橢圓還“圓”——例談仿射變換

王莎

摘 要：筆者通過仿射變換，將橢圓仿射為圓，再研究圓中的情形得到了更為一般和簡潔的結論，而根據仿射變換的性質，這些結論在橢圓之中，同樣是成立的，這就具有了一般性的意義。本文闡述仿射變換在解決橢圓問題中的靈活性、巧妙性。

關鍵詞：橢圓;圓;仿射變換

一、什么是仿射變換

仿射變換是幾何學中的一個重要變換，圖形在變換中保持許多不變性質和不變量，這些不變性質與不變量為人們解決復雜幾何問題提供了理論依據。根據仿射變換的性質，可以把特殊圖形的重要結論直接推廣到一般圖形，達到復雜問題的簡單化求解。

比如橢圓與圓是仿射對應圖形，在仿射意義下二者等價。它保持交點個數不變，線段比不變，面積、斜率的線性性等。在解決關于橢圓的命題時，可以將此命題放到對應圓中去解決，只要命題在圓中成立，那么在橢圓中也必定成立。在高中階段，圓錐曲線問題是普遍困擾學生的一部分內容，掌握仿射變換會使一部分題目變得明朗許多。

二、仿射變換基本性質——“五變四不變”

設橢圓的直角坐標方程為，作仿射變換，從而得到圓的方程。

對于只在y軸上進行伸縮變換的如上仿射變換T來講，有如下性質：

①橢圓方程變為圓的方程;

②點的坐標變為;

③直線的斜率k變為;

④平面圖形面積S變為;

⑤弦長變為.

同時，仿射變換前后有下列對應關系：①點位置不變（橢圓C上的點變換后都在C'上）;②平行關系保持不變;③共線段比例關系保持不變;④點分線段的比值保持不變。

三、仿射變換的妙用

圓有很多重要的的幾何性質，很多時候，我們可以通過仿射變換將橢圓變成圓，再利用圓冪定理、相交弦定理、切割線定理等結論，就可以很好地處理與斜率、面積、弦長有關的一類問題。

例1：已知橢圓的離心率，一個長軸頂點在直線y=x+2上，若直線l與橢圓交于P、Q兩點，O為坐標原點，直線OP的斜率為k1，直線OQ的斜率為k2.

①求該橢圓的方程;

②若，試問△OPQ的面積是否為定值？若是，求出這個定值;若不是，請說明理由.

解析：第一問答案為，則a=2，b=1.

如圖，將橢圓仿射成圓，

，可得，

則，轉化回橢圓，即.

例2：（2018浙江，17）已知點P（0，1），

橢圓上兩點A，B滿足，則當m=? ? ? ? ?時，點B的橫坐標的絕對值最大.

解析：令則橢圓仿射為圓，點A、B變為。點P坐標通過仿射變為P（0，2），求點B橫坐標的絕對值的最大值等價于求仿射變換后的橫坐標的最大值。

如圖，作，根據垂徑定理可得點D為弦的中點，可知由，又結合，即（點分線段的比值不變）可得，過點作y軸的垂線交于點E，由，得，

當時，取到最大值，此時，則根據OP=2，得：，再由勾股定理得.

例3：（2016北京理，19）已知橢圓的離心率，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為1.

①求橢圓C的方程;

②設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：為定值.

解析：第一問答案為，則a=2，b=1.

如圖，將橢圓仿射為圓，

設點A，B，P，M，N變換后對應的點分別為.

如圖連接，其中為等腰直角三角形，

故，

根據同弧所對圓周角等于圓心角的一半可知.

則由，

故，故，

即，

而，，

故.

縱觀近幾年高考，和橢圓相關的定點、定值、最值問題一直是高考的熱點和重點，這類題目通常以壓軸題的形式出現， 并且由于計算量很大而具有很強的區分度。利用仿射變換可將橢圓轉換為圓，而圓具有橢圓不具備的許多特殊性質，并且和圓有關的問題還可以借助初中平面幾何知識解答，從而可以回避繁雜的計算，降低解題難度。

四、總結歸納

變換思想是一類主要的數學思想。應用變換的方法去解題可使問題得到簡化，從而在解題中取得較好的效果。仿射變換就是幾何變換中的一類重要變換。 這種方法雖然不能直接進入中學課堂，但它能幫助高中教師思考問題，了解試題背景，挖掘試題本質，從而居高臨下地教學。

從上述討論中可以得出應用仿射變換解題的步驟可概括如下： ①判斷求解的問題是否能利用仿射不變性質，仿射不變量求解，一般涉及點共直線、直線共點、線段比、面積比等一類問題皆可應用仿射變換解題;②選擇合適的仿射變換，找出所給圖形的合適的仿射圖形;③在仿射圖形中求證，寫出具體的仿射變換及解題過程。

參考文獻：

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