培養模型意識，開拓數學思想
——以一道中考幾何壓軸綜合題的教學為例

江蘇省蘇州市吳江區松陵第一中學 毛小霞

幾何是初中數學重要的知識內容，而在中考中常以綜合題的形式考查，涉及眾多幾何性質和定理，圖形結構也較為復雜。合理把握圖形特點，識別模型結構且能靈活運用是問題突破的關鍵。本文以一道中考幾何壓軸綜合題的教學為例，比較兩種不同的解法，針對試題進行呈現、解析、賞析，并對其中的模型結構進行拓展。

一、試題呈現

以下是一道中考幾何壓軸綜合題：如圖1，在平面直角坐標系中，點A（0，4），B 為x 軸正半軸上一動點，AE、BF 平分∠OAB、∠OBA，AE、BF 交于點P，試回答下列問題。

（1）求∠BPA 的度數；

圖1

圖2

二、試題解析

本題共三個小問，題干給出了圖形建構的過程，首先需要根據文字描述理解圖形的結構，然后結合對應的問題來探究具體的解題思路，具體如下：

（2）分析：由題意知要證明∠MFO=∠EAO，就要想辦法證明FM //AE,運用平行線的性質和判定定理。本小問有兩種方法，方法1 是用角平分線的性質、全等三角形的判定和性質，添加輔助線構造全等三角形來解決問題，方法2是利用“等腰直角+直角”模型構造“手拉手”模型得到全等來解決。

方法1：如圖3，連接OP，作PH ⊥OB 于H，PK ⊥OA 于K。

∵AP、BP 分別平分∠OAB、∠OBA，

∴OP 平分∠AOB。

∵PH ⊥OB 于H，PK ⊥OA 于K，

∴PK=PH。

∵∠PKO=∠PHO=∠HOK=90°，

∴四邊形PKOH 是正方形，

∴∠HPK=∠MPF=90°，

∴∠FPK=∠MPH。∵∠PKF=∠PHM=90°，

∴△PKF ≌△PHM，∴PF=PM，∴∠PFM=45°，

∵∠BPE=180°-135°=45°，∴∠BPE=∠PFM，

∴FM //AE，∴∠MFO=∠EAO，∵∠OAB=2 ∠OAE，

圖3

方法2：如圖4，連接PO，作PG ⊥OP 交y 軸于G，

由第（1）問知：P 為△AOB 的內心，得∠GOP= ∠EOP =45°，

∴△GPO 為等腰直角三角形。

∴GP=OP, ∠FGP=∠MOP=45°。

∵∠FPG=∠MPO=90°-∠FPO，

∴△PGF ≌△POM，∴PF=PM，

∴△FPM 為等腰直角三角形。

∴∠MFP=∠APF=45°，

∴FM //AE，∴∠MFO=∠EAO。

（3）分析：由題知點B、T 的坐標，由垂直求S 點的坐標，也有兩種方法：第一種是代數方法，求出直線BT、OS 的解析式，利用方程組即可求出交點S 的坐標。第二種是幾何方法，也是利用“等腰直角+直角”模型再來構建“三垂直”模型，雖要添加輔助線，但對熟悉模型的同學來說并不難想到，也是幾何里常見的方法。

圖5

方法2：如圖5，連接OT，過O 作OG ⊥OT 交BT 于G，

三、試題賞析

上述考題分為三問，并采用難度遞進的設問方式，第一問是比較基礎的三角形內心模型，后兩問有難度，但都可以用多種方法解決，主要考查了三角形角平分線的性質、全等三角形的判定和性質、一次函數、“等腰直角+直角”模型、“三垂直”模型等知識，要求學生學會添加常用的輔助線和對一些基本的模型有一定的了解。

對復合圖形模型的提煉、轉化是幾何壓軸題的重要考點，也是幾何綜合題突破求解的難點之一，而充分把握圖形的結構、靈活運用基本模型是解題的關鍵。這道題后面較難的兩問都用到“等腰直角+直角”模型，如果熟悉此模型即可一模解兩問，充分發揮了基本模型在解題中的積極作用。

四、模型探究

本題中出現的三角形內心模型、三垂直模型常用，學生容易識別，而“等腰直角+直角”模型學生在平時做題中會碰到，但沒有進行系統的歸納總結，接下來分兩類對這個模型進行拓展變式探究。

1.等腰直角對直角模型探究

圖6

2.等腰直角對旁直角模型探究

圖7

引導學生自己證明，可以更深層次地理解此模型，做到靈活運用。

五、寫在最后

中考試題是對學生綜合知識的應用考查，對學生的邏輯思維和分析推理能力有著較高的要求，對其中的幾何綜合題，不僅需要理解掌握教材中涉及的幾何定理，還要準確識別圖形結構，注意培養學生幾何模型的識別和運用能力。而“幾何模型”是學生在數學解題中聯想的原型，如果學生看到相應的問題能建立聯想，就能順利地找到解題思路，因此教師在教學中需要引導學生重視模型的學習，逐步發展學生的數學思維。