基于Multisim的抽樣定理驗證電路設計

袁宗文 唐靜

摘要：抽樣定理是信息傳輸技術的重要定理，通常驗證該定理的硬件電路固化，缺少分析和設計過程，不利于理解定理的本質內容。基于Multisim仿真平臺進行抽樣定理的驗證電路設計，首先基于信息傳輸理論進行系統設計，其次對設計出的系統進行仿真，最后對仿真結果進行分析，并結合仿真結果修改系統參數后再次仿真。結果表明這種做法不僅有利于全面理解抽樣定理所涉及的相關理論，而且還鍛煉了系統分析和設計的能力。

關鍵詞：抽樣定理;頻譜;電路設計;仿真

中圖分類號：TP391.9? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）36-0175-04

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Circuit Design for Verification of Sampling Theorem Based on Multisim

YUAN Zong-wen， TANG Jing

（School of Electronic Engineering， Chaohu University， Hefei 238024， China）

Abstract： Sampling theorem is an important law of information transmission technology. Usually， the hardware circuit to verify the theorem is solidified. The lack of analysis and design process is not conducive to understanding the essence of the theorem. Based on the Multisim simulation platform to design the verification circuit of the sampling theorem， firstly design the system based on the information transmission theory， secondly simulate the designed system， finally analyze the simulation results， and modify the system parameters based on the simulation results and then simulate again. The results show that this approach is not only conducive to a comprehensive understanding of the relevant theories involved in the sampling theorem， but also exercises the ability of system analysis and design.

Key words： sampling theorem; spectrum; circuit design; simulation

1 引言

信號與系統課程是大學電氣信息類重要的專業基礎課，該課程數學要求較高，理論復雜抽象，為掌握好課程理論知識，必須輔以必要數量的實驗項目。信號與系統實驗通常通過實驗箱完成，然而實驗箱的固定化電路結構限制了學生動手能力和創新思維的培養，而且實驗箱電路因為各種原因容易損壞，維修也不方便，因此軟件仿真是極好的補充。Multisim軟件具有強大的電路仿真能力，且易學易用，為當今高校電路教學和學習普遍使用的仿真平臺[1-2]。

抽樣定理是信號與系統課程重要的定理，其推導和結論都比較抽象難懂，本文在Multisim平臺通過選擇合適的元器件搭建出抽樣定理的驗證電路[3]，為便于對比分析，搭建的電路盡量與實驗箱實際電路一致，仿真過程表明，該虛擬電路完全可替代實際電路，讓學生掌握抽樣定理的本質。

2 抽樣定理理論分析

2.1 信號的頻譜

傅里葉分析是分析信號的基本工具，它從另一個視角——頻域來觀察和理解信號，獲得信號更為本質的一些特征[4]。傅里葉分析包括傅里葉級數和傅里葉變換，周期信號[f（t）]的傅里葉級數如式（1）。

[f（t）=A0+n=1∞Ancos（nω0t+?n）]? ? ? ? ? ? ? ? （1）

其中[A0]為直流分量，[An]為第n次諧波的振幅，也稱之為振幅譜，[ω0]為基波的角頻率，[T0=2π/ω0]為基波周期，[nω0]為第n次諧波的角頻率，[?n]為第n次諧波的初相位，也稱之為相位譜。設[Cn=1T00T0f（t）e-jnω0tdt]，則式（1）中的[An=2Cn]，[?n=?Cn]，根據這些關系可以求出周期信號展開成傅里葉級數的具體形式。本實驗將對方波和三角進行抽樣，它們的波形及傅里葉級數展開如下：

方波的時域波形如圖1所示，其傅里葉級數展開如式（2）所示，其振幅譜如圖2所示。

[fsqua（t）=4Aπcosω0t-13cos3ω0t+15cos5ω0t-17cos7ω0t+…]? ?（2）

三角波的時域波形如圖3所示，其傅里葉級數展開如式（3）所示，其振幅譜如圖4所示。

[ftria（t）=8Aπ2cosω0t+19cos3ω0t+125cos5ω0t+149cos7ω0t+…]? ? ? （3）

2.2 時域抽樣定理

若帶限信號[f（t）]的最高頻率為[ωm]，當抽樣頻率[ωs≥2ωm]時，則信號[f（t）]可以用其樣本值唯一地表示。

信號的抽樣過程可用圖5簡單地描述，其中[δT（t）]為周期性沖激串，其周期[T=2π/ωs]， [fs（t）=f（t）·δT（t）]，稱之為抽樣信號。

如果讓抽樣信號[fs（t）]通過一截頻[ωc]滿足[ωm≤ωc<ωs-ωm]的理想低通濾波器[H（jω）]，如圖6所示，則濾波器的輸出就是原信號[f（t）]。

3 抽樣定理驗證電路設計

根據抽樣定理，信號的抽樣與恢復電路原理圖可以如圖7所示，其中乘法器用模擬開關代替，信號源分別是周期電壓信號和脈沖電壓信號，濾波器為有源低通濾波器[5-6]。

①信號源

周期信號分別選擇方波信號與三角波信號，頻率皆為1 KHz，振幅皆為1 V;脈沖信號的占空比為50%，幅度為5 V，其頻率即為抽樣頻率。

②乘法器

為實現本實驗的乘法功能，可以用模擬開關代替，這里選用開關速度高、寬電壓范圍、低噪聲、低成本的4路模擬開關MC74HC4066D。

③低通濾波器

為簡單、調節方便、易實現起見，選擇二階有源低通濾波器，其實現電路如圖8所示。

當[R1=R2=R]、[C1=2C2=C]時，則濾波器截止頻率[ωc=1.414RC]或[fc=0.225RC]。實際電路中為保證[R1=R2]，這里的[R1]、[R2]由雙聯調電位器取代。

3.1 方波的抽樣與恢復

根據上述要求，設計出的方波信號抽樣與恢復電路如 9所示，其中，V1為被抽樣的方波信號，V2為周期性脈沖信號，U1A的輸出為恢復信號，為降低抽樣電路對濾波電路的影響，在此之間插入跟隨器U1B，其他元器件參數如圖9所示。

理論上方波信號的最高頻率為無窮大，但根據頻譜圖可知其分量的振幅是隨頻率增加而逐漸衰減的，這里不妨令其最高頻率[fm=7f0]，即[fm=7KHz]。分別改變圖9電路中周期性脈沖信號頻率（即抽樣頻率）、濾波器截止頻率（通過改變雙聯調電位器[R1]、[R2]的阻值），得到如表1所示的結果。

在前述假定[fm=7KHz]情況下，若[fs=10KHz]，則顯然[fs<2fm]，不滿足抽樣定理，抽樣后頻譜發生混疊，方波的恢復情況如表1的第一次測量結果。

若[fs=16KHz]，則[fs>2fm]滿足抽樣定理，且[fc=8KHz]也滿足[fm≤fc

若[fs=16KHz]，[fc=12KHz]，雖然滿足[fs>2fm]但不滿足[fm≤fc

3.2 三角波的抽樣與恢復

三角波的抽樣與恢復電路完全同方波，只是將信號源的方波改成三角波即可。這里同樣設三角波的最高頻率[fm=7f0]，即[fm=7KHz]。然后做如表1一樣的三次測量，得到如表2的結果。

如同方波的抽樣與恢復，三角波的抽樣與恢復也存在混疊失真和鏡像失真。但因為三角波的分量隨頻率增加，其幅度衰減速度要大于方波，所以同樣設置[fm=7KHz]情況下，三角波混疊失真要小得多，比如表2的第二次測量，在同樣條件[fs>2fm]和[fm≤fc

4 結論

抽樣定理是信號與系統課程重要的內容，一般都會在該課程的實驗課里開設這個定理的驗證實驗，但多數是硬件實驗，即電路已經設計好，基本上連接導線就完成了實驗，從而導致對定理本身并沒有很好理解和掌握。該文從頻譜分析到電路設計，然后再通過Multisim軟件搭建虛擬電路、設計實驗條件，最后給出仿真結果并結合原理解釋實驗現象，通過較固定的硬件電路既靈活方便又安全可靠，既加深了對專業知識的理解又鍛煉了電路設計的能力，既可作為獨立的實驗項目又可作為硬件實驗的補充，類似的其他電路實驗也可以這樣完成。

參考文獻：

[1] 呂波，王敏.Multisim 14電路設計與仿真[M].北京：機械工業出版社，2016.

[2] 張輝，何春燕，王瑋.Multisim在模擬電路和數字電路課程中的應用[J].電子制作，2021（4）：17-19.

[3] 冷文，劉高華.Multisim在單管放大電路失真分析中的驗證和輔助作用[J].實驗科學與技術，2021，19（3）：106-111.

[4] 陳后金.信號與系統[M].3版.北京：高等教育出版社，2020.

[5] 康華光，華中科技大學電子技術課程組.電子技術基礎-模擬部分[M].5版.北京：高等教育出版社，2006.

[6] 童詩白，華成英.模擬電子技術基礎[M].5版.北京：高等教育出版社，2015.

【通聯編輯：梁書】