,b)，則B(-c,0).

|AB|2=(a+c)2+b2；|AC|2=(a-c)2+b2；|OA|2=a2+b2；|OC|2=c2.

所以，|AB|2+|AC|2=(a+c)2+b2+(a-c)2+b2=2(a2+b2+c2)，

2(|AO|2+|OC|2)=2(a2+b2+c2).

因此，|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

二、中線定理的簡單應用

例1Rt△ABC中，斜邊BC為m，以BC的中點O為圓心，作直徑為n(n

圖3

A. 2 B. 4 C. 5 D. 10

圖4

在△PAB中，應用中線定理，有2(|PA|2+|PB|2)-|AB|2=4|PD|2，故2(|PA|2+|PB|2)=|AB|2+4|PD|2=20|PC|2，選D.

說明以上兩題建系求解一樣可行，而應用中線長定理則是不錯的選擇.

圖5

說明本題作為13年高考重慶卷的選擇壓軸題，有其把關和選拔功能，是一道難題.雖然有垂直關系，有長度，可以建系求解，但計算麻煩，短時間內會逼得學生放棄.應用中線長定理直接將目標和已知條件聯系在一起，解題干凈利落，值得欣賞.

例4 已知P(a,b)為圓x2+y2=1內一個定點.作直線PA⊥PB，分別交圓于A，B.以A，P，B為三個頂點作矩形，求矩形的第四個頂點Q的軌跡.

圖6

例5 已知m，n是兩個非零向量，且|m|=1，|m+2n|=3，則|m+n|+|n|的最大值為( ).

圖7

說明本題的綜合較強，考查了向量的加減法，向量模的幾何意義，中線長定理，以及基本不等式等知識，難度較大.