歐拉海森堡黑洞的弱宇宙監(jiān)督

李春艷 李大剛

摘? 要：文章計(jì)算帶電粒子落入歐拉海森堡黑洞時(shí)，視界附近的能量-動(dòng)量關(guān)系，驗(yàn)證通常相空間和擴(kuò)展相空間情況下黑洞的弱宇宙監(jiān)督假設(shè)。文章發(fā)現(xiàn)在通常相空間中，極端黑洞和近極端黑洞的弱宇宙監(jiān)督假設(shè)均有效;另一方面，在擴(kuò)展相空間中，只有極端黑洞的弱宇宙監(jiān)督假設(shè)有效，而對(duì)于近極端黑洞其影響參數(shù)比較多，無(wú)法證明其弱宇宙監(jiān)督假設(shè)是否有效。

關(guān)鍵詞：弱宇宙審查猜想;歐拉海森堡黑洞;通常相空間;擴(kuò)展相空間;熱力學(xué)

中圖分類號(hào)：P145.8? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2096-4706（2021）16-0149-04

The Weak Cosmic Censorship Conjecture of the Euler Heisenberg Black Hole

LI Chunyan， LI Dagang

（China West Normal University， Nanchong? 637002， China）

Abstract： This paper calculates the energy-momentum relationship near the event horizon when charged particles fall into the Euler Heisenberg black hole， and verifies the weak cosmic supervision hypothesis of black holes in normal phase space and extended phase space. This paper finds that in the normal phase space， the hypothesis of weak cosmic supervision for extreme black holes and near-extreme black holes is valid; on the other hand， in the extended phase space， only the hypothesis of weak cosmic supervision for extreme black holes is valid， while for near-extreme black holes， there are many influence parameters， and it is impossible to prove whether the hypothesis of weak cosmic supervision is valid.

Keywords： weak cosmic review conjecture; Euler Heisenberg black hole; normal phase space; extended phase space; thermodynamics

0? 引? 言

眾所周知，快速時(shí)間的奇點(diǎn)是在引力坍縮結(jié)束時(shí)產(chǎn)生的，物質(zhì)接近時(shí)空奇點(diǎn)，所有的物理定律都將被摧毀。為了避免這一現(xiàn)象，彭羅斯提出了弱宇宙審查猜想（WCCC），以保護(hù)物理定律不受奇異點(diǎn)的影響。彭羅斯認(rèn)為奇點(diǎn)應(yīng)該隱藏在事件視界中，而無(wú)窮遠(yuǎn)處的觀察者無(wú)法從奇點(diǎn)中找到任何信息。

為了證明這一假設(shè)，沃爾德和團(tuán)隊(duì)提出了一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)，即帶電粒子落到極端的Kerr-Newman黑洞中。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)考慮一個(gè)具有足夠電荷的粒子落向極端Kerr-Newman黑洞時(shí)，該猜想在一階擾動(dòng)下不會(huì)被破壞。根據(jù)沃爾德的實(shí)驗(yàn)，弱宇宙審查猜想的影響已經(jīng)在不同的時(shí)空得到了考驗(yàn)。近年來(lái)，此類研究發(fā)展到了AdS時(shí)空，研究人員仿照沃德實(shí)驗(yàn)的基本模型，設(shè)計(jì)了“試粒子法”用于驗(yàn)證AdS時(shí)空中黑洞WCCC的有效性。此時(shí)，黑洞質(zhì)量被解釋為熱力學(xué)焓，同時(shí)宇宙常數(shù)及其共軛量被認(rèn)為是壓強(qiáng)和體積。最近幾年研究人員用這個(gè)方法研究了高維RN-AdS黑洞、Kerr-AdS黑洞、tours-like-AdS黑洞等情形。

歐拉-海森堡黑洞，這是愛(ài)因斯坦引力的解與歐拉和海森堡在1936年提出的NLED耦合的解，直接從量子電動(dòng)力學(xué)（QED）導(dǎo)出到單環(huán)近似。隨后，將黑洞解推廣到反德西特（AdS）空間[58]中的帶電情況。對(duì)于歐拉海森堡黑洞的研究，主要集中在黑洞陰影、焦湯膨脹、P-V臨界性和熱力學(xué)方面。本文將通過(guò)計(jì)算視界附近的能量—?jiǎng)恿筷P(guān)系，來(lái)討論歐拉海森堡黑洞在相空間中的WCCC的有效性。

1? 歐拉海森堡-AdS黑洞

歐拉海森堡黑洞的度規(guī)為：

ds2=-f（r）dt2+f（r）-1dr2+r2（dθ2+sin2θdФ2）? ? ? ? ?（1）

文獻(xiàn)中給出了度規(guī)函數(shù)：

（2）

a是歐拉海森堡參數(shù)，其取值范圍在文章中為。這里的宇宙常數(shù)Λ與壓強(qiáng)P有關(guān)，參數(shù)M和Q分別對(duì)應(yīng)于黑洞質(zhì)量和電荷。

（3）

通過(guò)解方程h（r）=0，我們可以得到在事件視界r=rk的黑洞質(zhì)量為：

（4）

具有外事件視界r=rk的霍金溫度T為：

（5）

黑洞的熵為：

（6）

在正常的相空間中宇宙常數(shù)是固定的，熱力學(xué)第一定律的形式是：

dM=TdS+φdQ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

在歐拉海森堡理論中中，為了滿足Smarr關(guān)系，歐拉海森堡參數(shù)也應(yīng)被視為一個(gè)動(dòng)態(tài)量。因此，第一定律在擴(kuò)展相空間中的形式是：

dM=TdS+PdV+ΦdQ+Ada? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

其中P是壓強(qiáng)，V是P的共軛量被解釋為體積，A是歐拉海森堡參數(shù)α的共軛量，它被定義為：

（9）

（10）

（11）

（12）

2? 被吸收粒子的能量動(dòng)量關(guān)系式

在這一節(jié)中，因?yàn)閹щ娏Ｗ颖籄dS黑洞吸收，我們希望得到一個(gè)其在事件視界附近的能量-動(dòng)量關(guān)系。我們對(duì)標(biāo)量粒子充滿了興趣，因此我們將利用下面的哈密頓-雅可比方程來(lái)研究被吸收粒子的動(dòng)力學(xué)：

gμv（Pμ-eAμ）（Pv-eAV）+mρ2=0? ? ? ? ? ? ? （14）

其中Pμ是動(dòng)量：

Pμ=σμI? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

其中e是電荷，mρ表示是粒子質(zhì)量，I是帶電粒子的哈密頓作用量。在球?qū)ΨQ時(shí)空中，運(yùn)動(dòng)粒子的哈密頓作用量可以被分離成：

I=-Et+W（r）+Iθ+Lφ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

其中E和L分別是粒子的能量和角動(dòng)量，W（r）是徑向分量，2維球體被描述為：

（17）

為了求解哈密頓-雅可比方程，我們利用了黑洞的逆度規(guī)：

gμv?μ?v=-h（r）-1（?t）2+h（r）（?t）2+r-2（?φ）2? ? ? ? （18）

將（16）和（18）替換為（14），我們可以得到：

（19）

對(duì)徑向方程計(jì)算，我們得到徑向動(dòng)量為：

（20）

當(dāng)一個(gè)粒子落入黑洞時(shí)，我們將考慮到黑洞的熱力學(xué)。因此，我們的主要研究是粒子的近視界行為，這里是f（rk）= 0。在事件視界附近，方程（25）將被簡(jiǎn)化為：

（21）

這里，對(duì)于我們選擇正號(hào)，以確保粒子以正時(shí)間方向的流入黑洞。

（22）

3? 相空間中的弱宇宙審查猜想

弱宇宙審查猜想指出，在任何真實(shí)的物理過(guò)程中，時(shí)空的奇異點(diǎn)都應(yīng)該被黑洞的事件視界所隱藏。為了測(cè)試它，一種有效的方法是檢查當(dāng)黑洞被帶電粒子捕獲時(shí)，黑洞的事件視界是否穩(wěn)定。然而，黑洞的視界是由h（r）決定的。因此，檢驗(yàn)弱宇宙審查猜想是通過(guò)考慮粒子的吸收來(lái)檢驗(yàn)方程h（r）=0是否有解。假設(shè)在歐拉海森堡黑洞的徑向坐標(biāo)rm處，度規(guī)函數(shù)h（r）具有最小值h（rm）。因此，如果是h（rm）>0，則沒(méi)有黑洞的視界;如果是h（rm）≤0，則總是有視界。在位置rm，保持弱宇宙審查猜想的條件是：

（23）

（24）

（25）

對(duì)于一個(gè)極端的黑洞，τ=0，rk和rmin是相等的。對(duì)于一個(gè)近極端的黑洞，τ是一個(gè)小量，rmin處于兩個(gè)視界之間。

3.1? 通常相空間中的弱宇宙審查猜想

在正常的相空間中，宇宙學(xué)參數(shù)是不變的，黑洞的質(zhì)量特征是M和電荷Q。質(zhì)量M被解釋為熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能。當(dāng)一個(gè)粒子被黑洞吸收時(shí)，我們假設(shè)能量和電荷是守恒的。因此，黑洞的內(nèi)能和電荷的變化是：

E=dm，e=dQ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （26）

在這種情況下，等式（20）可以寫為：

（27）

當(dāng)黑洞吸收了一個(gè)帶電粒子時(shí)，事件視界的位置將會(huì)改變。我們將事件視界的最后一個(gè)狀態(tài)標(biāo)記為rk+drk，同時(shí)也滿足h（rk+drk）=h（rk）=0。根據(jù)h（rk+drk）=h（rk）=0，可以得到：

（28）

將式（2）和（4）進(jìn)入等式（12），我們發(fā)現(xiàn)dM和dQ都消失了。我們得到drk，可以表示為：

（29）

此外，基于等式（6），我們可以獲得dSk，即

（30）

對(duì)比等式（5）和（30），我們得到。

TdS=Prk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（31）

在通常相空間中，歐拉海森堡黑洞的狀態(tài)參量為質(zhì)量M和電荷Q。當(dāng)帶電粒子被黑洞吸收時(shí)，黑洞的狀態(tài)參量將變?yōu)镸+dM和Q+dQ。同時(shí)，事件視界rk和徑向坐標(biāo)rmin也將變?yōu)閞k+drk和rmin+drmin。請(qǐng)注意，極值點(diǎn)在rk+drk和rmin+drmin之間時(shí)，等式（24）是滿足的：

（32）

當(dāng)r=rmin+drmin時(shí)，函數(shù)h（r）可以重寫為：

（33）

我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)極端的黑洞，h（r）min=τ=0，等式（24）也適用。將等式（2）和（27）進(jìn)入等式（33），我們可以得到，

（34）

在等式（34）中，rmin不為0，而極端黑洞的溫度等于零。所以，結(jié)合了等式（31）與等式（34），我們有

h（rmin）+dh（rmin）=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （35）

由等式（35），我們知道h（rmin）+dh（rmin）的值等于零。也就是說(shuō)，黑洞在捕獲一個(gè)帶電粒子時(shí)有一個(gè)視界，這意味著極端歐拉海森堡AdS黑洞的構(gòu)型沒(méi)有被改變，黑洞的最后狀態(tài)仍然是一個(gè)極端的黑洞。WCCC對(duì)正常相空間中的黑洞有效。

對(duì)于一個(gè)接近極端的黑洞，等式（24）是不滿足的，因?yàn)閞k和rmin不相等。只有當(dāng)滿足條件rk=rmin+τ時(shí)，我們才能在rmin處展開(kāi)等式（24）。這時(shí)有，

（36）

將等式（2）和（35）進(jìn)入等式（33），我們可以得到，

（37）

在等式中（37），τ是一個(gè)極小的量，因此O[τ]2可以忽略。同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)第一項(xiàng)與第二項(xiàng)都是負(fù)的。在這種情況下，等式（37）為負(fù)值，即吸收一個(gè)電子后，近極端黑洞有兩個(gè)黑洞視界，與吸收前一致。因此，在正常的相空間中，我們可以看到弱宇宙審查猜想也適用于近極端歐拉海森堡黑洞，WCCC在正常相空間中有效。

3.2? 擴(kuò)展相空間中的弱宇宙審查猜想

在擴(kuò)展相空間中，質(zhì)量M被看作是熱力學(xué)系統(tǒng)的焓H，而不是熱力學(xué)能U。熱力學(xué)能與焓的關(guān)系是，

M=U+PV? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（38）

在這種情況下，能量和電荷的變換是，

E=du=d（M-PV），e=dQ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（39）

等式中能量與動(dòng)量的關(guān)系（27）應(yīng)顯示為，

（40）

為了得到擴(kuò)展相空間中的熱力學(xué)第一定律，我們需要得到dSk和dV。從等式（6）和（11），我們有，

（41）

（42）

現(xiàn)在，我們想獲得dSk，dV的最后一個(gè)結(jié)果。在擴(kuò)展相空間中，歐拉海森堡黑洞的狀態(tài)參數(shù)為M、Q、l、a，當(dāng)帶電粒子進(jìn)入黑洞時(shí)，狀態(tài)參數(shù)將隨著M+dM、Q+dQ、l+dl、a+da而變化。同時(shí)，事件視界也會(huì)隨著rk+drk發(fā)生變化。基于h（rk+drk）=h（rk）=0的事實(shí)，可以得到：

（43）

組合等式（2）和（40，43），可以得到：

（44）

將等式（44）帶入等式（39）和（41），可以得到：

（45）

（46）

結(jié)合等式（5，6，7，9，12）和等式（40，45），可得：

TdS-PdV+Ada=prk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（47）

接下來(lái)，我們將進(jìn)一步檢查歐拉海森堡AdS黑洞的弱宇宙審查猜想。同樣地，當(dāng)一個(gè)粒子進(jìn)入黑洞時(shí)，黑洞參數(shù)的質(zhì)量、電荷和AdS半徑、和歐拉海森堡參數(shù)將改變?yōu)椋∕+dM、Q+dQ、l+dl、a+da）的函數(shù)。并且，事件視界的位置、最小值和AdS半徑將變?yōu)椋╮k+drk，rm+drm，l+dl）。相應(yīng)地，函數(shù)h（r）的位移可以表示為：

dhmin=h（rmin+drmin）-hmin? ? ? ? ? ? ? ? ? （48）

（49）

對(duì)于極值黑洞，hmin=0位置rmin完全等于事件視界r+的值。因此，該關(guān)系（24）仍然有效。在插入等式后（24）進(jìn)入等式（45），可得：

（50）

將等式（47）帶入（50），可得：

dhmin=0，dhmin+hmin=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（51）

這意味著對(duì)極值黑洞的弱宇宙審查猜想在擴(kuò)展的相空間中仍然有效。這個(gè)結(jié)果與在正常相空間中發(fā)現(xiàn)的結(jié)果一致。

對(duì)于近極值黑洞，位置rmin不再等于事件視界rh，這導(dǎo)致該條件（24）不可用。然而，我們注意到rm，rh非常接近近極值黑洞。因此，以類似的方式，通過(guò)使關(guān)系（24）可以在最小點(diǎn)附近展開(kāi)得到，

（52）

因?yàn)檫@個(gè)方程是由許多參數(shù)決定的，當(dāng)這些值是不確定的時(shí)候，我們不確定這個(gè)方程的值。不同的參數(shù)會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果因此，WCCC不能準(zhǔn)確地確定。

4? 結(jié)? 論

本文研究了通常相空間和擴(kuò)展相空間中的WCCC。我們主要研究了決定視界位置的函數(shù)h（r）的最小值是如何移動(dòng)的。在通常的相空間中，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)h（r）是不和諧的，并分別向下移動(dòng)，這表明WCCC對(duì)于一個(gè)歐拉海森堡AdS黑洞是有效的。在擴(kuò)展的相空間中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)粒子落入一個(gè)極端歐拉海森堡AdS黑洞時(shí)，這個(gè)極端的黑洞不會(huì)發(fā)生變化。在這種情況下，WCCC有效。對(duì)于一個(gè)近極端歐拉海森堡AdS黑洞，WCCC在擴(kuò)展相空間中是未知的。我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)h（r）min是由許多參數(shù)決定的，不同的參數(shù)有不同的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1] HAWKING S W，PENROSE R. The Singularities of Gravitational Collapse and Cosmology [J].Proceedings of the Royal Society of London，1970，314（1519）：529-548.

[2] PENROSE R. Gravitational collapse：the role of general relativity [J/OL].General Relativity and Gravitation，2002，34（7）：[2021-06-01].http：//citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download？doi=10.1.1.710.3785&rep=rep1&type=pdf.

[3] WALD R. Gedanken expriments to destroy a black hole [J].Annals of Physics，1974，82（2）：548-556.

[4] JACOBSON T，SOTIRIOU T P. Destroying black hole with test bodies [J/OL].Physics：Conference Series，2010，222（012041）：[2021-06-01].https：//iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/222/1/012041.

[5] CRISFORD T，SANTOS J E. Violating the weak cosmic censorship conjecture in Four-Dimensional Anti-de Sitter Space [J/OL].Physical Review Leters，2017（18）：（2017-05-02）.https：//journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.118.181101.

[6] MAGOS D，BRETON N. Thermodynamics of the Euler-Heisenberg-AdS black hole [J/OL]. Physical Review D，2020，（3）：（2020-10-05）.https：//journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.102.084011.

[7] MENG Y，CHEN B B，TANG J. Cooling–heating phase transition of the Euler–Heisenberg-AdS black hole [J/OL].Modern Physics Letters A，2021，36（23） [2021-07-01]. https：//www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217732321501650.

[8] 李起義.AdS時(shí)空中的黑洞熱力學(xué) [D].天津：南開(kāi)大學(xué)，2013：1-3.

[9] CHOUGULE S，DEY S，POURHASSAN B，et al. BTZ black hole in massive gravity [J].The European Physical Journal C，2018：（2018-08-27）.https：//link.springer.com/article/10.1140%2Fepjc%2Fs10052-018-6172-7.

[10] 宋宇.弱的宇宙監(jiān)督假設(shè)檢驗(yàn)及一種暗能量和暗物質(zhì)相互作用模型 [D].西安：西北大學(xué)，2018.

作者簡(jiǎn)介：李春艷（1996.08—），女，漢族，四川廣安人，碩士研究生在讀，研究方向：理論物理。