例談一類含雙變量x1、x2的不等式求解問題

張 剛

(安徽省宿州應用技術學校 234000)

含雙變量x1，x2的不等式求解問題一直是高考數學的重要考點之一，并且經常以壓軸題的形式出現.試題設計經常與函數、不等式結合起來進行考查，同時注重對轉化與構造、函數與方程、數形結合等重要的數學思想與方法考查，試題整體難度較大，從而造成學生思維混亂，難以進行深入推理與計算.因此，本文針對這類含雙變量x1，x2的不等式求解問題，將結合實例進行分析，尋求此類問題的解題策略，以便于同行交流與探討.

一、對稱轉化，借助單調

評注由g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]化為g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)是一種數學對稱美的體現，遇到類似的條件句朝著對稱的方向轉化.這樣一來，對于任意的x1>x2>0，總有g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)成立，就變成了φ(x1)>φ(x2)，這就轉化成為函數φ(x)=g(x)+λf(x)在(0,+)上單調遞增，最終轉化為導數問題.

例2 已知函數f(x)=-lnx-2x2+1，證明對于任意x1，x2∈(0,+)，不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立.

證明f(x)的定義域為(0,+).因為所以f(x)在(0,+)上單調遞減.假設x1≥x2，|f(x1)-f(x2)|=f(x2)-f(x1)，則|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|?f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1，令g(x)=f(x)+4x=-lnx-2x2+1+4x，因為所以g(x)在(0,+)上單調遞減，故g(x1)≤g(x2).即不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立.

評注含有|f(x1)-f(x2)|的式子關鍵是去絕對值符號，可以利用單調性去絕對值符號.即對于單調函數f(x)，若x1g(x1)在[a,b]上恒成立?g(x)在[a,b]上單調遞增，所以g′(x)≥0在[a,b]恒成立.對于含有二元變量x1，x2的函數，可以使變量x1，x2分別位于不等號兩邊，呈現出不等式左右兩邊結構一樣的對稱關系式，便于構造函數模型取解決問題.

二、整體換元，構造函數

例3對任意不相等的正實數x1，x2，試證：

(2)證明：x1x2>e2.

(2)f′(x)=lnx-ax，x1，x2是f(x)的兩個極值點，可知x1，x2分別是方程lnx-ax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，設x1>x2，相加得lnx1+lnx2=a(x1+x2)

①

相減得lnx1-lnx2=a(x1-x2)

②

③

三、關注極值，借助偏移

例5已知函數f(x)=(x-2)ex+3(x-1)2有兩個零點，設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

解析由題意知f′(x)=(x-1)ex+6(x-1)=(x-1)(ex+6).因為f(x)在(-,1)上單調遞減，在(1,+)上單調遞增，因此函數的唯一的極值點是x=1.構造函數F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+3(x-1)2-(-x)e2-x+3(1-x)2=(x-2)ex+xe2-x.

四、等價轉化，構造模型

例6函數f(x)=(x-3)ex，對于任意x1，x2∈[1,3]有f(x1)-f(x2)≤a，則實數a的最小值為____.

解析令f′(x)=0，解得x=2，因為f(1)=-2e，f(2)=-e2，f(3)=0，所以f(x)min=-e2，f(x)max=0.又因為對于任意x1，x2∈[1,3]，有f(x1)-f(x2)≤a，所以f(x)max-f(x)min≤a.因為f(x)max-f(x)min=e2，所以a≥e2，故實數a的最小值為e2.

評注|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min?f(x)min-f(x)max≤f(x1)-f(x2)≤f(x)max-f(x)min.對于任意x1，x2∈D,f(x1)-f(x2)≤a?f(x)max-f(x)min≤a;f(x1)-f(x2)≥a?f(x)min-f(x)max≥a.

五、依據結構，等價轉化

評注對于任意的x1，x2，不等式|f(x2)-f(x1)|≤m恒成立的意義就是函數f(x)在區間內任意兩個函數值相差都不超過m，即f(x)max-f(x)min≤m；而存在x1，x2，能滿足不等式|f(x2)-f(x1)|≥m的意義是函數f(x)在區間內，至少存在兩個函數值相差超過m，即f(x)max-f(x)min≥m,若存在x1∈A，x2∈B，使得|f(x1)-g(x2)|≤m等價于g(x)min-f(x)max≤m，且f(x)min-g(x)max≤m.

六、任意存在，注意區別

例8已知e為自然對數的底數，f(x)=xlnx+a，g(x)=x2ex.

評注若任意x1∈D1總存在x2∈D2使得f(x1)=g(x2)，實質上就是兩個函數值域的包含關系，故此類問題利用值域可解;當涉及x2的具體個數時，就不是單純依靠函數值域就能解決的.如若任意x1∈D1總存在唯一的x2∈D2使得f(x1)=g(x2)，函數g(x)在區間[-1,1]內取一個與f(x1)相等的函數值，對應的自變量的值x2是唯一的.從圖形上看，函數g(x)在區間[-1,1]上必須是單調的，且y=f(x1)與函數g(x)圖象有且僅有一個交點.