基于豎直平面圓弧軌道的阻尼因數測量

農曉寧，李豐果

(華南師范大學 a.物理與電信工程學院; b.物理國家級實驗教學示范中心，廣東 廣州 510006)

當質點或剛體在軌道上做振動時會受到阻力作用，振動過程中，振幅會減小，這樣的運動叫做阻尼振動. 阻尼因數是描述振幅衰減快慢的重要參量，阻尼因數β從小到大對應3種運動狀態，分別是欠阻尼狀態、臨界阻尼狀態和過阻尼狀態. 阻尼因數β越大，則阻尼越大，衰減越快；阻尼因數β越小，則阻尼越小，衰減越慢. 利用不同裝置可以測量阻尼因數[1-7]，對實驗數據的采集與處理也有不同的方法[8-13]. 本文利用自制豎直圓弧軌道裝置進行實驗，利用視頻分析軟件Tracker和數據處理軟件Origin來完成對阻尼因數的測量.

1 測量原理

在實際情況下物體受到阻力作用，小球做弱阻尼振動，ω為與阻尼振動相同的振動系統的固有角頻率，β為阻尼因數，其動力學方程[14]為

(1)

式(1)中當阻力很小時(β?ω)，呈現欠阻尼狀態，由(1)式解得質點的運動學方程為

x(t)=Aeβ tcos (ω′t+α).

(2)

為了得到阻尼因數，將物體的x-t曲線進行非線性擬合，可得到β.

2 自制豎直平面圓弧軌道

自制豎直圓弧軌如圖1所示. 豎直圓弧軌道由2塊22.00 cm的正方形有機玻璃板以及直徑分別為20.00 cm和15.00 cm的有機玻璃圓管組合而成. 制作時首先將圓管切割使其高度為3.50 cm，按照需要的尺寸把大圓管切出開口，作為物體進入軌道的入口. 如圖1所示，將半徑為r1=7.50 cm，r2=10.00 cm的圓管的圓心重合，且圓心處在正方形對角線的交點. 接著用熱熔膠將圓管固定在2塊正方形的玻璃板之間. 按以上步驟制成簡易豎直圓弧軌道. 測量需要配置圓柱體作為追蹤對象，根據實驗需求，在軌道內壁貼上不同材料來改變軌道的粗糙程度.

(a)示意圖 (b)實物圖

3 測量過程

實驗過程中，物體運動較快，需利用相機拍攝視頻，并通過視頻分析軟件Tracker得到所需運動數據，將數據導入Origin進行曲線擬合. 測量使用的相機為富士XT20，拍攝幀數設為60 s-1.

1)測量準備：用三腳架固定相機，開啟拍攝視頻模式并取景整個裝置. 測量出圓柱體底面半徑均為0.90 cm，圓弧軌道半徑為10.00 cm，在圓柱體底面貼上黑色圓形紙片，以便Tracker追蹤物體的運動軌跡.

2)錄制視頻：根據實驗需求將圓柱體從不同角度θ的位置靜止釋放，用相機錄下圓柱體在圓弧軌道運動的視頻.

3)尺寸標注定標：將視頻導入Tracker軟件將實際中的物體尺寸在視頻中進行標注，以便得到準確的數據.

4)視頻分析：以平衡位置為原點建立平面直角坐標系，將圓柱體中的黑色圓紙片標志為質點，追蹤質點的運動，得到x-t圖像及其數據.

5)數據處理：用Origin軟件中的SineDamp函數對x-t圖像的數據進行曲線擬合，得到阻尼因數β. 實驗探究圓柱體在不同角度、不同表面滾動，以及材質對阻尼因數的影響.

4 測量結果與分析

4.1 圓柱體從不同角度開始滾動的阻尼因數測量

用鐵質圓柱體從不同角度靜止釋放，用Tracker得到圓柱體運動的水平位移隨時間變化的x-t運動曲線. 角度θ是指圓柱體釋放位置與圓心所確定的直線和豎直方向的夾角. 將x-t曲線用SineDamp函數進行非線性擬合，4個不同角度釋放的圓柱體運動曲線(黑色)和擬合曲線(紅色)結果如圖2所示.

相應地，4次測量的擬合方程分別為：

(a)θ=80°

4.2 圓柱體在不同粗糙度表面上滾動的阻尼因數測量

保持其他條件不變，使圓柱體在不同目數的砂紙軌道中來回滾動，測量圓柱體在粗糙度不同的表面上滾動的阻尼因數. 砂紙的目數是指物料的粒度或粗細度，目數越小表示越粗糙，反之，目數越大表示越細膩. 經過實驗測量與數據處理，得到圓柱體運動的水平位移隨時間變化的x-t曲線及其擬合曲線. 圓柱體分別在150目、240目、400目、1 200目砂紙中滾動的x-t運動曲線(黑色)及其擬合曲線(紅色)如圖3所示.

(a)150目

相應地，圖3中4次測量的擬合方程分別為

4.3 測量不同材質圓柱體滾動的阻尼因數

保持其他條件不變，使銅、鐵、鋁3種圓柱體分別在圓弧軌道中來回滾動，軌道表面鋪上1 200目數的砂紙. 測量得3種材質圓柱體的阻尼因數如表1所示.

表1 不同材質圓柱體阻尼因數測量數據

銅鐵鋁圓柱體在1 200目砂紙上運動的阻尼因數大小排序為βFe<βAl<βCu，平均值相差約0.01. 結果表明，阻尼因數與圓柱體材質有關，但是影響較小.

5 結束語

利用圓柱體在豎直平面圓弧軌道滾動測量阻尼因數，研究了釋放角度、軌道的粗糙程度和圓柱體材質對測量阻尼因數的影響. 測量結果表明：阻尼因數隨角度變化產生微小的變化；阻尼因數隨粗糙程度的降低而減?。挥勉~鐵鋁圓柱體測量阻尼因數，材質對阻尼因數的影響較小. 實驗的誤差來源為圓柱體釋放的初始狀態、拍攝畫面變形、軟件追蹤精度等.