談絕對值符號的化簡

田芳芳

概要：絕對值的幾何意義：一個數(shù)a的絕對值是指數(shù)軸上表示這個數(shù)a的點到原點的距離。

一、案例介紹

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0的絕對值是0。化簡絕對值，就是要根據(jù)絕對值的性質(zhì)（即絕對值的代數(shù)意義）去掉絕對值的符號。含絕對值符號問題的化簡，是七年級代數(shù)中的重點和難點，解決這類問題一般要遵循“先判斷，后去絕對值”的原則，即先判斷絕對值符號里的代數(shù)式的正負性，然后再根據(jù)絕對值的代數(shù)定義去掉絕對值的符號，或者通過分類討論、數(shù)形結(jié)合、非負數(shù)的性質(zhì)去掉絕對值符號。

二、案例分析及解決策略

通過分類討論、數(shù)形結(jié)合、非負數(shù)的性質(zhì)去掉絕對值符號現(xiàn)就幾種常見類型及化簡策略舉例如下：

（一）非負性法

例1 若互為相反數(shù)，求a、b的值。

思路分析：因為互為相反數(shù)，所以它們的和為0，又因為絕對值具有非負性，所以同時為0.

解：∵互為相反數(shù)

∴

又∵

∴

∴a-2=0，b-3=0

∴a=2，b=3

（二）分類討論法

例2 已知a>0，b<0，求a+b的值

思路分析：由a>0，b>0，結(jié)合絕對值的代數(shù)定義可知，，即a=6，b=-4，a+b=2

解：∵

∴

又∵a>0，b>0

∴a=6，b=-4，

∴a+b=2

例3 若，且a+b>0，求a-b的值。

思路分析：這個題與例2不同的是，例2直接給出了a、b的正負性，而這個題告訴的條件是a+b>0，所以要分析a+b>0這個條件，故要結(jié)合分析a+b是兩個正數(shù)相加，還是絕對值不相等，且正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值的異號兩數(shù)相加的問題。

解：∵

∴

∵a+b>0，

∴a=4，b=7或a=-4，b=+7

當(dāng)a=4，b=7時，

a-b=4-7=-3

當(dāng)a=-4，b=+7時，

b=-4-7=-11

綜上，a-b=-3或-11

（三）數(shù)形結(jié)合法

已知有理數(shù)a、b、c再數(shù)軸上的位置如圖所示，解答下列問題：

（1）用“<”把a、b、c、0”連接為 ? ? ? ? ? ? ? ?。

（2）判斷下列各式的符號：（填“<”，”>”）

a-b ? ? ? 0， a+c ? ? 0，b+c ? ? ?0.

（3）化簡：

三、成效總結(jié)

綜上所述，含有絕對值符號的化簡題目，如果已經(jīng)確定某些未知數(shù)的取值，就按照絕對值的代數(shù)意義就可以去掉絕對值符號，進而化簡，如果沒有告訴這些未知數(shù)的取值，就根據(jù)題目的條件進行分類討論或者用數(shù)形結(jié)合的方式進行化簡即可。

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