小概率事件的原理及應(yīng)用

張寧 陳龍 姜雁 彭穎 智慧

摘 要：小概率事件原理是概率論中的核心原理之一，該核心原理具有豐富的實踐意義和廣泛的適用范圍。文章結(jié)合小概率事件的內(nèi)涵、原理以及推斷方法的分析、驗證，并且在這一原理分析的基礎(chǔ)上，通過幾個實例，包括在假設(shè)檢驗，彩票，經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)療，體育和考試等領(lǐng)域，論述其在日常生活中的作用，旨在引導(dǎo)人們進(jìn)一步了解與客觀看待小概率事件，進(jìn)而在平時趨利避害，使得事物演變的趨勢逐漸向好而并非不小心落入圈套。

關(guān)鍵詞：小概率;小概率事件原理;假設(shè)檢驗

一、引言

當(dāng)下，概率論和數(shù)據(jù)統(tǒng)計的相關(guān)理論逐漸在交通、氣象、經(jīng)濟(jì)和醫(yī)療等眾多關(guān)乎民眾日常生活的行業(yè)達(dá)到了大范圍地運用與普及。小概率事件，是指事件發(fā)生的可能性（或概率）較小的事件，通常覺得出現(xiàn)的概率極低或不可能會出現(xiàn)的事件[1]。分析小概率原理的核心任務(wù)是更為高效地運用此原理，通過各種控制手段引導(dǎo)其朝著理想的趨勢發(fā)展，避免破壞性小概率事件的出現(xiàn)，由此提升日常生活的便捷度。

小概率事件原理，是一種極富實用性的基礎(chǔ)概率理論，也是概率論中的核心理論之一[2]。本文結(jié)合平時生活中較為普遍且具有代表性的實例，分析了小概率事件的主要特質(zhì)，總結(jié)了其與不可能事件兩者的不同和關(guān)聯(lián)性、小概率事件出現(xiàn)的必然性等，在小概率事件原理分析的基礎(chǔ)上分析解決此類問題，并通過幾個實例介紹了小概率事件原理在日常生活中、假設(shè)檢驗等幾個方面的應(yīng)用，了解小概率事件的本質(zhì)，走進(jìn)小概率事件，從而為日常生活提供指導(dǎo)和幫助。

二、小概率事件的定義及原理的介紹

（一） 小概率事件的定義

概率是衡量隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性的定量參數(shù)。概率論設(shè)定為0.01和0.005;認(rèn)為小概率事件，即為出現(xiàn)的概率不足0.01或0.005的事件，此時的0.01、0.005即為小概率的評價標(biāo)準(zhǔn)[1]。通常來說，研究者設(shè)定小概率事件發(fā)生的概率不足0.05。然而在部分特殊的情況下，如果事件將會造成極大的損失或傷害，應(yīng)選的小一些，如0.0001，甚至要更小些;否則可適度上調(diào)。小概率事件，僅僅是出現(xiàn)的可能性極低，然而并不意味著不會出現(xiàn)，無論概率多小，都是有可能發(fā)生的，即小概率事件發(fā)生的概率永遠(yuǎn)大于0。

（二） 小概率事件的原理

小概率事件原理，又名似然定理，是概率論領(lǐng)域一種富有實踐價值的常用理論，其出現(xiàn)的概率約等于經(jīng)過大量反復(fù)的論證所得到的出現(xiàn)頻率[3]。換而言之：倘若事件A是小概率事件，如果經(jīng)過一次或少量事件，居然出現(xiàn)了該事件，則可判定此種情形是反常的，事件A本不應(yīng)出現(xiàn)。

小概率事件并非不可能出現(xiàn)的情況。因此人類在平時的生活與工作中應(yīng)重視小概率事件。能否忽略小概率事件，主要取決于實際的情形特點。諸如，任何小概率事件對航天飛機(jī)均可能引發(fā)重大的后果，而某一批商品中存在0.01的不合格品則是并無大礙的[5]。遇到比較復(fù)雜的情形，小概率事件原理有助于人類進(jìn)一步了解小概率事件出現(xiàn)的根本成因。

三、小概率事件原理在日常生活中的應(yīng)用

小概率原理無形中對人類的生活與生產(chǎn)帶來了諸多的啟發(fā)。現(xiàn)階段，在醫(yī)療、經(jīng)濟(jì)、氣象、體育和交通等平時生活中常見的領(lǐng)域，小概率原理都存在著諸多有待探究的問題。對此，主要結(jié)合彩票，通過假設(shè)檢驗的方式，綜合探討小概率事件原理的作用和價值。

四、小概率事件原理在假設(shè)檢驗中的應(yīng)用

假設(shè)檢驗手段是基于小概率原理而設(shè)計的，確切來說，如果對某一問題設(shè)計原假設(shè)H0和備選假設(shè)H1，同時需驗證H0的可信度時，可先假設(shè)其是成立的?；诖思僭O(shè)開始抽樣，倘若出現(xiàn)了一個小概率事件，那么可基于小概率原理，推斷原假設(shè)H0不成立，由此得到拒絕原假設(shè)H0的結(jié)論。相反，倘若并未出現(xiàn)小概率事件，則沒有理由拒絕H0，從而認(rèn)可H0。

案例1 某一工廠生產(chǎn)了200件商品，通過質(zhì)檢才可以出庫，現(xiàn)限定商品的不合格率應(yīng)該控制在0.01以內(nèi)，從200件商品中隨機(jī)抽出5件，當(dāng)中存在不合格品，問此批商品能否出庫？

解：假定此批商品的不合格率是p，則上述問題即為，怎樣結(jié)合抽樣的情況以推斷不等式“p ≤0.01”是否成立？

要檢驗的假設(shè)是“p ≤0.01”。首先我們假定 p ≤0.01 成立，此時 200 件中最多有 2 件次品，從中任取 5 件，令 A 為沒有取到次品，有古典概型

顯然，。從而從中任意抽取5件出現(xiàn)次品的概率 1- P（A）≤1- 0.95=0.05。

上述計算表明，倘若“p ≤0.01”，則在每百次實驗中，事件=“任取5件產(chǎn)品出現(xiàn)次品”，發(fā)生的次數(shù)小于等于5次。換而言之，每次試驗，事件出現(xiàn)的可能性極低。基于小概率事件原理，在單次試驗中，小概率事件是不可能出現(xiàn)的。倘若在某次試驗得到了小概率事件，則判定其屬于不正常的情形。但是對于此案例，在某一實際抽樣過程中，事件A居然出現(xiàn)了，其屬于違背情理的。此種情形發(fā)生的原因是什么？主要是由于預(yù)先假設(shè) p ≤0.01，所以“p ≤0.01”這一假設(shè)條件無法成立。由此反映出此批次商品的不合格率大于0.01，因此認(rèn)為其不能出庫。因為在單次測試中，小概率事件事實上是可能會出現(xiàn)的，因此以上的方式存在出錯的風(fēng)險。假定測試可能出現(xiàn)下述兩種錯誤。第一種是，如果 H0 事實上是正確的，而經(jīng)過推斷認(rèn)定其為錯誤的，即為出現(xiàn)了“棄真”的問題。顯而易見，出現(xiàn)“棄真”問題的概率，即為顯著性水平α。另一種則是，如果 H0事實上是錯誤的，相反經(jīng)過推論認(rèn)定其是正確的，便出現(xiàn)了“采偽”的問題。主觀層面而言，人們是想要力求上述兩種情形出現(xiàn)的概率盡可能低，兩者均為小概率事件。但是研究表明，對于固定的樣本量，無法同時降低出現(xiàn)上述兩種問題的概率，減小其中一個，另一個就會增大。如果要他們同時減小，就只有增加樣本的容量。在實際問題中，由于一般來說，人們更為注重“棄真”，通常會限定出現(xiàn)第一種錯誤的概率α，即為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)定義的“顯著性檢驗”[6]。

案例2 一工廠在產(chǎn)品的重復(fù)抽樣檢驗中，在200件產(chǎn)品中找到了4件不合格品。由此能否推斷出此工廠產(chǎn)品的不合格率在0.005之內(nèi)？

解：假設(shè)H0=“該廠的次品率不超過0.005”，A=“一共取了200件中發(fā)現(xiàn)有4件次品”。則

那么我們由以上可以知，當(dāng)該廠的次品率為0.005時，抽查200件就已經(jīng)出現(xiàn)了4件次品的事件，是個小概率事件，這時卻發(fā)生了，那么我們就拒絕原假設(shè)H，也就是說該廠的次品率是0.005是不能相信的。

結(jié)合以上的分析可知，假設(shè)檢驗的主要方式是，基于樣本總量，觀察在單次測試中，特定“小概率事件”是否會出現(xiàn)，由此推測之前對總體X的猜測（即為原假設(shè)）是否成立。主要步驟為：為了論證固有假設(shè)H0是否正確。先認(rèn)為 H0正確，倘若隨后得出了一個小概率（低于顯著水平α，一般α設(shè)定為0.05 ，0.01 等）情形出現(xiàn)，則認(rèn)定為“反證法”得到了矛盾，由此推斷出 H0 不成立，否則接受H0[7]。

五、總結(jié)

在單次試驗中，小概率事件出現(xiàn)的概率近乎為零。然而倘若人們過于看重部分十分極端的小概率情況，便無法完成平時的衣食住行等各種活動。綜上所述，小概率事件原理是極為普遍和常見的，是概率論的核心，也是統(tǒng)計學(xué)不斷發(fā)展的根基，當(dāng)人類對海量信息數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與推斷的過程中，運用該原理，可以結(jié)合實際推理結(jié)果得出正確的結(jié)論，為各種統(tǒng)計推論提供充分的數(shù)據(jù)理論參考[8]。所以，進(jìn)一步了解小概率事件是人類解決生活工作中各種問題的基礎(chǔ)。我們?nèi)绻梢宰匀绲剡\用各種概率原理分析問題，深入地了解小概率事件的發(fā)生與轉(zhuǎn)變原理，便能夠拓寬小概率原理的適用面，推動人類生活工作的進(jìn)步。

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