具有導數項的分數階微分方程解的存在唯一性

溫世林，韓 偉，桑彥斌

（中北大學 理學院，太原 030051）

1 相關進展

分數階微分方程已經廣泛應用于物理、化學、生物、工程等各個領域［1－3］，對分數階微分方程的研究具有重要的理論和應用價值。特別是具有多種邊界條件的分數階微分方程，近年來引起人們的極大興趣，對其研究主要集中在非線性分數微分方程邊值問題正解的存在性、多重性和唯一性。LI等［4］研究了如下非線性分數階微分方程邊值問題正解的存在性，其中Dα0＋，Dv0＋為標準的Riemann Liouville分數階導數：

Wang等［5］利用格林函數的性質和錐理論，討論了如下高階非線性奇異分數階微分方程的唯一存在準則：

Jleli等［6］利用混合單調算子方法對以下任意階非線性分數階微分方程正解的存在唯一性進行了研究，其中n＞3（n∈N），f、g為連續函數。

本文中將研究如下具有導數項的分數階微分方程正解的存在唯一性：

其中：Dα0＋，Dβ0＋，Dv0＋為標準的Riemann Liouville分數階導數，0＜t＜1，n－1＜α≤n（n∈N，n≥2），n－2＜β≤v≤n－1，0≤b≤1，ξ∈（0，1），α－v－1≥0，0≤bξα－v－1＜1。應用文獻［7］中算子方程，其中A，B，C∶P×P→P是混合單調算子：

2 預備知識和相關引理

本節簡單介紹了一些定義、符號和已知結果［8－10］。

定義1 A∶P×P→P是1個混合單調算子，如果A（x，y）在x上遞增，在y上遞減，則x（x∈P）為A的不動點［11］。

定義2 A∶D（A） E→E，若對 x，y∈D（A），x≤y，t∈（0，1），有A（tx＋（1－t）y）≤tAx＋（1－t）Ay，稱A為凸算子。若A為凸算子，則－A為凹算子［12］。

集合E＝｛x｜x∈C［0，1］，D0β＋x∈C［0，1］｝為實Banach空間，定義它的范數為： x（t） ＝max｛t∈m［a0，x1］｜x（t）｜，t∈m［a0，x1］D0β＋｜x（t）｜｝。E被賦予一個半序關系：若u（t）≤v（t），D0β＋u（t）≤D0β＋v（t），那么u v。設P E，定義：P＝｛x∈E∶x（t）≥0，D0β＋x（t）≥0， t∈［0，1］｝，顯然P是1個正規錐且Ph∈E。

引理1 P是E中的1個正規錐，假設A，B，C∶P×P→P是3個混合單調算子，并且滿足如下條件：

3）對y∈P中任一點，C（·，y）∶P→P為凹算子；對x∈P中任一點，C（x，·）∶P→P為凸算子；

4）-h∈P，h＞θ使A（h，h）∈Ph，B（h，h）∈Ph，C（h，h）∈Ph；

6）存在常數 δ0＞0，對于 x，y∈Ph，B（x，y）＋C（x，y）≤δ0A（x，y）；

那么算子方程（2）在P中有唯一正解x ，滿足μh≤x ≤λh，λ、μ為2個正實數。對任意的初始值x0，y0∈Ph，依次構造如下序列：在E中，n→∞時，xn→x ，yn→x 。

3 主要結果

許多問題都可轉化為算子方程（2）［13－18］。本節將研究方程（1）正解的存在唯一性。

其中

引理2 G（t，s）滿足如下性質：

式（2）后半部分不等式的右邊由0≤b≤1和0＜d＝1－bξα－v－1≤1易得。下面證明左邊：

當0≤s≤min｛t，ξ｝＜1時，

當0＜ξ≤s≤t≤1時，由0＜d＝1－bξα－v－1≤1，

當0＜t≤s≤ξ≤1時，

當0≤max｛t，ξ｝≤s≤1時，

定理1 假設如下條件成立：

5）存在常數 δ0＞0，對 t∈［0，1］，u，v∈［0，＋∞），g（t，u，v）＋k（t，u，v）≤δ0f（t，u，v）；那么方程（1）在P中存在唯一正解u ，滿足 μtα－1≤u ≤λtα－1，t∈［0，1］，λ、μ為2個正實數。

證明：從文獻［5］可知方程（1）解的積分公式如下，其中G（t，s）在式（5）已給出。

其中X＝A，B，C，p＝f，g，k。

容易證明當且僅當u＝A（u，u）＋B（u，u）＋C（u，u）時，u是方程（1）的解。

從假設條件1）和引理2可以得出，A（u，v）≥0，Dβ0＋A（u，v）≥0，即A∶P×P→E。同理可得B，C∶P×P→E。下面證明A，B，C是混合單調算子：

對于固定的t∈［0，1］和v∈［0，＋∞）， a∈（0，1），u1，u2∈P，

同理可得：

同理可得Dβ0＋C（θ，lh（t））≥cDβ0＋C（lh（t），θ），即滿足引理1的條件5）。從定理1的條件5）可知，u，v∈P

同理，D0β＋（B（u，v）（t）＋C（u，v）（t））≤δ0D0β＋A（u，v）（t），所以算子A滿足引理1的條件6）。因此定理1的條件滿足引理1。證畢。