極化碼在OFDM水聲通信中的應用研究

翟玉爽，馮海泓，李記龍

(1. 中國科學院聲學研究所東海研究站，上海201815；2. 中國科學院大學，北京100049)

0 引 言

水下信道普遍存在多途干擾嚴重、多普勒頻移、噪聲干擾大、聲傳播損耗、可用帶寬極為有限等因素，極大地制約了水聲通信的發展。正交頻分復用技術(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)可降低多途干擾，頻帶利用率高，并具有簡化接收端信道均衡操作、可兼容其他信號處理技術等優勢，是實現高速穩健水聲通信的有效方案[1]。為進一步提高通信系統傳輸質量，將現有的水聲通信技術與先進信道編碼技術進行結合，是目前水聲通信的一個新的研究熱點。

初期數字水聲通信采用博斯-喬赫里-霍克文黑姆(Bose Chaudhuri Hocquenghem, BCH)碼、里德-所羅門(Reed-Solomon, RS)碼、卷積碼等傳統信道編碼方法[2]。近20年來，Turbo碼與低密度校驗(Low Density Parity Check, LDPC)碼得到廣泛研究和應用，兩者具有優越的糾錯性能并接近香農限[3]。2009年，土耳其學者Arikan[4]提出了極化碼的設計思想，首次以構造性方法證明信道容量漸近可達。因其高可靠性、實用的線性編譯碼復雜度和理論上唯一可達香農極限等特點，極化碼成為信道編碼領域的熱門研究方向，并寫入5G標準[5]。其編譯碼方法的研究已擴展至眾多信道類型和應用領域：

(1) 編碼時碼字構造方法的研究，Arikan[4]針對二進制刪除信道(Binary Erasure Channels, BEC)提出巴氏參數法，Mori等[6]提出適用于所有類型的二進制輸入離散無記憶信道(Binary Input Discrete Memoryless Channel, BDMC)的密度進化(Density Evolution, DE)法，高斯信道(Additive White Gaussian Noise Channel, AWGNC)中，有高斯近似(Gaussian Approximation, GA)法[7]、蒙特卡洛逼近法[4]、巴氏參數界法[8]和Design-SNR[9]法等，另外部分序構造法[10]以及極化度量(Polarization Weight, PW)法[11]等不依賴于信道條件的通用構造法成為新的研究熱點；(2) 極化碼譯碼算法的研究，Arikan的另一個重要貢獻是提出了串行抵消(Successive Cancellation, SC)譯碼算法[4]，在平衡性能和計算復雜度的基礎上，串行抵消列表(Successive-Cancellation List,SCL)算法[12-13]、循環冗余校驗碼輔助的SCL(Cyclic Redundancy Check Assisted SCL, CA-SCL)算法[14-15]、置信傳播(Belief Propagation, BP)算法[16]、軟輸出連續刪除(Soft Cancellation, SCAN)算法[17]等譯碼方法相繼產生；(3) 極化碼在并行通信、信源編碼、編碼調制技術以及物理層信息保密技術等相關理論研究領域的發展。目前，極化碼的應用場景由最初的二進制離散無記憶信道(Binary Discrete Memoryless Channel, B-DMC)向著其他信道拓展，如高斯信道[9]、衰落信道[18]等，但在水聲信道中的理論證明和應用研究相對較少且滯后[19-20]。

本文針對具有明顯多途、多普勒擴散和有限帶寬等復雜特性的水聲信道，對 Arikan[4]提出的極化碼的碼字構造可靠性估計方法和譯碼方法予以改進和優化，建立與水聲信道相匹配的極化碼信道編碼機制；并結合OFDM技術搭建水聲通信系統，對提出的極化碼信道編碼機制在 OFDM 水聲通信中的性能表現進行理論研究、仿真驗證；同時針對不同水聲信道模型、信道參數以及不同極化碼參數，研究極化碼在水聲通信中的性能變化，并與目前應用成熟且性能優越的LDPC碼、Turbo碼進行對比。

1 極化碼與水聲信道

1.1 極化碼

Polar碼的應用基于信道極化定理[4]。給定的任意BDMC信道W:x→y，令W(y|x)為信道轉移概率。其信道容量I(W)表示能夠通過信道W無錯誤傳輸的最大信息速率，用以衡量信道傳輸速率。其巴氏參數Z(W)為只傳輸0或者1的最大似然判決錯誤概率的上限，用以衡量信道傳輸可靠性。

若極化碼碼長為N= 2n(n為任意正整數)，則將BDMC信道的N個獨立副本W經過信道合并與信道分離，得到N個極化子信道。當N→∞時，一部分子信道容量趨近于 1，即該信道為好的無噪聲信道，而另一部分子信道信道容量趨近于0，即差的完全噪聲信道。其中容量為1的信道占信道總數的比例正好是原 BDMC信道的信道容量I(W)，這一現象稱作信道極化。在有限碼長下，信道極化不完全, 隨著N增大，極化趨勢更明顯，以BEC信道為例，N=1 024時極化現象如圖1所示。

圖1 碼長N =1 024時BEC信道極化現象示意圖Fig.1 Schematic diagram of BEC channel polarization when N =1 024

極化碼信道編碼的應用流程分為極化子信道的可靠性估計即碼字構造、編碼和譯碼3個步驟：

(1) 基于信道極化現象，編碼前需根據碼字構造方法，進行極化子信道的可靠性估計，挑選出K個較好的子信道A，用以放置K個信息比特uA，在其余較差的子信道AC上放置收發雙方都已知的(N-k)個固定凍結比特uAC，即可得到原始發送序列u1,N。碼率可表示為

1.2 水聲信道

在實際系統中，該假設可在接收端估計測得信道邊信息(Channel Side Information, CSI)即信道增益H、噪聲方差σ2后，利用反饋鏈路告知發送端，本文利用信道估計和無信號傳輸時噪聲功率的測量分別獲得信道增益和噪聲方差值。

2 水聲信道的極化碼信道編碼機制

2.1 極化水聲信道的可靠性估計

2.1.1 蒙特卡洛逼近法

Arikan提出的蒙特卡洛法[4]基于統計特性對極化信道進行可靠性估計，被證明可應用于多種類型信道[9]，但此方法因式(19)符號集的指數型爆炸式增長變得不實用，且精確度不夠高。

可對R進行大量仿真得其期望值Z(WN,i)。本優化可將蒙特卡洛法的計算復雜度降至O(MNl og2N)，其中M為蒙特卡洛模擬次數。

(2) 在發射端，將所有子信道都看成不理想的信道，放置收發雙方已知的固定凍結比特，本文設為0，構成原始信息比特序列u1,N。這種優化方法一方面避免了每次模擬重復編碼，另一方面簡化了SC譯碼時的似然判決部分，兩方面都進一步降低了蒙特卡洛法的計算復雜度。

(3) 似然比的計算改為在對數域進行，同時結合水聲信道特征參數信道增益H、噪聲方差σ2，按式(18)改進譯碼時初始對數似然比的計算。這種優化方法進一步降低了計算復雜度，并使其適合水聲信道，提高估計準確性。

優化方法的流程圖如圖2所示。

圖2 蒙特卡洛逼近法構造極化碼流程圖Fig.2 Flowchart of the Monte Carlo estimation method for Polar code construction

2.1.2 巴氏參數界法

最早提出的經典巴氏參數法[4]，因其低復雜度O(Nl og2N)被廣泛應用[9]。但該方法中的巴氏參數初始值Z1(W)是針對 BDMC中最差誤碼率而被提出的0.5，且遞推公式中的式(22)上界僅在BEC中可達。

本文在其基礎上進行兩點優化和改造，提高估計準確性：

(1) 根據水聲信道特征參數優化巴氏參數初始值Z1(W)。結合信道增益和噪聲方差σ2，將式(16)和(17)代入式(2)即可得Z1(W)。

(2) 依據文獻[8]中三種類型遞歸公式在瑞利衰落信道內的性能研究結果，選用式(23)代替式(22)作為水聲信道內的巴氏參數遞推計算公式：

經優化，該方法的具體步驟如圖3所示。

圖3 用巴氏參數上界法構造極化碼流程圖Fig.3 Flowchart of the Bhattacharyya parameter bounds method for Polar code construction

2.2 水聲信道的極化碼譯碼

為研究極化碼在水聲信道中的譯碼方法，本文對SC、CA-SCL、BP、SCAN 4種譯碼算法進行性能測試和對比。

首先，結合水聲信道的特征參數，按式(18)計算譯碼時初始對數似然比。

其次，本文采用BP譯碼法時迭代次數設為50，SCAN算法迭代1次。這是由于BP法的消息傳遞采用“洪水”規則，SCAN采用類SC算法的串行消除規則，因此BP算法的譯碼延時低于SCAN算法，但是SCAN算法的收斂速度明顯好于BP算法。一般而言，BP算法需要40～50次的迭代過程[16]，而SCAN算法1次迭代就能達到稍低于SC算法的性能[17]。

3 信道仿真與性能測試

3.1 OFDM水聲通信系統描述及參數設置

搭建OFDM水聲通信仿真系統，研究第2節的極化碼信道編碼機制在水聲通信中的性能表現。系統原理框圖如圖4所示，參數設置如表1所示。

圖4 OFDM水聲通信系統基本原理框圖Fig.4 Block diagram of the OFDM underwater acoustic communication system

表1 OFDM水聲通信系統參數Table 1 Simulation parameters of the OFDM underwater acoustic communication system

表2 水聲時變信道參數Table 2 Simulation parameters of the UWA time-varying channel

3.2 極化水聲信道的可靠性估計

3.2.1 蒙特卡洛逼近法

在碼長N=256、碼率R=0.5時，蒙特卡洛逼近法的誤碼率(Bit Error Rate, BER)隨模擬重復次數的變化情況，如圖5所示。

圖5 水聲時變信道中不同重復次數的蒙特卡洛逼近法誤碼率性能隨信噪比的變化Fig.5 BERs of the Monte-Carlo estimation method with different repeat number in the UWA time-varying channel

由圖5可知，蒙特卡洛逼近法在降低計算復雜度的基礎上，使得極化碼的誤碼率在信噪比為4dB時可達 10-4～10-5，滿足水聲通信的誤碼性能指標和糾錯需求。且隨著蒙特卡洛重復次數由200增加到2 000，性能越好，約有0.5～1 dB的性能增益，因此在實際使用該方法時，重復次數M不需設置太大，避免過高的計算復雜度。

3.2.2 巴氏參數界法

在碼長N=256，碼率R=0.5時，優化之后的巴氏參數初始值Z1(W)與原作者提出的0.5[3]相比，性能增益約為 4 dB，提高了估計準確性，誤碼率在10 dB時達10-3。

3.2.3 蒙特卡洛逼近法和巴氏參數界法的性能對比

極化碼碼長N=256，碼率R=0.5時，蒙特卡洛逼近法重復次數M=2 000，兩者性能對比，結果如圖7所示，蒙特卡洛逼近法性能較巴氏參數上界法更好，性能增益約8 dB。在后續性能分析的過程中，采用蒙特卡洛逼近法作為極化碼碼字構造方法。

3.3 極化水聲信道的譯碼方法

極化碼碼長N=256，碼率R=0.5時，在水聲信道中，對SC，CA-SCL，BP，SCAN 4種譯碼算法進行性能測試和對比。其中，BP譯碼法迭代次數為50，SCAN算法迭代次數為1，SCL譯碼方法搜索路徑數分別設為 8 (記為 SCL8)和 16 (記為SCL16)，循環冗余校驗(Cyclic Redundancy Check,CRC)的碼字長度為4，測試結果如圖8所示。

圖8 水聲時變信道中N=256，R=0.5時，極化碼譯碼方法誤碼率對比Fig.8 BER comparison of different polar code decoding methods in UWA time-varying channel when N=256, R=0.5

由圖8可知，在水聲時變信道中，CA-SCL譯碼法性能遠好于其他三種算法，約有2～4 dB的性能增益，SC和SCAN算法性能相近，BP算法性能較差。同時，CA-SCL譯碼法的搜索路徑數量越大，譯碼性能越好。

因此，在后續的性能分析過程中，極化碼譯碼方法采用CA-SCL譯碼法，搜索路徑數設為8，CRC校驗的碼字長度為4。

4 基于 OFDM 水聲通信的極化碼信道編碼性能測試

4.1 Polar碼在不同水聲信道中的性能分析

將第3節中極化碼信道編碼機制，即蒙特卡洛逼近法和CA-SCL譯碼法，運用至OFDM水聲通信仿真系統。測試極化碼在水聲時不變信道、時變信道和快時變信道模型的性能，并與目前應用成熟且性能優越的LDPC碼、Turbo碼進行對比。

4.1.1 水聲信道模型

(1) 時不變水聲信道

本文建立水聲時不變信道模型[22]，時不變水聲信道的沖激響應可表示為

Q條路徑具有獨立的幅值Aq和時延τq，兩者為常量參數，不隨時間發生變化，水聲時不變信道參數如表3所示。

表3 水聲時不變信道參數Table 3 Simulation parameters of the UWA time-invariant channel

(2) 快時變水聲信道

本文借鑒[23]的快時變信道模型和信道估計與均衡方法，通過直接構造隨機離散采樣快時變信道傳遞函數和OFDM傳輸矩陣，表征系統處于高速移動時，多普勒頻移擴展令多個子載波不再正交，產生載波間干擾(Inter-Carrier Interference,ICI)的狀態。相較于第3節的時變信道，該信道的傳遞函數在一個OFDM符號內是變化的，設一個OFDM符號內的第l個子載波位置、第m個時間采樣點的信道傳遞函數為

式中：多途數量Q= 3 ，多普勒頻移fq滿足 Jakes多普勒譜密度分布，隨機相位θq在0～2π間均勻分布，隨機歸一化時延τi/T在0～τmax/T間均勻分布。

4.1.2 不同水聲信道模型下的Polar信道編碼

設定極化碼N=256，R=0.5，針對不同水聲信道模型，進行極化碼的性能測試，結果如圖9所示。

由圖9可知，水聲信道環境的復雜性，以及現有水聲信道估計與均衡等技術的局限性，對極化碼的性能有一定影響。在時不變信道中，極化碼的誤碼率性能最優，時變信道次之，快時變信道最差。極化碼在時不變信道、時變信道中的誤碼率可達10-4～10-5，性能差異約為 1～1.5 dB。快時變信道中誤碼率為10-3量級，極化碼在時變信道比快時變信道中的性能增益約為6 dB，時不變信道比快時變信道中的性能增益約為8 dB。

圖9 不同水聲信道模型下Polar信道編碼的誤碼率比較Fig.9 BER comparison of Polar codes in UWA time-invariant,time-varying and fast time-varying channels

4.1.3 Polar碼與LDPC碼、Turbo碼在不同水聲信道模型下的性能對比

本文在水聲時不變信道模型、時變信道模型以及快時變信道中，將極化碼與Turbo碼、LDPC碼進行性能測試對比。仿真時，借鑒文獻[22]構造LDPC碼，采用隨機構造的校驗矩陣，LLR-BP譯碼算法，迭代次數為 25；借鑒文獻[1]構造 Turbo碼，仿真時兩分量編碼器的生成矩陣均為(37,21)，迭代次數為5。

設定極化碼、LDPC碼、Turbo碼的碼長、碼率均分別為N=256、R=0.5，結果如圖10、圖11、圖12所示。

圖10 Polar碼、LDPC碼、Turbo碼在水聲時不變信道中的誤碼率比較Fig.10 BER comparison of Polar code, LDPC code and Turbo code in UWA time-invariant channel

圖11 Polar碼、LDPC碼、Turbo碼在水聲時變信道中的性能Fig.11 BER comparison of Polar code, LDPC code and Turbo code in UWA time-varying channel

圖12 Polar碼、LDPC碼、Turbo碼在水聲快時變信道中性能Fig.12 BER comparison of Polar code, LDPC code and Turbo code in UWA fast time-varying channel

由圖 10可知，從總體看，在三種水聲信道模型下，Polar碼的誤碼率性能均優于LDCP和Turbo碼，三種碼的誤碼性能均隨信噪比的增長而逐漸優化。同時在時不變信道中，三種碼的誤碼率性能最優，時變信道次之，快時變信道最差，其中，LDPC碼和Turbo碼的性能與文獻[1]中表現一致。在時不變信道和時變信道中，Polar碼的性能最優，LDCP碼次之，Turbo碼較差，誤碼率均可達10-4～10-5，Polar碼優于LDCP碼0.5 dB左右，優于Turbo碼1 dB左右。在快時變信道中，Polar碼的性能最優，Turbo碼次之，LDCP碼較差，誤碼率可達10-3，Polar碼較Turbo碼有 2 dB左右的性能增益，較 LDCP碼有6 dB左右的性能增益。

4.2 極化碼性能隨極化碼參數變化的仿真分析

進一步研究碼長N，碼率R等極化碼參數對極化碼性能的影響，仿真環境為水聲時變信道。

4.2.1 Polar碼性能隨碼長N的變化

極化碼碼長分別設為N=128、256、512，碼率為R=0.5，仿真結果如圖13所示。

由圖13可知，極化碼性能隨碼長N由128增大至512而變優，約有0.5～4 dB的性能增益，符合信道極化現象和定理。

圖13 水聲時變信道中不同碼長N時的極化碼性能Fig.13 BERs of Polar code with different code length N in UWA time-varying channel

4.2.2 Polar碼性能隨碼率R的變化

極化碼碼率分別設為R=0.2，0.5，0.8，碼長N=256，結果如圖14所示。

由圖14可知，極化碼性能隨碼率R由0.8減小至0.2而變優，約有0.3～5 dB的性能增益。碼率越低，冗余越多，在譯碼端輔助譯碼的凍結比特越多，性能越好。

圖14 水聲時變信道中不同碼率R時的極化碼性能Fig.14 BERs of Polar code with different code rate R in UWA time-varying channel

4.3 極化碼性能隨信道參數的變化

在OFDM水聲通信系統中，仿真環境為水聲時變信道，觀察信道變化的參數(多途數量Q、最大多途時延τmax以及最大多普勒頻移fmax)對極化碼性能特性的影響。設極化碼的碼長N=256，碼率R=0.5。

4.3.1 Polar碼隨信道多途數量的變化

研究信道多途數量變化對極化碼性能的影響，設最大多普勒頻移fmax=1 0-3F，最大多途時延τmax=T/4，多途的數量分別取2、4、6、8、10，在OFDM水聲通信系統中測試Polar 碼的性能。結果圖15所示。

由圖 15中結果可知，隨著多途數量的增加，極化碼的性能逐漸下降4～5 dB。當多途數量小于8時，誤碼率均可達10-4～10-5，多途數量為10時，誤碼率可達 10-3～10-4，可滿足水聲通信的誤碼指標要求。

圖15 水聲時變信道中不同多途數量Q時的極化碼性能Fig.15 BERs of Polar code with different number of multipaths in UWA time-varying channel

4.3.2 Polar碼隨信道最大多途時延的變化

研究信道最大多途時延τmax變化對極化碼性能的影響，設水聲信道多途的數量Q=6，最大多普勒頻移設為fmax=10-3F，最大多途時延τmax以及歸一化時延τmax/T如表4所示。通信過程中，要保證循環前綴長度足夠長，循環前綴長度應大于等于最大多途時延τmax。測試結果如圖16所示。

表4 水聲時變信道最大多途時延參數Table 4 Maximum multipath delay parameters in the UWA time-varying channel

由圖 16中結果可知，最大多途時延取值范圍為(T/8)～10T，隨著最大多途時延增加，極化碼的性能逐漸下降2～3 dB，誤碼率均可達10-3～10-4，可以滿足水聲通信的誤碼率指標要求。

圖16 水聲時變信道中不同最大多途時延τ的極化碼性能Fig.16 BERs of Polar code with different maximum multipath delay in UWA time-varying channel

4.3.3 極化碼性能隨信道最大多普勒頻移的變化

為研究信道最大多普勒頻移變化對極化碼性能的影響，設水聲信道多途數量Q=6，最大多途時延τmax=T/4。最大多普勒頻移的選取以及歸一化最大多普勒頻移 (fmax/F)如表5所示，測試結果如圖17所示。

表5 水聲時變信道最大多普勒頻移參數Table 5 Maximum Doppler frequency shift parameters in the UWA time-varying channel

設定SNR為4 dB，觀察BER隨信道最大多普勒頻移的變化情況，研究極化碼容錯性，結果如圖18所示。

圖18 水聲時變信道中不同歸一化多普勒頻移時的極化碼性能Fig.18 BERs of Polar code with different channel normalized Doppler frequency shifts in UWA time-varying channel when SNRis 4 dB

由圖18可知，當歸一化多普勒頻移 (fmax/F)＜0.01 ，極化碼的誤碼率可達10-3～10-4，可滿足水聲通信的誤碼率指標要求，且隨著最大多普勒頻移的增加，極化碼的性能下降約4 dB。歸一化多普勒頻移 (fmax/F)≥0.01 ，極化碼無法發揮其作用。SNR=4 dB，歸一化多普勒頻偏≥9× 1 0-3時，誤碼率大于 10-2，極化碼失效，在實際應用中，應保證。

5 結 論

本文在現有的極化碼理論原理和應用研究的基礎上，結合水聲信道特征和水聲通信技術，對蒙特卡洛逼近法和巴氏參數界法進行優化和仿真性能測試；對SC，CA-SCL，BP，SCAN 4種譯碼算法進行性能測試和對比；并選用性能較為優越的蒙特卡洛逼近法和CA-SCL法，建立了與水聲信道相匹配的極化碼信道編碼機制；結合OFDM技術搭建水聲通信系統，對提出的極化碼信道編碼機制在OFDM 水聲通信中的性能表現進行理論研究和仿真驗證；同時針對不同水聲信道模型、信道參數以及不同極化碼參數，研究極化碼在水聲通信中的性能變化。由本文的結果可知，極化碼信道編碼機制可滿足水聲通信的誤碼率指標要求，能有效提高水聲通信的可靠性，且性能優于LDPC碼和Turbo碼。