正交弧線齒面齒輪傳動的嚙合接觸分析

趙玉龍 郭吉蘋 郭正華 盛 偉 陳 勇

(①南昌航空大學航空制造工程學院，江西 南昌 330063；②南昌航空大學科技學院，共青城 332020；③南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016)

面齒輪[1-2]傳動是一種圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合的新型齒輪傳動，面齒輪傳動具有傳動平穩、動力分流效果好等優點[3]，主要應用于直升機主減速器的動力分流機構，適應于高速、重載的工作環境。國內目前研究直齒與斜齒面齒輪傳動居多，進行了齒面方程的推導以及齒輪接觸強度的計算，對于正交弧線齒面齒輪[4-6]的相關研究還較少，其中趙寧[7-8]研究了直齒面齒輪修形及承載接觸分析，彭先龍[9]研究了斜齒面齒輪傳動齒面主動修形與邊緣接觸分析，陳書涵[10]研究了安裝誤差對面齒輪傳動接觸軌跡與接觸應力的影響規律。本文推導了弧線齒面齒輪齒面方程，并對嚙合點進行求解，計算了嚙合點的主曲率、主方向和接觸應力，為后續有限元分析研究提供理論依據。

1 正交弧線齒面齒輪基本方程

1.1 弧線齒面齒輪展成坐標系的建立

本文弧線齒面齒輪的加工是以端面為漸開線的弧線齒圓柱齒輪作為假想刀具，通過包絡成形運動展成的，確立弧線齒面齒輪展成關系如圖1所示，建立弧線齒面齒輪展成坐標系如圖2所示。刀具齒輪的固定坐標系和固連坐標系為o0-x0y0z0和o1-x1y1z1，面齒輪的固定坐標系和固連坐標系分別為o2-x2y2z2和o3-x3y3z3。其中：φ1、φ3分別為刀具齒輪和面齒輪展成時所轉過的角度，A1為刀具齒輪軸線與面齒輪齒頂平面的距離，且A1=R1-ha，其中ha為假想刀具齒頂高。

1.2 弧線齒面齒輪齒面方程推導

在展成坐標系下，弧線齒圓柱齒輪齒面方程為

(1)

(2)

式中：Rb為弧線齒圓柱齒輪的基圓半徑，θs為漸開線上的角度參數，θs0為齒槽角，β為位置角，h為齒寬參數，R1為分度圓半徑，RT為圓弧半徑。

根據各坐標系之間的位置關系，坐標系之間的坐標變換矩陣如下：

則刀具弧線齒圓柱齒輪包絡弧線齒面齒輪的齊次轉換矩陣為M31：

M31=M32·M20·M01

(3)

在假想刀具包絡展成弧線齒面齒輪的過程中，假設接觸點隨刀具齒輪坐標系運動的速度v1，隨面齒輪坐標系運動的速度v3，通過變換矩陣M31可得k3和k1的關系，刀具齒輪與被加工面齒輪的齒面接觸處的相對速度v(1,3)為

(4)

假設ω1=1 rad/s，得到相對速度v(1,3)的方程

(5)

由齒輪嚙合原理可知，圓柱齒輪與面齒輪嚙合條件式為

f(θs,h,φ1)=n1·v(1,3)=0

(6)

根據式(6)化簡可得

φ1=arcsin

(7)

其中，

(8)

(9)

ψ=arctan(b0/a0)

(10)

(11)

根據表1所示參數代入面齒輪工作齒面即可得到工作齒面數學模型如圖3。

表1 正交面齒輪傳動副設計參數

2 面齒輪嚙合軌跡仿真

嚙合軌跡的求解，可以將刀具齒輪與小齒輪看作假想的內嚙合關系，將其按照內嚙合的標準中心距安裝，通過給定刀具齒輪的一系列轉角φ1，可以得到沿著齒寬方向得到一系列θs值和h值，代入瞬時齒面的接觸線方程(12)中，即在刀具齒面構成一條接觸線。弧線齒面齒輪利用同樣的原理，也可以得到一系列接觸線，接觸線方程如式(13)，最后把嚙合線經過坐標變換到面齒輪上，兩條接觸線相交，就可以得到嚙合點。

根據上述理論和公式編寫相關程序對接觸點軌跡、接觸線等進行了計算仿真。可以得到刀具齒輪與小齒輪嚙合在面齒輪齒面上的接觸線L1(如圖4)和刀具齒輪與面齒輪嚙合在面齒輪齒面上的接觸線L2(如圖5)，小齒輪與面齒輪嚙合在面齒輪齒面上的嚙合點軌跡(如圖6)，以及弧線齒面齒輪上的嚙合點參數列為表2。

表2 弧線齒面齒輪嚙合點參數

(12)

(13)

3 弧線齒面齒輪赫茲接觸應力計算

3.1 面齒輪傳動齒面主曲率與主方向分析

為了防止邊緣接觸，通常采用比面齒輪加工刀具齒數小1～3齒的小齒輪，此時，小齒輪與面齒輪為點接觸，從而有效避免了邊緣接觸的產生，根據微分幾何理論，曲面的曲率可以由兩類基本量來確定，用E,F,G,L,M,N來表示?；【€齒面齒輪曲面的參數方程可以用r=r(u,v)表示，其中u、v表示齒面參數。假設曲面上的一點P(u,v)，則該曲面的單位法向矢量為

(14)

則P(u,v)點沿方向du/dv的法曲率kn為

(15)

化簡公式(15)則得到主曲率的計算公式為

(16)

該方程存在兩個不同的實數解，就是弧線齒面齒輪上一點處兩個不同的主曲率。根據弧線齒面齒輪副的齒面嚙合點參數，結合主曲率計算原理，編寫相關程序計算面齒輪副齒面嚙合點處的主曲率，其中K11與K12為小齒輪兩個主曲率；K21與K22為面齒輪兩個主曲率，如表3所示。

表3 面齒輪副齒面嚙合點處的齒面主曲率

根據微分幾何原理知識，有主方向的特征方程為

(17)

得到求解主方向的方程:

(18)

簡化方程(18)得到:

(19)

求解該方程得到du/dv的兩個解，即曲面上該點處的主方向。經計算，面齒輪齒面上嚙合點的主方向在面齒輪坐標系中如表4所示。

表4 面齒輪齒面嚙合點在面齒輪坐標系中的主方向

3.2 赫茲應力計算

基于赫茲接觸理論的任意形狀彈性物體間的接觸情況如圖7所示。兩個彈性物體在O點接觸，當在法向載荷Fn作用下，兩個彈性物體在法向相互接近，物體表面之間有相同距離的點在公切面上形成一組相似的橢圓，起始接觸點擴展為以O點為中心的接觸橢圓，且O點處的法向位移最大，接觸應力也最大。

根據之前求得設兩彈性物體的接觸點在各自兩個正交平面上的主曲率K11、K12和K21、K22，正交主平面與公切面的交線為坐標軸和。對于點接觸的弧線齒面齒輪而言，嚙合點處將形成接觸橢圓，長半軸為a、短半軸為b，面齒輪輪齒的接觸變形量δ按照彈性力學赫茲公式計算。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：α、β、γ為計算系數，其值由B/A=cosθ確定，可查詢接觸區域計算系數表；E1、E2，μ1、μ2分別為弧線齒圓柱齒輪和弧線齒面齒輪材料的彈性模量和泊松比，φ為齒面的主方向之間的夾角。

漸開線齒廓圓柱齒輪的齒面接觸點法向載荷為

Fn=2T1/(d1cosαs)

(25)

式中：T1為弧線齒圓柱齒輪施加的轉矩，取T1=24 N·m；d1為圓柱齒輪分度圓直徑，d1=mz1；αs為圓柱齒輪分度圓壓力角，取αs=20°。取彈性模量E1=E2=2.07×105MPa，泊松比μ1=μ2=0.3。

根據赫茲接觸理論，在接觸橢圓表面上，接觸應力按橢圓體分布，最大接觸應力在接觸橢圓中心，接觸點處最大接觸應力σmax為

σmax=3Fn/(2πab)

(26)

根據公式(26)，計算得到接觸橢圓長半軸a、短半軸b、變形量δ和最大接觸應力σ數值如表5。

表5 齒面接觸參數計算結果

4 結語

弧線齒面齒輪傳動的嚙合接觸分析不僅是弧線齒面齒輪傳動設計的重要環節，也是促進后續面齒輪傳動工程應用的理論基礎。通過對弧線齒面齒輪傳動的嚙合接觸分析，主要得出：

(1)通過建立弧線齒面齒輪展成坐標系，推導了正交弧線齒面齒輪齒面方程，并在Matlab中得到工作齒面的數學模型。

(2)在不考慮誤差的情況下，求解出接觸軌跡，并提出兩條接觸線在面齒輪相交得到弧線齒面齒輪傳動副的嚙合點，并且將接觸軌跡和嚙合點可視化；觀察到嚙合點的位置在一條近似從齒頂到齒根的一條直線上；弧線齒面齒輪傳動副的嚙合位置靠近面齒輪的內徑，后期可以通過改變參數，調整嚙合位置，使其向齒面中心移動。

(3)利用主曲率求解方法，得到傳動中弧線齒圓柱齒輪和弧線齒面齒輪上接觸點處主曲率的變化規律，當弧線齒面齒輪嚙合點從齒頂向齒根方向移動時，弧線齒圓柱齒輪嚙合點的主曲率K11變化很小，K12不斷減小，而面齒輪嚙合點的主曲率K21不斷增大，K22先減小后增大。

(4)基于赫茲接觸應用理論，計算得到傳動中接觸區域橢圓的長、短半徑和接觸區域中心最大變形量、最大接觸應力，可知嚙合點接觸應力從齒頂向齒根處逐漸變小再增大，與之前研究直齒面齒輪接觸應力最大在中部不同，為后續有限元及實驗提供理論依據。