電場(chǎng)線模型在靜電場(chǎng)理論教學(xué)中的研究

空軍航空維修技術(shù)學(xué)院 谷紹湖 王志敏 李廣兵

電場(chǎng)線是定性分析和理解靜電場(chǎng)基本規(guī)律的重要工具，本文充分利用電場(chǎng)線、電通量等概念，對(duì)高斯定理的證明、靜電平衡狀態(tài)和靜電屏蔽原理理解給出了一種形象直觀的思路，避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，對(duì)深入理解靜電場(chǎng)規(guī)律和課堂教學(xué)具有重要意義。

靜電場(chǎng)指的是對(duì)于觀察者而言，靜止的電荷在周圍空間中激發(fā)的場(chǎng)。在電磁學(xué)發(fā)展歷史上，對(duì)電場(chǎng)的科學(xué)認(rèn)識(shí)有著非常漫長(zhǎng)的過(guò)程，從1785年庫(kù)侖在《電力定律》中提出庫(kù)侖定律以來(lái)，“超距作用”一直長(zhǎng)期被認(rèn)為是用來(lái)解釋電荷間作用力的正確理論，直到1837年法拉第提出了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的概念，明確描述在電與磁的周圍應(yīng)該有一種特殊的場(chǎng)存在，這使人們對(duì)電場(chǎng)逐步有了科學(xué)的認(rèn)識(shí)。

為更加形象和直觀地描述電場(chǎng)，法拉第最早提出了電場(chǎng)線（或電力線）的概念。這是沿用至今描繪電場(chǎng)的重要工具，若學(xué)習(xí)者能夠合理用好電場(chǎng)線的性質(zhì)，對(duì)定性學(xué)習(xí)和理解分析靜電場(chǎng)能起到事半功倍的效果。下面介紹電場(chǎng)線的主要性質(zhì)及其在靜電場(chǎng)分析中的具體應(yīng)用。

1 靜電場(chǎng)中電場(chǎng)線的基本性質(zhì)

1.1 “三不”性質(zhì)與起始位置（方向）

（1）“三不”性質(zhì)：不存在、不相交、不閉合。

電場(chǎng)線并不是真正存在，而是為了直觀描述而人為假想的一簇曲線。它有明確的起點(diǎn)（或終點(diǎn)）且不閉合，相互之間也不相交。

（2）起止位置（方向）的確定：電場(chǎng)線始終都是以正電荷為起點(diǎn)，到負(fù)電荷結(jié)束。

說(shuō)明：①在絕大多數(shù)教材中，除上述描述外，還包含了從正電荷出發(fā)，到無(wú)窮遠(yuǎn)結(jié)束以及從無(wú)窮遠(yuǎn)處出發(fā)，到負(fù)電荷結(jié)束兩種情況。根據(jù)物理學(xué)家陳難先院士在《靜電屏蔽的內(nèi)外對(duì)稱性》中關(guān)于起點(diǎn)與放置電荷的闡述，電場(chǎng)線的方向可以統(tǒng)一為從正電荷出發(fā)，到負(fù)電荷結(jié)束。②關(guān)于電場(chǎng)線起止位置可以形象理解為電場(chǎng)線必有起點(diǎn)和終點(diǎn)（不可能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失），這在靜電場(chǎng)相關(guān)分析中十分關(guān)鍵。

1.2 電場(chǎng)線與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

與電場(chǎng)強(qiáng)度大小的關(guān)系：電場(chǎng)線越密的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度越大；電場(chǎng)線越梳，電場(chǎng)強(qiáng)度越小。

與電場(chǎng)強(qiáng)度方向的關(guān)系：電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電場(chǎng)線上某點(diǎn)的切線方向一致。

1.3 學(xué)習(xí)中容易混淆的幾個(gè)問(wèn)題

易錯(cuò)點(diǎn)1：電場(chǎng)線與磁力線都是假想曲線，兩者性質(zhì)容易混淆。

分析：由于靜電場(chǎng)是有源的（即：靜電場(chǎng)必須是由電荷產(chǎn)生的），所以電場(chǎng)線只能是有頭有尾的曲線，而磁力線是閉合且無(wú)頭無(wú)尾的曲線。

易錯(cuò)點(diǎn)2：在單根電場(chǎng)線上，電勢(shì)大小與場(chǎng)強(qiáng)大小容易混淆。

分析：對(duì)于單根電場(chǎng)線，沿著電場(chǎng)線所指的方向，電勢(shì)逐漸變小，但場(chǎng)強(qiáng)的大小是無(wú)法判斷的（電場(chǎng)的強(qiáng)弱只與電場(chǎng)線的疏密程度有關(guān)）。

易錯(cuò)點(diǎn)3：電場(chǎng)線方向和電場(chǎng)強(qiáng)度方向兩者之間容易混淆。

分析：對(duì)初學(xué)者而言，關(guān)于電場(chǎng)線與電場(chǎng)強(qiáng)度兩者的方向判斷是經(jīng)常容易混淆的。電場(chǎng)線方向和電場(chǎng)強(qiáng)度方向是兩個(gè)不同的基本概念，只有在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)線與電場(chǎng)強(qiáng)度方向才重合。

根據(jù)以上描述，我們可以將靜電場(chǎng)中常見(jiàn)的幾種電場(chǎng)線描繪如圖1所示。

圖1 常見(jiàn)電場(chǎng)的電場(chǎng)線模型示意圖

2 電場(chǎng)線模型在高斯定理證明中的應(yīng)用

2.1 靜電場(chǎng)高斯定理的重要意義

庫(kù)侖用扭秤實(shí)驗(yàn)總結(jié)出了兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間相互作用力的規(guī)律，成為了電磁學(xué)定量分析的里程碑。卡文迪許-麥克斯韋根據(jù)通過(guò)實(shí)驗(yàn)精確驗(yàn)證了電力平方反比率的正確性（即庫(kù)侖定律的準(zhǔn)確性），高斯定理是直接從庫(kù)侖定律理論推導(dǎo)而來(lái)。

靜電場(chǎng)的高斯定理表明了閉合曲面內(nèi)電荷分布與其所產(chǎn)生的電場(chǎng)之間的關(guān)系（即靜電場(chǎng)對(duì)任意閉合曲面的電通量?jī)H僅與其內(nèi)部電荷的總量有關(guān)），這直接揭示了靜電場(chǎng)與其場(chǎng)源之間的關(guān)系：靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電荷就是它的源頭。

2.2 靜電場(chǎng)中高斯定理的證明

仿照流體力學(xué)中通量的基本概念，借助于靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線模型，我們類比引入電通量（電場(chǎng)強(qiáng)度通量），可以理解為通過(guò)某曲面電場(chǎng)強(qiáng)度的總量，它與穿過(guò)該曲面電場(chǎng)線數(shù)量的總和成正比，定義穿出曲面的方向?yàn)檎┤肭娴姆较驗(yàn)樨?fù)。

高斯定理表明：在靜電場(chǎng)中，通過(guò)任意閉合曲面的電通量與該曲面外的電荷無(wú)關(guān)，且電通量的大小為該閉合曲面內(nèi)凈電荷量的倍，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

上式中，q為閉合曲面內(nèi)電荷的總量，則其可能包含以下4種情況：①q為零；②q為單個(gè)點(diǎn)電荷且在閉合曲面中心；③q為單個(gè)點(diǎn)電荷但不在閉合曲面中心；④q為多個(gè)點(diǎn)電荷且不在閉合曲面中心，分布情況示意圖如下（以q為正電荷為例）：

下面證明高斯定理在上述各種情況下均成立。

首先，利用電場(chǎng)線模型明確一個(gè)問(wèn)題，即閉合曲面外電場(chǎng)對(duì)閉合曲面電通量的影響。

根據(jù)電場(chǎng)線的性質(zhì)，可知穿入閉合曲面與穿出閉合曲面的電場(chǎng)線數(shù)量是完全相等的，所以總的電通量應(yīng)為零：即閉合曲面外的電場(chǎng)對(duì)閉合曲面的電通量不影響。

下面分四種情況進(jìn)行討論：

(a)當(dāng)q =0，即閉合曲面內(nèi)無(wú)電荷時(shí)，則高斯定理表達(dá)式如下：

此時(shí)明顯成立。

(b)當(dāng)單個(gè)點(diǎn)電荷q在曲面中心(如圖2(a)所示)時(shí)，根據(jù)庫(kù)侖定律有：

(c)當(dāng)單個(gè)點(diǎn)電荷q不在曲面中心時(shí)(如圖2(b)所示)，根據(jù)電場(chǎng)線模型可知，不論曲面的形狀和電荷所在的位置如何變化，穿過(guò)曲面的電場(chǎng)線始終是不變的，故電通量與情況(b)相同，仍為。

(d)當(dāng)多個(gè)點(diǎn)電荷在曲面內(nèi)（如圖2(c)所示）時(shí)，根據(jù)電場(chǎng)的疊加原理有：

圖2 高斯曲面內(nèi)電荷的不同分布情況示意圖

綜合以上討論，高斯定理的表達(dá)式在上述各類情況中均成立。

3 靜電平衡狀態(tài)的形成過(guò)程分析及理解

靜電平衡是電磁學(xué)中非常重要的一個(gè)基本現(xiàn)象，具有十分廣泛的應(yīng)用，正確理解靜電平衡的形成過(guò)程與平衡狀態(tài)時(shí)的基本特點(diǎn)對(duì)合理利用該規(guī)律具有十分重要的意義。

3.1 靜電感應(yīng)

金屬導(dǎo)體中有大量的自由電子，當(dāng)自由電子處在外電場(chǎng)中，導(dǎo)體內(nèi)的自由電子將產(chǎn)生定向移動(dòng)（如圖3(a)所示），使導(dǎo)體表面出現(xiàn)感應(yīng)電流，這種現(xiàn)象叫做靜電感應(yīng)。

圖3 導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡狀態(tài)過(guò)程示意圖

3.2 靜電平衡狀態(tài)

由于靜電感應(yīng)，感應(yīng)電荷會(huì)產(chǎn)生與外電場(chǎng)方向相反的附加電場(chǎng)，如圖3(b)所示。導(dǎo)體兩側(cè)出現(xiàn)等量異種電荷時(shí)，當(dāng)感應(yīng)電場(chǎng)與外電場(chǎng)相互疊加，合場(chǎng)強(qiáng)為零（E外=E’）時(shí)，自由電子停止定向移動(dòng)，導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡狀態(tài)，如圖3(c)所示。

3.3 靜電平衡狀態(tài)下導(dǎo)體中電荷的分布特點(diǎn)

分析靜電平衡狀態(tài)示意圖（如圖3(c)所示），我們?nèi)菀椎玫揭韵陆Y(jié)論：①導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零；②凈電荷只分布在導(dǎo)體表面，且導(dǎo)體表面向外突出的地方電荷密度大，向里凹進(jìn)的地方電荷密度小；③導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體，其表面是等勢(shì)面。

4 電場(chǎng)線模型在靜電屏蔽原理分析中的應(yīng)用

靜電屏蔽是《大學(xué)物理》和《電磁場(chǎng)與電磁波》等電子信息類專業(yè)的必講知識(shí)點(diǎn)，也是難以正確理解其原理本質(zhì)的內(nèi)容，下面我們利用上述相關(guān)內(nèi)容對(duì)靜電屏蔽的本質(zhì)進(jìn)行分析。

4.1 靜電屏蔽的定義及其理解

陳難先在靜電屏蔽的內(nèi)外對(duì)稱性一文中明確提出：導(dǎo)體的屏蔽作用意味著，在金屬殼不遭到破壞的條件下，金屬殼內(nèi)電荷的重新分布不會(huì)影響到金屬殼外的電場(chǎng)，金屬殼外的電荷重新分布不影響金屬殼內(nèi)的電荷分布。

根據(jù)上面的描述，我們可以將靜電屏蔽形象地理解為以下兩類情況：①封閉導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷不在殼外空間產(chǎn)生電場(chǎng)；②封閉導(dǎo)體殼外的電荷不在殼內(nèi)空間產(chǎn)生電場(chǎng)。下面分別兩種情況進(jìn)行討論。

說(shuō)明：前面已經(jīng)明確闡述電場(chǎng)是有源的，所以我們?cè)噲D從電場(chǎng)線的起點(diǎn)開(kāi)始，探索出電場(chǎng)線的終點(diǎn)，以分析出下列各類情況電場(chǎng)的分布。

4.2 封閉導(dǎo)體殼內(nèi)電荷在空間的電場(chǎng)分布情況

假設(shè)殼內(nèi)有正電荷q存在，下面分析殼內(nèi)與殼外電場(chǎng)的分布情況。

對(duì)于殼內(nèi)電場(chǎng)：此時(shí)殼內(nèi)電場(chǎng)的電場(chǎng)線起于正電荷，而電場(chǎng)線不能穿過(guò)處于靜電平狀態(tài)的導(dǎo)體（假設(shè)能穿過(guò)，則殼內(nèi)部分的電場(chǎng)線從內(nèi)壁開(kāi)始，又到內(nèi)壁結(jié)束，這顯然與導(dǎo)體是等勢(shì)體矛盾），所以殼內(nèi)電場(chǎng)只能止于殼內(nèi)壁。故內(nèi)部電場(chǎng)線如圖4(a)所示。

圖4 殼內(nèi)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)分布示意圖

對(duì)于殼外電場(chǎng)：從上面的分析可知，由于殼內(nèi)電荷 的作用，導(dǎo)體殼內(nèi)壁集聚了電量為的負(fù)電荷，則殼外壁必然集聚電量為的正電荷，所以殼外的電場(chǎng)線從殼外壁出發(fā)，指向無(wú)窮遠(yuǎn)處，如圖4(a)所示（對(duì)于殼外電場(chǎng)的分析，也可以利用靜電場(chǎng)的高斯定理得出同樣結(jié)論）。為使此種情況達(dá)到靜電屏蔽（即殼外電場(chǎng)為零）的效果，我們可以將導(dǎo)體殼通過(guò)金屬導(dǎo)體與大地相連。接地后，導(dǎo)體殼的內(nèi)外電場(chǎng)分布如圖4(b)所示，其理論解釋簡(jiǎn)要說(shuō)明如下。

說(shuō)明：當(dāng)導(dǎo)體殼接地后，導(dǎo)體殼就與“無(wú)窮遠(yuǎn)”連成一體（“無(wú)窮遠(yuǎn)”既可以看成是殼內(nèi)的邊界，也可以認(rèn)為是殼外的邊界），故此時(shí)不存在圖4(a)中殼外壁（亦為“無(wú)窮遠(yuǎn)”）指向無(wú)窮遠(yuǎn)處的電場(chǎng)線（也可理解為殼外壁的電荷全部沿接地線流入大地），即外部電場(chǎng)為零，滿足靜電屏蔽要求。

4.3 封閉導(dǎo)體殼外電荷在空間電場(chǎng)分布情況

假設(shè)殼外有正電荷q存在，下面分析殼內(nèi)電場(chǎng)在導(dǎo)體殼接地與不接地時(shí)的分布情況。

根據(jù)4.2節(jié)中關(guān)于導(dǎo)體殼接地后的理論分析，易知當(dāng)導(dǎo)體殼接地時(shí)，其電場(chǎng)線模型如圖5(a)所示，殼內(nèi)空間的電場(chǎng)為零，滿足靜電屏蔽要求。

圖5 殼外電荷產(chǎn)生電場(chǎng)分布示意圖

當(dāng)導(dǎo)體殼不接地時(shí)，由于電場(chǎng)線不能穿過(guò)處于靜電平狀態(tài)的導(dǎo)體，故此時(shí)外部空間電場(chǎng)的電場(chǎng)線只能起源于正電荷，止于無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)電場(chǎng)線模型如圖5(b)所示，殼內(nèi)空間電場(chǎng)為零，滿足靜電屏蔽要求。

綜合上述各類情況分析，我們可以得出結(jié)論：

封閉金屬導(dǎo)體殼內(nèi)部空間的電場(chǎng)只與其內(nèi)部電荷有關(guān)；接地的封閉金屬導(dǎo)體殼，其內(nèi)外空間的電場(chǎng)相互都不受影響。

靜電屏蔽在電工電子和工業(yè)生產(chǎn)中都有著非常廣泛的應(yīng)用，通過(guò)上述利用電場(chǎng)線的形象解釋，為我們輕松理解如運(yùn)油車拖地鐵鏈、飛機(jī)機(jī)載設(shè)備搭鐵線、高壓屏蔽衣、電子設(shè)備金屬外殼等各種靜電屏蔽實(shí)例的本質(zhì)原因打開(kāi)了新的大門(mén)。

通過(guò)對(duì)靜電場(chǎng)中電場(chǎng)線基本性質(zhì)的歸納總結(jié)，給出了高斯定理證明、靜電平衡過(guò)程與特點(diǎn)、靜電屏蔽原理分析的新思路，形象清晰地認(rèn)識(shí)了靜電場(chǎng)相關(guān)理論的本質(zhì)原理，同時(shí)也大幅度地?cái)U(kuò)展了學(xué)習(xí)者的物理思維能力，為電磁場(chǎng)理論的學(xué)習(xí)和常見(jiàn)問(wèn)題的分析起到了事半功倍的效果。