基于命題關系的“線性相關性”教學設計

范愛琴，李 榮

(運城師范高等專科學校 數計系，山西 運城 044000)

高等階段數學學習較之初等階段更加的抽象化、復雜化，如何這門復雜的學科更科學化，條理化的學習是當前數學教育者首當解決的問題。關于學習方法的研究，前人已做出了很多研究，本文主要研究的是如何把命題關系融入課堂教學。對于高職師范類學生來說，將命題關系融入教學設計，既是初等數學知識的彌補，又是高等數學教學過程與效果的大膽嘗試。

以“線性相關性”的教學為例，將命題關系融入線性相關性的教學設計中。

一、教學分析

在以學生為主體的教學模式下，數學教育應回歸“人性”，回歸“本真”。對于培養未來小學數學教師的高職師范類學校，在課程教學中，職業面向的理念滲透，觀察、分析、猜想、綜合思維及數學素養的培養都顯得尤為重要。本案例從實際出發，運用命題間的邏輯辯證關系學習新知識，是對學生邏輯推理和數學抽象素養的提升，是對教學內容所蘊含的哲學思想的提煉，從而達到知識與素質的融合，能力與思維的創新。

(一)學情分析

“高等代數”是高職師范類數學教育專業學生一門重要的專業必修課。但由于專科層次的學生數學基礎相對較差，如目前筆者所任教的兩個班級，共計學生106人，高考數學平均成績不足60分(滿分150分)，及格3人，由此可見學生初等數學“底子”非常薄弱，而且學生在學習數學時，沒有太大的興趣，學習習慣與方法存在的問題也比較多。

(二)教材分析

線性相關性在高等代數中占有重要地位，是用公理化方法研究向量空間的結構。它上承向量空間的定義，子空間及向量組的等價，下啟向量空間的基和維數，極大線性無關組和秩，坐標及線性變換。

(三)教學重點與難點

教學重點：掌握向量組線性相關無關定義，會判斷向量組的線性相關無關性。

教學難點：利用命題關系推出線性無關的定義，得出判斷線性相關與無關的依據，變抽象為具體。

教學關鍵：復習回顧四種命題關系及邏輯關聯詞，借助線性相關與無關的互否性，由相關得出無關。學習定義的終極目標是應用，為了應用的簡便明確，避開“任意”帶來的麻煩，遵循正難則反，轉化思想取其逆否命題，達到從無限到有限的思維慣例，歸納總結出相關與無關的判斷思路、步驟與方法。

(四)教學目標

1.知識目標：用命題關系掌握線性相關與無關的概念，從而在“初等數學”與“高等數學”間架起橋梁，彌補初等數學知識的缺陷，達到對數學知識體系完整的認識和融會貫通。

2.能力目標：掌握“正難則反、類比、互逆”的思想方法，將數學思想落實到學習和應用數學的思維活動上，提高思維能力和創新能力。

3.情感目標：命題關系的回顧復習，培養了邏輯推理和數學抽象素養，提高了數學應用意識；在對數學概念的理解、數學思維的升華過程中激發了學習熱情和專業自豪感；在利用初等數學知識巧妙地解決高等數學知識的過程中，提煉了初步的哲學思想。

(五)教學方法

1.教法：任務驅動。根據內容引導學生一步一步完成，不但讓學生參與數學知識的應用，注重學生主動參與知識的總結提煉，而且讓學生在教師的指導下，根據不同任務主動探索、分析的過程中完成對數學知識的意義建構。通過任務驅動，最主要的是整個教學過程，老師可以察覺學生對數學思維的認識。

2.學法：類比、探究、歸納、思維導圖。

二、教學過程

教學內容師生活動設計意圖創設情境、導入新課1.出示命題間的思維導圖2.線性相關與線性無關間的關系:兩者互為否定提出問題學生回答講解預習時學生畫出自己對命題關系的思維導圖,既幫助了對命題間關系的理解,也為接下來尋找線性相關與無關間的命題關系做了鋪墊。任務一:利用命題間關系,由線性相關定義5.8推出線性無關定義5.91.特稱量詞“存在”變為全稱量詞“任意”;2.結論否定:k1x1+k2x2+…+ksxs≠0教師講解定義5.8,引導學生思考和尋找條件、結論以及特稱量詞的轉化,提出否定結論。明確命題轉化的思路,培養學生嚴密的邏輯思維能力和解決問題的能力。對概念理解的過程,教師可以覺察學生對數學思維的認識。任務二:把任務一中線性無關定義5.9轉化為逆否命題5.10注意:原命題成立,逆否命題一定成立。通過類比、探究尋求線性無關的另一定義逆否命題的提出,解決了原命題的“任意性”問題,化無限為有限,讓問題的解決更直觀。任務三:比較定義5.8與5.10,啟發學生歸納總結:1.線性相關與無關的聯系與區別;2.定義法判斷線性相關性的方法與步驟 師生通過比較,總結共性,得出判斷方法,實質是解線性方程組從分析到歸納,細化了知識結構,充分拓展了學生的思維空間,提高了分析問題的能力。任務四:方法拓展問題提出:定義法求解的實質是解齊次線性方程組,那么能否利用齊次線性方程組的解的情況判斷線性相關性。學生嘗試,教師引導,得到利用齊次線性方程組的解情況判定線性相關性的充要條件:只有零解,線性無關;有非零解,線性相關。向量組的相關性與齊次線性方程組巧妙的結合,使學生對知識的掌握和理解達到前后貫通,化抽象為具體。在步步為營的思維認識過程中,也能發現學生專注力如何發展變化,從而為學生數學成績的提升,轉變對數學的認識,甚至喜歡上數學都搭建了平臺。練習中總結,歸納出性質判斷下列向量組的線性相關性:1.含有零向量的向量組;2.含重復向量的向量組;3.向量組部分與整體相關性聯系學生分組討論解答,師生共同探討,總結出性質推論。強化重點 ,提高應用能力;加深理解,探索應用規律;鞏固內化,完善知識體系。布置作業習題5.4、學習平臺本節的測試學生作答,有問題平臺留言,教師及時答復鞏固課堂學習成果,拓展題型,培養學生邏輯推理和數學抽象素養。

三、教學反思

(一)教學過程反思

由于學生基礎薄弱，對四種命題間的關系認識不是非常到位，所以在課堂時間分配上有點傾斜。把命題關系融入教學過程本案例并不是第一次，在克萊姆法則一節關于齊次線性方程組解的情況討論時也用過。有意識這樣來安排教學，一個主導思想就是盡量彌補“初等數學”內容的欠缺，從而達到對整個數學系統認識的完整性和關聯性。

通過任務驅動教學，不但學生能逐級深入理解所學知識，而且教師也可以及時察覺學生思維的認識過程，及時調整教學內容的重難點及時間分配，達到該課程教學標準中查缺補漏的目的。更可喜的是通過這樣的教學設計，學生對本節抽象內容的理解應用達到了預期的目的，本節測試成績超出了預期目標。

(二)利用命題關系設計教學的優點

1.通過命題關系對定義進行言語和意象雙重編碼，有利于學生對知識的長時記憶；

2.關聯定義間通過命題關系推出，可以在知識間建構認知圖式，從而整體把握數學內容，檢索和融會貫通；

3.教材在給出“線性相關性”定義時，沒有明確指出命題關系在整個系統中賴以存在的價值，本著師范教育是培養未來人的事業，因此發展學生認知觀念，有意識地引導學生建構或大或小的命題系統應是數學教育教學的核心素養之一。

四、結語

基于命題關系的“線性相關性”教學設計把知識與實踐、思維與理念相融合，不但促進數學知識間的滲透，而且對學生未來從事的職業也起到示范與引領的作用，從而達到學以致用、理論指導實踐的目的，并將其“師范性”的教學特點凸顯出來。