密度依賴的不可壓縮液晶模型的爆破準(zhǔn)則

張明雪，王昌花

(1.山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 淄博255049；2.張店區(qū)第九中學(xué),山東 淄博255040)

1 模型和主要結(jié)果

(1)

式中：ρ∈是流體的密度函數(shù);u∈N是速度場;d∈SN-1(N中的單位球面)是代表宏觀分子取向的單位矢量場;標(biāo)量函數(shù)∏∈是壓力;正常數(shù)μ,α,β分別代表粘度，動能與勢能之間的競爭，微觀彈性弛豫時間或分子取向場的Deborah數(shù)，因?yàn)棣?β的確切值在分析中不起作用，所以可以取α=β=1；符號?表示Kronecker張量積，因此u?u=(uiuj)1≤i,j≤N;d⊙d表示第i、j個元素為?xid·?xjd(1≤i,j≤N)的矩陣。實(shí)際上，d⊙d=(d)Td,其中(d)T表示N×N階矩陣d的轉(zhuǎn)置。

對于所有l(wèi)>0，注意到系統(tǒng)(1)在以下變換中保持scaling不變:

(2)

(3)

Xu等[5]在密度場具有小性條件下證明了系統(tǒng) (1) 的局部適定性和小初值意義下的整體適定性。

命題1 設(shè)10，系統(tǒng)(3)存在唯一解(a,u,d)滿足：

此外，如果存在一個正常數(shù)η1使得

則可以取T=+。另外，如果1

徐夫義等[6]對多維可壓縮液晶流體進(jìn)行了類似研究。需要指出的是，該模型大初值意義下的整體適定性仍是一個公開問題。本文探索的是方程中影響局部解延拓到整體解的因素，即該模型的爆破準(zhǔn)則問題。

滿足

(4)

則(a,u,d)在t=T*之后可以延拓。

2 預(yù)備知識

2.1 Littlewood-Paley 分解

容易得到

成立，則稱作f的Littlewood-Paley 分解。

2.2 齊次Besov空間

定義1[7]令s∈，1≤p,r≤+，定義齊次Besov空間為

其中

在Besov空間中，有以下常用的乘積估計(jì)。

命題2 對于所有的1≤r,p,p1,p2≤+,存在一個正常數(shù)使得

2.3 伯恩斯坦不等式

命題3 令1≤p1≤p2≤+，假設(shè)f∈Lp1(N)，則對于任意γ∈(∪{0})N，存在不依賴于f,q的常數(shù)C1,C2，使得

命題4 令1≤p,p1≤,1≤r≤和σ∈，則存在一個只依賴于σ的常數(shù)C>0，使得對任意的q∈，有

其中交換子[·,·]定義為[f,g]=fg-gf，并且(cj)j∈表示一個序列滿足

3 定理1證明

根據(jù)臨界Besov空間中MHD系統(tǒng)的正則性準(zhǔn)則的證明過程[8]，證明定理1，為此，本文只需要證明存在常數(shù)C>0，使得下面的式子成立

(5)

(6)

(7)

對于式(7)左邊的第二項(xiàng)，由Bernstein 不等式可以得到

(8)

所以，式(7)變?yōu)?/p>

(9)

由交換子估計(jì)：

(10)

有

所以，

由Gronwall不等式，可得

(11)

此外，還可得到

(12)

由式(11)、(12)有

(13)

?tu+u·u-μΔu=F，

(14)

式中F?μaΔu-(1+a)div(d⊙d)-(1+a)∏。

(15)

(16)

類似于式(8)，有

即

由交換子估計(jì)式(10)，有

所以，

(17)

下面估計(jì)F。由乘積估計(jì)，有

(18)

對于F第二項(xiàng)(1+a)div(d⊙d)，由乘積估計(jì)，插值不等式及式(13)有

(19)

估計(jì)F第三項(xiàng)(1+a)∏。首先將散度算子div作用于式(3)中的第二個方程，得到

-Δ∏=div(a∏)-divG，

其中G=μaΔ∏-u·u-(1+a)div(d⊙d)。由乘積估計(jì)及Bernstein不等式，有

(20)

結(jié)合式(18)、(19)和(20)可得

(21)

由Gronwall 不等式有

定理1得到證明。