基于簡正波模態(tài)的淺海聲傳播的最佳深度規(guī)律研究

竇雨芮，周其斗，譚 路

(海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

在水下探測和通信中，聲波有著不可替代的優(yōu)勢[1]，而聲吶通過對聲信號進(jìn)行轉(zhuǎn)換和處理實(shí)現(xiàn)對水下目標(biāo)的偵察和定位，聲吶能否有效發(fā)揮其作用不僅與聲吶自身性能有著密不可分的關(guān)系[2]，與聲吶所處的海洋環(huán)境同樣息息相關(guān)。聲吶所在區(qū)域的海洋環(huán)境作為聲信號的載體對聲波在其中傳播有較大的影響。Jensen[3]關(guān)于海洋環(huán)境對聲信號的影響多集中在水平方向上聲能量的衰減，對深度方向上聲能量分布有較少研究。由于海洋聲信道上下分別受到海面和海底的制約，其邊界條件的不相同，導(dǎo)致聲能量在深度方向上的分布并不均勻，當(dāng)傳播距離一定時(shí)，不同接收點(diǎn)深度的聲傳播損失差異可達(dá)20 dB，因此研究不同條件下深度方向上的聲傳播損失最小值的位置即最佳深度對聲吶探測和水聲通信有一定幫助。

國內(nèi)外學(xué)者對最佳深度做了一定研究：Weston[4-5]對聲場的平均聲強(qiáng)進(jìn)行了研究，通過計(jì)算等聲速梯度條件下深度方向上的距離平均聲強(qiáng)，得出聲強(qiáng)在聲源深度和聲源對稱深度存在峰值，且峰值比平均聲強(qiáng)大50%；Gershfeld[6]通過對聲傳播損失和信噪比的計(jì)算得出淺海聲傳播的最佳深度與聲源點(diǎn)深度相同的結(jié)論，并研究了聲源位置、海底類型、聲速梯度和聲源頻率對最佳深度的影響；Ferla[7]基于前人結(jié)論對聲源深度未知時(shí)的最佳深度位置進(jìn)行了研究；王曉宇等[8]分別對理想Pekeris波導(dǎo)和實(shí)際淺海分層波導(dǎo)情況下的水平線列陣最佳布放深度進(jìn)行研究，得出最佳布放深度應(yīng)與聲源深度相同。

現(xiàn)有的研究[9-10]只針對最佳深度的現(xiàn)象進(jìn)行了歸納和總結(jié)，并沒有探索影響最佳深度的根本原因，且得出的結(jié)論存在一定的局限性。本文對影響最佳深度的因素進(jìn)行了研究，通過對理想液體波導(dǎo)中簡正波階數(shù)對最佳深度影響的研究，得出簡正波模態(tài)疊加是產(chǎn)生最佳深度的根本原因，并較為全面地總結(jié)了不同環(huán)境下最佳深度的規(guī)律。

1 理論公式

淺海聲傳播問題可以近似采用單位強(qiáng)度的諧和點(diǎn)聲源在水平均勻的分層波導(dǎo)中的響應(yīng)來模擬，任意一點(diǎn)的聲壓p滿足如下波動(dòng)方程[11]：

式中：p(r,z,t)為與水平距離r、深度z和時(shí)間t相關(guān)的聲壓；c(z),ρ(z)分別為與深度相關(guān)的聲速和密度，s(t)代表點(diǎn)聲源強(qiáng)度。

在柱坐標(biāo)系下上述方程轉(zhuǎn)化為：

計(jì)算區(qū)域的邊界條件、海水深度和c(z)均和r沒有關(guān)系，因此可以進(jìn)行如下設(shè)置：p(r,z)=Φ(R)Ψ(Z)，并將此表達(dá)式代入上述方程整理后得：

上述方程加號左右兩側(cè)分別是只關(guān)于r和z的函數(shù)，因此使等式滿足的唯一辦法就是方括號內(nèi)的值同時(shí)為常數(shù)，選取這一常數(shù)值為進(jìn)行分離：

由于海面即z=0被設(shè)置為壓力釋放邊界，海底z=D在足夠深處被設(shè)置為絕對硬邊界，則函數(shù)Ψ 同時(shí)滿足：

Ψm(z)表示當(dāng)常數(shù)值為krm時(shí)的函數(shù)。

利用Ψm(z)的正交性，在對Ψm(z)進(jìn)行歸一化后聲壓的任意解可以表示為解空間里模式函數(shù)之和，即聲壓可以用以下形式表示：

將上述表達(dá)式代入聲壓波動(dòng)方程中并進(jìn)行簡化得到：

運(yùn)用模式函數(shù)的正交性質(zhì)得到：

上述方程為標(biāo)準(zhǔn)貝塞爾方程，其解采用漢克爾函數(shù)形式：

由于聲壓解滿足無窮遠(yuǎn)輻射條件，所以解選用第一類漢克爾函數(shù)，省去時(shí)間項(xiàng) e xp(-iwt)，并用漢克爾函數(shù)展開式代入得到：

在海洋聲場計(jì)算中，聲壓并不總是有意義的，當(dāng)聲壓為復(fù)數(shù)時(shí)，其表示壓力幅值和相位，為更清楚地描述聲場，采用聲傳播損失描述：

其中：p0為在無窮大的自由空間中單位強(qiáng)度的點(diǎn)聲源產(chǎn)生的聲壓，。

將其代入聲傳播損失表達(dá)式中：

上式的傳播損失是基于不同模態(tài)簡正波之間相位疊加的結(jié)果，如果忽略簡正波之間的相位差異，只考慮簡正波攜帶的能量多少，通過這種方式疊加則產(chǎn)生非相干損失。Jensen通過對比不同模態(tài)的非相干疊加與1/3倍頻層平均后的聲傳播損失測量結(jié)果，發(fā)現(xiàn)非相干疊加的聲傳播損失計(jì)算結(jié)果和1/3倍頻層平均的測量結(jié)果一致。驗(yàn)證說明了非相干疊加的計(jì)算結(jié)果在描述傳播規(guī)律時(shí)可以代替相干疊加。下面給出非相干疊加的計(jì)算公式：

2 最佳深度的影響因素研究

2.1 模型參數(shù)

選取如圖1所示的海洋環(huán)境進(jìn)行計(jì)算，單位強(qiáng)度的諧和點(diǎn)源位于海水層z0處，海水和海底層密度和聲速均保持不變，海底為半無限液體海底，聲信號在傳播過程中分別受到海面和海底邊界條件的影響，海底參數(shù)的選取會(huì)對聲傳播有一定影響，本文采用Hamilton[12-13]總結(jié)的大陸架附近的海底參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，部分參數(shù)選取如表1所示。

圖1 Pekeris波導(dǎo)示意圖Fig.1 A Pekeris waveguide with fluid bottom

表1 不同類型的海底參數(shù)Tab.1 Parameters for different basement types

聲信號在實(shí)際海水中傳播時(shí)會(huì)產(chǎn)生能量損失，這種能量損失不僅包括擴(kuò)展損失，還包括海底衰減損失和海水衰減損失。試驗(yàn)證明，聲能量在海底衰減的多少與頻率相關(guān)，且頻率越高，能量衰減越大，不同類型海底與頻率相關(guān)的衰減系數(shù)見表1。海水中的衰減系數(shù)與頻率同樣存在一定關(guān)系，本文采用Thorp[14]總結(jié)的海水衰減系數(shù)與頻率的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。

2.2 模型計(jì)算

淺海聲場比深海聲場有著更為復(fù)雜的傳播狀況，聲波在其中傳播受到多種因素的影響，本文主要考慮聲源頻率、聲源深度、海水深度和海底參數(shù)對最佳深度的影響。

2.1.1 聲源參數(shù)對最佳深度的影響

不同頻率的點(diǎn)聲源在海水中激發(fā)的聲場不同，同一頻率的聲源在不同位置也會(huì)激發(fā)不同的聲場。為研究聲源參數(shù)對最佳深度的影響，本文選取點(diǎn)聲源頻率Freq 分別為 100 Hz和 800 Hz，海水深度為 100 m，海底參數(shù)為泥，分別計(jì)算放置于10，30和50 m處的點(diǎn)聲源激發(fā)聲場的非相干聲傳播損失場，結(jié)果如圖2所示。

從上述現(xiàn)象可以得出：聲源頻率和聲源深度對最佳深度有很大影響，在低頻時(shí)，無論聲源深度為多少，在近場和遠(yuǎn)場時(shí)最佳深度始終在海水層中部，在高頻時(shí)，最佳深度位于聲源深度和聲源的對稱深度，且頻率越大，距離聲源點(diǎn)水平距離越近，該最佳深度現(xiàn)象就越明顯。

2.2.2 海水參數(shù)對最佳深度的影響

海水參數(shù)中聲速剖面的存在對聲場有很大影響，張旭芝[15]已經(jīng)對此做了一定研究，本文主要研究等聲速情況下的最佳深度。為研究海水深度對最佳深度的影響，選取海水深度為100，150和200 m，聲源頻率為100 Hz，聲源點(diǎn)深度分別設(shè)置為10，15和20 m，其余參數(shù)保持不變，得到聲傳播損失隨距離和深度變化如圖3所示。

從圖3可以看出：海水深度不同導(dǎo)致靠近海面處放置的點(diǎn)聲源激發(fā)的聲場也不同，水深100 m，聲源深度10 m條件下，聲傳播損失隨距離和深度變化的偽彩圖在近場和遠(yuǎn)場均呈現(xiàn)為弧形，該現(xiàn)象說明海水層中間處為最佳深度；水深為150 m，聲源深度15 m條件下，近場的聲傳播損失出現(xiàn)弓形現(xiàn)象，說明在近場處最佳深度位于聲源深度和聲源的對稱深度時(shí)，隨著傳播距離的增大，最佳深度向中間移動(dòng)，傳播至遠(yuǎn)場變?yōu)榛⌒危罴焉疃任挥诤Ｋ虚g處；水深200 m，聲源深度20 m時(shí)，在近場和遠(yuǎn)場均出現(xiàn)弓形現(xiàn)象，隨著傳播距離的增大，弓形曲線的峰值向海水中部移動(dòng)。

圖2 聲源深度分別為 10、30 和 50 m 的聲傳播損失場Fig.2 Transmission loss field for fixed sources at 10,30,and 50 m depth

從上述現(xiàn)象可以得出海水深度對最佳深度有很大影響，海水深度越大，近場處的最佳深度位于聲源深度和聲源的對稱深度的現(xiàn)象就越明顯，當(dāng)聲傳播較遠(yuǎn)距離后，最佳深度由聲源深度和其對稱深度向海水中部移動(dòng)。

2.2.3 海底參數(shù)對最佳深度的影響

淺海邊界條件對聲傳播的影響較深海更為顯著，不同海底參數(shù)下的聲傳播也不同，本文選取表1中泥、極細(xì)砂和細(xì)砂三類海底進(jìn)行計(jì)算，研究海底參數(shù)對最佳深度的影響。聲源頻率為100 Hz，聲源深度為10 m，其余參數(shù)均與圖1一致。得到聲傳播損失偽彩圖如圖4所示。

由圖4可知：隨著海底參數(shù)的變化，最佳深度的現(xiàn)象變化相對較小，海底類型為細(xì)砂時(shí)才出現(xiàn)相對明顯的最佳深度位于聲源深度和聲源的對稱深度的現(xiàn)象。可以得出海底參數(shù)對最佳深度影響相對較小。

本節(jié)研究聲源參數(shù)、海水參數(shù)和海底參數(shù)對最佳深度的影響，從上述結(jié)論初步得出聲源頻率、聲源深度和海水深度對最佳深度的影響最大，與Gershfeld和Ferla得出結(jié)論不同的是，最佳深度并不總是出現(xiàn)在聲源深度和聲源的對稱深度，在頻率較低、海水深度較小情況下，最佳深度出現(xiàn)在海水層中間處。

圖3 海水深度分別為 100，150 和 200 m 時(shí)的聲傳播損失場Fig.3 Transmission loss field for water depth of 100,150, and 200 m

3 簡正波模態(tài)主導(dǎo)的最佳深度研究

由波動(dòng)理論可知，海水深度和聲源頻率是影響海水中簡正波階數(shù)的直接因素，因此為探究影響最佳深度的根本原因，本文研究了由海水深度和聲源頻率主導(dǎo)的簡正波模態(tài)階數(shù)對最佳深度的影響，通過對理想液體波導(dǎo)（見圖5）中簡正波階數(shù)對最佳深度影響的研究來驗(yàn)證簡正波疊加是產(chǎn)生最佳深度的根本原因，并總結(jié)最佳深度的相關(guān)規(guī)律。

3.1 理想液體波導(dǎo)中的最佳深度研究

理想液體波導(dǎo)是簡化了的實(shí)際海洋環(huán)境，在波導(dǎo)中海面和海底均設(shè)置為全反射邊界，聲波在界面處只有反射沒有透射，只存在水平擴(kuò)展損失。這種邊界條件的設(shè)置對遠(yuǎn)距離傳播的情況是合理的，這是因?yàn)閷h(yuǎn)場起主要貢獻(xiàn)的是掠射角較小的聲波，而小掠射角在實(shí)際海底處的反射類似全反射邊界處的反射。

圖4 海底類型分別為泥、極細(xì)砂和細(xì)砂時(shí)的聲傳播損失場Fig.4 Transmission loss field for basement type as silt, very fine sand and fine sand

圖5 理想液體波導(dǎo)示意圖Fig.5 Idealized ocean waveguide model

3.1.1 理想液體波導(dǎo)中的簡正波

理想液體波導(dǎo)中的聲場是由各階簡正波疊加得到的，每一階簡正波的幅值與海水深度密切相關(guān)，為得到各階簡正波與深度相關(guān)的位移幅值，下面對理想液體波導(dǎo)中的位移勢函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，其計(jì)算模型和參數(shù)如圖6所示。

圖6 理想波導(dǎo)中的前5階模態(tài)隨深度變化圖Fig.6 Depth dependence of the first 5 normal modes in ideal waveguide

由波動(dòng)理論可知：聲場的位移勢函數(shù) ψ 同樣滿足波動(dòng)方程，在圖6所示的柱坐標(biāo)系下的理想液體波導(dǎo)中，其滿足以下的波動(dòng)方程：

其中Sw為點(diǎn)聲源強(qiáng)度，運(yùn)用積分變化法得出總聲場的積分表達(dá)式為：

則kr可以表示為。

理想波導(dǎo)的位移勢函數(shù)的無限積分形式可以轉(zhuǎn)換為無限個(gè)留數(shù)之和：

kzm代表某階簡正波的垂直波數(shù)。只有當(dāng)krm為實(shí)數(shù)時(shí)，簡正波才會(huì)對聲場真正做出貢獻(xiàn)，因此簡正波階數(shù)m必須滿足因此式（18）又可以表示為：

M滿足從式（19）中可以看出當(dāng)點(diǎn)聲源位置確定時(shí)，式中 s in(kzmz0)為定值，在深度方向上，位移勢函數(shù)只與z有關(guān)，且與z成正弦函數(shù)關(guān)系，由于kzm同樣滿足式（17），下圖給出水深100 m，聲源深度10 m，頻率100 Hz情況下的前5階簡正波模態(tài)與深度相關(guān)的位移幅值：

3.1.2 理想液體波導(dǎo)中簡正波階數(shù)對最佳深度的影響

為研究理想液體波導(dǎo)中簡正波階數(shù)對最佳深度的影響，本文計(jì)算了在圖6條件下頻率為100 Hz，海水中的簡正波階數(shù)分別為1，2，5，10時(shí)的聲傳播損失偽彩圖和不同階簡正波模態(tài)圖，結(jié)果如圖7所示。

可以看出：當(dāng)波導(dǎo)中只有1階簡正波時(shí)，聲場的最佳深度和簡正波最大幅值均出現(xiàn)在50 m處；當(dāng)波導(dǎo)中存在2階簡正波時(shí)，聲場的最佳深度和前2階簡正波疊加后幅值最大處吻合；隨著簡正波階數(shù)的增多，最佳深度從50 m處分別向海面和海底移動(dòng)，波導(dǎo)中對稱地出現(xiàn)最佳深度，當(dāng)海水中簡正波階數(shù)足夠多時(shí)，最佳深度穩(wěn)定在聲源深度和其對稱深度處。

下面解釋了在理想波導(dǎo)中為什么在聲源的對稱深度同樣會(huì)出現(xiàn)最佳深度的現(xiàn)象：

任意接收點(diǎn)深度和其對稱深度滿足深度之和為海水深度D，設(shè)接收點(diǎn)深度為zr，其對稱深度為D-zr，接收點(diǎn)深度為zr時(shí)的位移勢函數(shù)：

其對稱接收點(diǎn)深度的位移勢函數(shù)為：

由上述推導(dǎo)可知在理想液體波導(dǎo)條件下聲傳播損失的大小在深度方向上關(guān)于對稱，因此最佳深度也總是對稱存在的。

Buckingham[16]經(jīng)理論推導(dǎo)解釋了在海水中簡正波足夠多時(shí)，最佳深度位于聲源深度和其對稱深度的原因，本文從簡正波疊加的角度來解釋上述現(xiàn)象：在聲源產(chǎn)生的所有簡正波中，各階簡正波的量級并不相同，其量級大小與該階簡正波在聲源深度處的幅度成正比，如圖7中的第5階簡正波在與聲源深度和聲源的對稱深度相同時(shí)具有最大幅值，所以第5階簡正波的量級最大，疊加后的聲場在聲源深度和聲源的對稱

深度能量最高，所以其為最佳深度。

圖7 理想波導(dǎo)中簡正波階數(shù)為1，2，5，10時(shí)的聲傳播損失場和簡正波模態(tài)圖Fig.7 Transmission loss field and normal modes with the number of 1,2,5,and 10 in ideal waveguide

總結(jié)本節(jié)結(jié)果得出以下結(jié)論：在聲源位置一定情況下，簡正波階數(shù)時(shí)影響最佳深度的唯一因素，當(dāng)海水中只有1階簡正波時(shí)，最佳深度和簡正波幅值最大處吻合，都位于海水層中間處，隨著簡正波個(gè)數(shù)的不斷增多，最佳深度也不斷地向海面和海底移動(dòng)，當(dāng)簡正波個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，最佳深度均位于聲源深度和聲源的對稱深度。

4 結(jié) 語

本文運(yùn)用簡正波方法對淺海聲傳播的最佳深度進(jìn)行研究，通過研究最佳頻率的影響因素和不同環(huán)境下簡正波階數(shù)對最佳深度的影響，得出以下結(jié)論：

1）聲源深度、聲源頻率和海水深度對最佳深度的影響最大，聲源頻率和海水深度通過影響海水中簡正波階數(shù)來影響最佳深度，聲源深度通過影響簡正波的量級來影響最佳深度。

2）在聲源位置一定時(shí)，最佳深度只與簡正波階數(shù)有關(guān)，當(dāng)海水只有1階簡正波時(shí)，最佳深度與第1階簡正波幅值最大處位于相同位置，隨著簡正波階數(shù)增大，最佳深度從中間處分別向海面和海底移動(dòng)，當(dāng)簡正波個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，最佳深度穩(wěn)定在聲源深度和聲源的對稱深度。