內嵌樹狀流道的薄片結構流-熱-力特性分析

Saadat Fatima，Hashmi Abdul Rehman，朱磊磊

(1.南京理工大學能源與動力工程學院，南京 210094；2.浙江大學能源工程學院，杭州 310027)

點-體流動過程在工程界和自然界十分常見，所謂點-體流動是指由一個點向一個體積區域輸送流體。為了提高輸送效率，通常在該體積區域內嵌流道，流道區流阻較小，其體積可代表輸送流體的投資成本，非流道區一般是功能區，流體主要通過滲透傳輸，流阻較大。流道區體積越大，總輸送流阻和耗功越小，但對應的功能區體積也越小，因此二者之間存在權衡關系。在給定流道體積時，流道結構有均勻流道(單一尺度流道)和多尺度流道兩類，經過優化的多尺度流道在很多情況下要優于均勻流道，因此多尺度流道的設計引起了普遍重視。在多尺度流道設計時，有兩種常見結構：樹狀流道和網狀流道。網狀流道在流道局部出現堵塞等非設計工況時，仍能維持較好的性能，即可靠性較高[1]。樹狀流道在可靠性方面不及網狀流道，但因其流道體積利用率高，在微電子冷卻、燃料電池流場設計和流體分布器等多種工程應用中引起了普遍關注[2-7]。

早期對樹狀流道的代表性研究是Murray做出的[8]，其結果后來被命名為Murray定律，該定律建立了樹狀流道層流流動時的優化直徑比。Bejan及其合作者系統研究了樹狀流道在電子器件散熱、流動分配器等多方面的應用，其所提出的構形理論激發了大量的有關樹狀流道在傳熱傳質等領域的研究。Bejan和Errera[9]對多孔介質的點-體傳質問題進行了研究，優化了多孔介質中高滲透率材料(或間隙)的結構，結果表明優化的樹狀結構較之均勻結構性能更佳。Chen等[10]采用達西流和哈根-泊肅葉流模型研究了面-點流動過程，對一級分叉結構給出了均勻流道和樹狀流道兩種設計何者占優的判別條件。本文在前人流動優化的基礎上[9-10]，研究內嵌樹狀流道的薄片結構的流-熱-力特性和非設計工況特性，為工程設計優化提供參考。

1 幾何模型

1.1 設計工況

圖1給出了內嵌流道的扇形薄片結構示意圖，此圖以二維為例，如果是三維結構，流道為圓管，其直徑最大不超過薄片厚度，薄片厚度則遠小于扇形直徑。圖1(a)采用均勻流道(直徑數n=1)，流道數m=5只是舉例，其優化值由設計決定；圖1(b)采用樹狀流道，為簡便起見，本文僅討論只有一級分叉的情況(直徑數n=2)，此時樹狀流道相當于Y形流道，樹數m=3也只是舉例，其優化值也由設計決定。流道區以外的區域假設為多孔介質區(即功能區)。流體從扇形根部流入，在流道區(低阻區)和多孔介質區(高阻區)內流動，最終在整個區域沿垂直于區域面積的方向(令其為法向)流出。在分析耐熱和承載能力時，沿法向有外加熱流輸入薄片，同時薄片承受外加的均勻載荷。

流道體積是流體輸送的投資成本，定義流道體積比φ為流道體積Vf與整個薄片體積V之比：

(1)

對于二維情況，流道體積比變為流道面積比，即流道面積Af與整個薄片表面積A之比：

圖1 內嵌流道的扇形薄片結構

(2)

對于樹狀結構，當n= 2時，定義流道直徑比β和長度比γ分別為：

(3)

(4)

式(3)和式(4)中，d1和d2分別為樹狀上下游兩級流道的直徑，l1和l2分別為樹狀上下游兩級流道的長度。

1.2 非設計條件

樹狀流道的一個主要缺陷是當流道某處出現阻塞等非設計條件時，其下游的流體輸送將受到較大影響。圖2給出了各種可能的阻塞位置，其中圖2(a)和圖2(b)中阻塞發生于流道中，圖2(c)和圖2(d)阻塞發生于功能區。很顯然，發生流動入口處的阻塞(即A1和B1)影響最大，本文僅以A1和B1為例。對于二維設計，取A1和B1充滿入口流道界面，其阻塞面積為1.92 mm2。

圖2 各種可能的阻塞位置

2 數值模型

2.1 流動傳熱模型

假設流體(水)輸送過程包括流道區的穩態層流和功能區的多孔介質內達西流。流道區流體的連續性方程、動量方程和能量方程分別為：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

功能區采用多孔介質模型，其具體方程細節可見多孔介質流動傳熱相關文獻，如文獻[11]或數值模擬軟件手冊文獻[12]。流動傳熱模型的邊界條件為：扇形區域根部入口流量為1.182 9 ×10-6kg·m/s，入口溫度為300 K，外緣出口壓力為0 Pa(表壓力)，上表面熱流密度為1 000 W/m2，底面和外緣絕熱。固體熱物性為密度700 kg/m3，比熱為2 310 J/(kg·K)，導熱系數0.173 W/(m·K)。

以上流動傳熱模型采用基于壓力-速度耦合算法的商用軟件ANSYS Fluent求解[12]，求解時連續方程和動量方程的殘差取為10-4，能量方程的殘差取為10-6，相鄰網格計算結果相差最大不超過1%，對于不同的算例網格單元數從幾百萬到一千多萬不等。為了評價流體輸送和耐熱性能，取最大壓降ΔPmax和最高溫度Tmax作為指標，顯然，ΔPmax和Tmax越小，性能越好。

2.2 應力應變模型

為了分析流道設計對薄片結構承載能力的影響，建立應力應變模型。假設薄片表面承受均勻靜態載荷，功能區近似為純固體結構，變形為小量。詳細的應力應變模型方程可見材料力學文獻或數值模擬軟件手冊，如文獻[13]。應力應變模型的邊界條件為：流道入口處為固定點，薄片頂面壓力為10 Pa。除熱物性外的其它物性包括泊松比為0.33，楊氏模量為50，體積彈性模量為4.90×107Pa，剪切模量為1.87×107Pa。網格獨立性校核時，相鄰網格計算結果相差最大不超過1%。

本文采用商用軟件ANSYS Workbench[13]的靜態結構分析功能計算應力應變，應力計算結果采用von Mises應力表示，即：

(10)

為了比較采用均勻流道和樹狀流道的兩種薄片的承載能力，采用最大應力σmax和最大變形δmax作為指標，顯然，σmax和δmax越小越好。

3 結果和討論

3.1 二維流動優化特性

表1給出了均勻流道(φ=5%，n=1)和樹狀流道(φ=5%，n=2，β=γ=0.5)的最大壓降。當流道數m為3時，兩種流道的最大壓降均存在最小值，且樹狀流道的最大壓降最小值更低，這說明樹狀流道流阻更小，在輸送同樣流量時耗功更小、更節能。二維流動優化簡單易行，其結果(m=3)可近似用于三維結構性能分析。

表1 均勻流道和樹狀流道最大壓降對比

3.2 三維傳熱特性

基于二維流道優化結果(m=3，β=γ=0.5)，圖3給出了三維結構設計條件下最大壓降和最高溫度(圖中ψ為功能區孔隙率)。由圖3可知，在給定條件下，樹狀流道最大壓降顯著低于均勻流道，樹狀流道的最高溫度低于均勻流道，說明樹狀流道不僅具有更小的流阻，也同時具有更強的傳熱性能。事實上，在均勻流道下游區域的中間位置，流道的影響距離較遠，而樹狀流道則可以在整個區域更好地分配流阻和熱阻，從而使得最大流阻和最高溫度下降。三維結構中間厚度處截面溫度場見圖4，由圖4可見，二者分布特性差異較大，樹狀流道的高溫區(接近最高溫度的區域)較少。

薄片中出現阻塞時對流道和傳熱會產生影響，顯然阻塞發生于薄片根部流道時(例如A1，B1)影響最大。圖5為阻塞分別產生于A1和B1時三維結構最大壓降和最高溫度。與圖3相比，對均勻流道和樹狀流道，阻塞均導致流阻顯著增大，對于均勻流道最高溫度變化輕微，對于樹狀流道，阻塞導致最高溫度有一定升高(即傳熱能力下降，不利于散熱)。

圖3 三維結構設計條件下最大壓降和最高溫度

3.3 應力應變特性

表2給出了在優化流道設計條件下的最大應力σmax和最大應變δmax的計算結果，對于均勻流道(φ=5%，n=1，m=3)；對于樹狀流道(φ=5%，n=2，m=3，β=γ=0.5)。由表2可見，無論有無阻塞，樹狀流道結構的最大應力和最大變形均明顯低于相應的均勻流道，這說明樹狀流道具有更好的承載能力；在A1和B1有阻塞時，無論樹狀流道結構還是均勻流道結構，最大應力和最大應變均低于相應的無阻塞工況，這是因為阻塞使得流道空間變為固體，增強了薄片結構的強度和承載能力。

圖4 三維結構中間厚度處截面溫度場

圖5 阻塞分別產生于A1和B1時三維結構最大壓降和最高溫度

表2 優化流道設計條件下的最大應力和最大應變

4 結語

1)薄片結構內嵌流道用于流體輸運和傳熱時，優化的樹狀結構比均勻結構流阻更低、耗功更小，同時傳熱能力和承載能力也更強，即樹狀流道結構在流-熱-力性能三方面均優于均勻流道結構。

2)當薄片結構出現根部阻塞時，與無阻塞工況相比，均勻結構和樹狀結構的流阻均顯著增大，且阻塞對樹狀流道傳熱能力(最高溫度)的影響更大些，最大應力和最大變形則均減小。