高中數學解題教學中數學基本方法的應用

張小蓉

高中數學解題過程中經常可以通過換元，將問題所呈現的復雜表象簡單化，從而更利于發現問題的本質.因此，“換元法”這種基本方法，值得引起我們的重視，基于它在三角函數的解題中重要作用與地位，筆者認為應該把它作為一種重要方法在這一知識模塊進行專題訓練.

關于函數在x屬于某個范圍的性質

思路：換元法

令，函數在t屬于某個范圍（R或區間等）的性質

此時，只需要研究函數，

即可解決函數的問題.但如果函數如果含有未知參數，那變量t的取值范圍經常難以確定，使得研究難度大大增加.這個問題是三角函數的一個重難點，但我們只要抓住最基礎的問題，比如要研究的函數的定義域和圖象特征，即可使問題迎刃而解.

筆者根據變量t的取值范圍十分關鍵，分為以下幾個類型：

類型一、無需確定變量t的具體范圍，只需在一個或幾個周期內研究

例1.【原創題 改編自2019年新課標2文科08】若是函數 兩個最值點，則ω的最小值為?????????? （答案：2）

【思路探析】

令，則為函數的兩個最值點，

所以當ω最小時，應為函數的兩個相鄰最值點.

【詳解示范】

解析：令，則為函數的兩個最值點，

所以當，即時，ω取最小值2

【解后反思】

研究函數的性質時，可結合函數圖象.

類型二、可以確定變量t范圍中的一點

變式1.【原創題】已知函數在區間上恰有兩個最值點，

則ω的取值范圍為

【思路探析】0

令，則. 因為，所以，

因為可以確定t范圍中的一點，我們可以由此確定區間內的兩個最值點.

【詳解示范】

解析：令，則. 因為，所以.

（1）在區間內的兩個最值點為，

所以，無解.

（2）在區間內的兩個最值點為，

所以，解得.

（1）在區間內的兩個最值點為，

所以，無解.

綜上，

【解后反思】

恰有兩個最值點包含兩層意思：

（1）有兩個最值點;

（2）只有兩個最值點.

變式2.已知函數在區間上有兩個最值點，

則ω 的取值范圍為

【思路探析】令，則，

區間的左端點是確定的，

則函數兩個最值點一定是，.

【詳解示范】

解析：令，則，

由已知在區間上有兩個最值點，

所以，所以.

【解后反思】

利用換元法研究含參三角函數的性質，如果可以確定變量t范圍中的一點，我們就可以確定要在哪一個或哪幾個周期內研究函數，結合函數的圖象，經常可以大大地簡化問題.

類型三、變量t范圍無法確定

變式3.已知函數，在區間上

存在，，使得，則ω的范圍為

【思路探析】

函數的最大值為1，最小值為-1.

所以要使， 要是函數的最值點.

另一方面，令，則.

所以將在區間上至少存在兩個最值點，

所以將的所有最值點求出與區間端點作比較.

【詳解示范】

解析：函數的最大值為1，最小值為-1.

，所以是函數的最值點.

令，則.

所以將在區間上至少存在兩個最值點，

即在區間上存在相鄰的最值點，

即存在整數k，使得，

即，且

時，;時，.

綜上，

【解后反思】

這類型的含參三角函數性質問題通常難度較大，計算過程較為繁瑣，但利用換元法，轉化為研究的問題，可以使解決問題的思路變得直接明了.

換元法也可以研究形如的函數的其他性質，思路與上述研究最值點一致.

變式4.已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍為

【詳解示范】

解析：令，則.

所以函數在區間，上遞增，

即，即，且

時，;時，.

綜上，

【解后反思】

研究形如函數的各種性質，思路是相通的.

變式5.已知函數，

若函數的所有零點依次記為，

且，則=

【詳解示范】

解析：令，因為，所以，

求函數的零點，等價于求方程的根.

由可得，方程的根依次為，

且，

所以，

【課堂小結】

形如函數的性質

1.換元;

2.求出變量的范圍;

3.結合函數的圖象解決問題.

【選題說明】

本專題針對經過一輪復習，對三角函數的基本性質和方法已經有一定了解的同學，目標是使學生通過訓練，能夠熟練掌握研究函數的性質的方法，并做到在考試中不失分，優生做到快速準確. 并且通過本專題的訓練，讓學生體會到基礎解法的重要性，感受到數學邏輯的流暢優美.

研究函數的性質是高考常見的考點（如2018年新課標2文科10等等），而且當函數含參時，題目的難度大大增加了，很多同學在處理這類難題時無從下手. 本專題在研究這類問題時，只用了基礎的換元法，在解題過程中注意變量的范圍和基本初等函數的圖象，并沒有華麗復雜的技巧，卻一樣能使問題得到很好的解決，所以我們在復習的時候更應著重于基礎知識基礎方法的教學，以不變應萬變.

注：本文系2020年度福建省中青年教師教育科研項目立項課題《大數據環境下促進高中數學深度學習的教學策略研究》（項目編號JSZJ20085）研究成果

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