X射線光譜數據處理平臺的優化設計

唐 琳,趙衛東，余松科,劉 澤,余小東，孟 源,黃興祿

1. 成都大學電子信息與電氣工程學院，四川 成都 610106 2. 數學地質四川省重點實驗室(成都理工大學)，四川 成都 610059 3. 成都大學科研處，四川 成都 610106 4. 成都大學計算機學院，四川 成都 610106

引 言

輻射測量中最重要的兩個指標，一個是能量分辨率，另一個則是計數率。但能量分辨率和計數率是相互矛盾的，改善能量分辨率將降低計數率，相反提高計數率將損失能量分辨率[1-3]。探測器的能量分辨率由多個因素決定，比如探測信號的統計漲落、信號處理器的噪聲、外部干擾以及溫度等。統計漲落決定了給定探測器能量分辨率的理論極限，而其他因素的影響則可以通過適當的噪聲濾除和電子技術來降低[4-6]。

以往關于能量分辨率的研究大多利用譜反卷積對獲取到的能譜進行后處理，從而降低特征峰的半高寬。這些后處理方法是通常基于將獲取到的能譜建模為輸入能譜和探測器響應函數這兩個隨機變量的函數，而探測器的響應函數又可以建模為輸入脈沖高度與輸出脈沖高度的聯合概率分布。目前至少存在三種對譜線進行后處理的方法可以提高能量分辨率，包括使用正則化、極大似然和最大熵。然而，這三種后處理方法都涉及了為光譜反褶積建模探測器的能量響應函數，因此這些方法將是一項計算量非常大的任務[7]。

傳統的X射線光譜數據處理平臺采用的是多道譜的成譜方法，其主要特征在于譜圖中每一個道址上計數的增量是基于單個脈沖幅度的，也就是說，每一個脈沖幅度被接收，相應的道址上的計數值就會加一。早在2005年，國外就有研究人員初步提出了多脈沖成譜的相關方法[8]，但國內尚無相關成果公布。筆者在前期研究工作[9-10]中已經提出了脈沖剔除法和脈沖修復法處理突變脈沖得到真實可靠的脈沖幅度信息，并因此降低了統計漲落。本文在上述研究基礎上提出一種X射線光譜數據處理平臺的優化設計，采用可在線實施的多脈沖局部平均(MPLA)成譜技術，選擇一個恰當范圍的平均窗口對多個脈沖幅度進行平均，平均后的幅度值被接收，再將相應的道址上的計數值加一，該技術的實施使得X射線光譜數據處理平臺得以優化。本文通過理論推導揭示了MPLA概率密度變換的基本理論特征，也通過實驗驗證了MPLA算法的特征，證明了在具有正態分布PDF的頻譜峰值的典型情況下，即使僅對兩個脈沖高度進行平均，變換后峰的FWHM也會變窄。

1 原 理

MPLA算法與傳統多道譜的根本區別在于前者使用多個脈沖高度的平均值來確定需要增加計數的道址，而后者則是每讀取一個脈沖幅度值，就給對應道址上的計數加一。MPLA算法的核心在于多個脈沖幅度的平均，但這里的平均并不是針對所有的脈沖幅度。如果對所有測量到的脈沖幅度都進行平均，那么最終得到的譜圖就會完全失去其原有的統計特征，也會破壞不同元素特征峰之間的計數差異，因此MPLA算法中的平均必須是針對選定窗口內一定脈沖幅度數量進行平均，再通過平均得到的脈沖幅度值來確定增加計數的道址。

MPLA算法涉及兩項可變參數，一是平均窗口的大小，本文以參數r表示，另一項參數則是每一次平均的脈沖幅度數量，本文以參數n表示。在下文對MPLA算法原理的描述中，我們取平均窗口r等于2，每一次參與平均的脈沖幅度數量為2。

在MPLA算法的執行流程包含以下幾個步驟，如圖1所示。首先讀取第一個脈沖幅度時定位一個平均窗口，當r為2時窗口內包含的道址數為5，脈沖幅度讀取成功后更新當前平均窗口的幅度和脈沖個數，每次更新后即對平均窗口內的脈沖個數進行判斷，當其小于預設的參數n時，則繼續讀取下一個脈沖幅度，當平均窗口內的脈沖幅度數量等于參數N時則對相應平均窗口內的脈沖幅度進行平均，得出的平均數即為需要更新計數的道址，然后再對取平均值的窗口內脈沖幅度和脈沖個數進行清零。

為了詳細闡述MPLA算法的實現過程，下文將以圖文結合的方式呈現一個MPLA實現示例。在當前示例中，MPLA算法的平均窗口r設置為2，每一次參與平均的脈沖幅度數量設置為2。在圖2所示的MPLA算法步驟一中，讀取到的第一個脈沖幅度值為660，平均窗口的中心則為660，而窗口大小為2則代表窗口的范圍被限定在658～622之間。

此時活動平均窗口僅有一個，并且該窗口內可用于平均的脈沖個數小于2，開始執行MPLA算法示例的步驟二，如圖3所示，本次讀取的脈沖幅度為650，平均窗口中心移到650，平均窗口范圍為648～652，該范圍與前一個脈沖所處的范圍并無重疊，這就產生了一個新的平均窗口，對該窗口內的脈沖幅度和以及脈沖個數進行更新后再次判斷是否有達到平均條件的窗口，若沒有繼續執行步驟三。

圖1 MPLA算法實現流程Fig.1 MPLA algorithm implementation flow

圖2 MPLA算法實現示例步驟一Fig.2 Step 1 of MPLA algorithm implementation example

在執行完步驟一和步驟二后可以發現，在執行多脈沖平均的過程中，可能會存在多個活動的平均窗口，如果下一個讀取的脈沖高度正好在包含平均和的兩個通道之間，則會隨機將脈沖高度添加到兩個通道之一； 如果下一個讀取的脈沖幅度所產生的平均窗口覆蓋了該區域內已經存在的某個脈沖幅度和，那么則用新的脈沖幅度與原有脈沖幅度相加，并將該平均窗口內的脈沖個數加一。

如圖4所示，在讀幅度為659的脈沖之前，所示脈沖幅度和的區域內已經有650和660兩個脈沖幅度和，每一個脈沖幅度和對應的脈沖數量都為一，還未達到窗口內取平均的條件。下一個讀取的脈沖幅度659產生的平均窗口范圍為657～661，剛好包含了原本存在660，因此更新后的脈沖幅度和就為1 319，并且該窗口內脈沖個數為2，達到了取平均的條件。通過脈沖幅度和除以脈沖個數計算出平均脈沖幅度為660，已經被平均的脈沖幅度和以及脈沖個數清零，其余窗口內的計數保持不變，同時將取平均值得到的脈沖幅度所對應的道址上的計數加一，如圖5所示。

圖3 MPLA算法實現示例步驟二Fig.3 Step 2 of MPLA algorithm implementation example

圖4 MPLA算法實現示例步驟三Fig.4 Step 3 of MPLA algorithm implementation example

圖5 MPLA算法實現示例步驟四Fig.5 Step 4 of MPLA algorithm implementation example

2 理論推導與分析

理論上來說，傳統的多道譜(MCA)體現的是能量上的概率密度(pdf)，每一個脈沖幅度都對最終得到的譜圖的計數率有所貢獻，而MPLA將這種概率密度作為輸入，并通過在指定范圍內的平均將其轉換為相同能量上新的概率密度。

設r為窗口平均參數，n為平均參數的脈沖高度數。X0是一個通過多脈沖幅度和本地取平均值得到脈沖幅度，且X0的范圍為[X0-r,X0+r]。令概率密度函數為f(x)，累積分布函數為F(x)。若X1是一個隨機變量描述的落在數理統計范圍內的第二脈沖幅度，則X1與X0有相同的概率密度函數，但區間為[X1-r,X1+r]。道址上的計數將在采集到2個數理統計范圍內的脈沖幅度時進行遞增，相應的隨機變量P0=(X0+X1)/2。輸入概率密度函數f(x)將完全指定X0和X1的分布，以及MPLA轉換產生的P0的概率密度函數。

因為f(x)是關于μ對稱的，所以對于任意值b可以得出f(μ-b)=f(μ+b)。同理，如果f(x)是關于μ對稱的，那么fp(y)也關于μ對稱。如果f(x)是對稱的，并且不斷的趨于平均值μ，那么P0的方差小于X0。推導過程如下：

在不損失一般性的前提下，我們假設為μ=0。該理論簡化后為式(1)所示。

(1)

表達式(1)的左側可進一步展開為式(2)所示。

(2)

(3)

由于f(x)是對稱的，并且一直朝著均值遞增(此處我們假定了均值為0)，我們可以得出假如x0=μ=0那么E[X1|X0=x0]=x0，同樣的，假如x0≠μ那么|E[X1|X0=x0]|<|x0|，在此基礎上，式(3)可進一步推導出式(4)。

(4)

上述推論表明，不管MPLA的參數值如何，MPLA轉換都不會改變分布，并保持對稱性。如果原始分布是單個高斯峰，則所得分布將具有相同的平均值，維持峰值位置，并且也將是對稱的。理想的MPLA轉換降低了原始分布的半高寬，銳化了峰形。對于單個高斯峰，半高寬與分布的方差有關。

3 實驗部分

MPLA算法是一種在線實時進行的脈沖處理方法，其實施平臺在硬件上包括前端的探測器、后端的PC處理軟件以及核心部分的數字信號處理器。如前文所述，MPLA算法本身并沒有使用范圍的限制，它是將傳統的概率密度作為輸入，并通過在指定范圍內的平均將其轉換為相同能量上新的概率密度，其本質上就是一種概率密度的轉換，并沒有對探測器有任何的限定。本文所采用的探測器是AMPTEK生產的高性能FAST-SDD探測器。數字信號處理器包括信號轉換、多級放大、模數轉換等前端處理單元、脈沖幅度分析單元、MPLA單元以及脈沖成譜單元，其結構框圖如圖6所示。

圖6 數字信號處理器結構圖Fig.6 Structure chart of the digital signal processor

數字信號處理器的前端處理部分不是本文講述的重點，因此下文中將重點介紹MPLA單元的硬件實現過程。MPLA單元在FPGA中實現，采用的芯片是Xilinx公司Spartan-3家族的XC3S400-4TQG144C。如圖6所示，MPLA單元是整個數字信號處理器的核心部分，其算法的實現主要包含了算法控制、平均窗口定位、窗口內平均以及相應道址上的計數更新四個部分。具體的實現流程在前文中已經有詳細的描述，此處不再贅述。在MPLA單元處理完成后，更新的計數則通過SPI總線傳遞給MCU，MCU與上位機之間通過CAN總線進行通信。此外，MCU的另一SPI總線連接到前端處理電路中，用于控制前端電路中的放大參數和偏移量的調整。

4 結果與討論

由圖7可以看出經過MPLA算法處理后的譜線半高寬明顯降低，也就是說能量分辨率有了明顯的提高，但與此同時，多脈沖窄窗口求平均的成譜方法也造成了計數率的降低。

由于放射性衰變是隨機的，所以計數率總是在圍繞一個平均值不停地擺動，即放射源在每單位時間內發生衰變的原子數目是不同的，時多時少，有起有伏，但是它比較集中地在某一范圍內波動，而這種現象就是放射性衰變的統計漲落。由概率統計理論可知，當統計平均值較大時，核衰變是服從正態分布的，這也是核衰變的重要統計特點。在實驗環節中，以鐵礦樣品為測量對象，采用MPLA算法并進行快速多脈沖成譜處理后的結果如圖7所示。

圖7 采用MPLA算法前后得到的譜圖Fig.7 Spectrum obtained before and after MPLA

圖中黑色譜線是通過傳統成譜方法得到的，紅色譜線是采用MPLA算法處理后得到的，相比之下，經MPLA算法處理后的譜線有效地降低了特征峰的半高寬。這就驗證了前文理論推導部分得出的結論，理想的MPLA轉換降低了原始分布的半高寬，銳化了峰形。

5 結 論

給出了多脈沖局部平均變換的理論描述及實現原理，證明了MPLA算法的一些基本特性，對具有單個峰的對稱分布，MPLA變換總是保持均值不變并減小FWHM。理論推導和實驗結果表明，MPLA算法具有降低譜峰的FWHM的優點。但與此同時，MPLA的一個缺點是與傳統成譜方法相比，多脈沖平均的過程中使得計數減少。MPLA譜中計數減少的總數受MPLA算法中平均窗口內脈沖幅度的個數控制。有很多脈沖處理技術可以彌補這種計數損失，例如，可以收集大量的脈沖高度測量，然后重復、隨機地進行采樣以應用MPLA變換。筆者將在接下來的工作中對這些脈沖處理技術進行更深入的研究，以期為MPLA算法找到一種非常契合的脈沖處理技術來補償計數率損失。即便存在計數損失的缺陷，但不可否認，MPLA算法為降低探測器噪聲提供了一種實時、高效、通用的處理方法，并且具有可證明的理論保證，這對提高探測器的能量分辨率具有極大的應用意義。