FAST反射面形狀調節策略研究

牟淼 孔婭妮 郭磊

摘? 要：文章綜合考慮FAST上各個主索節點在經度方向、緯度方向上的位移變化和邊緣光滑度等因素，研究了反射面的變形策略，借助粒子群算法，建立了較為符合實際的理想拋物面模型;然后利用歐拉旋轉定理建立旋轉模型，得到旋轉后的理想拋物面模型，再通過旋轉基準球面固定照明區域的方法，求得工作拋物面上照明區域內692個主索節點編號，伸縮量以及位置坐標;最后利用降維的技巧，求出基準球面和工作拋物面上的反射信號接收比。

關鍵詞：變形策略;理想拋物面;旋轉模型;接收比;粒子群算法;降維

中圖分類號：TP181;P111.44? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A文章編號：2096-4706（2021）16-0086-07

Research on Shape Adjustment Strategy of FAST Reflector

MOU Miao1， KONG Yani2， GUO Lei3

（1.School of Mechanical Engineering， Yangtze University， Jingzhou? 434023， China; 2.School of Information and Mathematics， Yangtze University， Jingzhou? 434023， China; 3.School of Physics and Optoelectronic Engineering， Yangtze University， Jingzhou? 434023， China）

Abstract： In this paper， considering the displacement changes and edge smoothness of each main cable node in longitude and latitude direction on FAST， the deformation strategy of reflector is studied， and an more realistic ideal paraboloid model is established with the help of particle swarm optimization algorithm; then， the rotation model is established by using Euler rotation theorem， and the ideal paraboloid model after rotation is obtained. Then， by rotating the reference sphere to fix the lighting area， the number， expansion and position coordinates of 692 main cable nodes in the lighting area on the working paraboloid are obtained; finally， using the technique of dimension reduction， the reflection signal reception ratio on the reference sphere and the working paraboloid is obtained.

Keywords： deformation strategy; ideal paraboloid; rotation model; receiving ratio; particle swarm optimization; dimension reduction

0? 引? 言

中國天眼FAST是迄今為止世界上最先進的空間探測設備，可以接收到宇137億光年外的電磁信號，由饋源支撐塔、主動反射面和饋源倉組成。本文將對2021年全國大學生數學建模競賽題進一步研究，建立了合理的評估指標，利用“粒子群”搜索算法，尋找最為符合實際的理想拋物面模型，然后利用歐拉旋轉定理旋轉拋物面方程得到第一種旋轉模型，旋轉后的理想拋物面方程;再通過旋轉基準球面得到第二種旋轉模型，固定照明區域，逆向旋轉基準球面，得到工作拋物面上照明區域內692個主索點編號，然后通過計算得到伸縮量以及位置坐標，最終利用“降維”的技巧，求得基準球面和工作拋物面上的反射信號比。

1? 天眼FAST基本介紹

1.1? FAST的組成

FAST主要由主動反射面，信號接收系統以及相關的控制、測量和支承系統組成，如圖1所示。其中主動反射面是由主索網、反射面板、下拉索、促動器及支承結構等主要部件構成的一個可調節球面。主索面上每一個主索點處下端都通過下拉索與促動器連接，通過調節各個主索點對應的促動器的伸縮量進而實現反射面形狀的調節。

1.2? 主動反射面的基準態和工作態

主動反射面可以分為基準態和工作態兩種狀態，其中基準態時反射面可以看作是半徑為300 m，口徑為500 m的球面，而當主動反射面處于工作態時，反射面調節成口徑為300 m的反射拋物面，圖2是FAST處于工作態時剖面示意圖，兩個同心球面的半徑差為F=0.466R，其中C點為基準球面球心，饋源艙接受平面的中心只能位于與基準球面同心的球面上，只有當反射信號經過以饋源艙中心為圓心，直徑為1 m的圓盤時，才算接收到信號。

2? 構建模型思路

本文的最終目的是求解基準球面和工作拋物面反射出信號的有效接收比，而為了求解工作拋物面的接收比，首先應求解工作拋物面上照明區域各個主索點對應促動器的伸縮量，又因為最優工作拋物面是在約束條件的情況下最接近理想拋物面的拋物面，所以要優先計算理想拋物面方程，具體思維結構如圖3所示。為了得到比較符合實際的理想拋物面方程，本文從徑向，緯向的位移變化和邊緣光滑度等因素出發，建立符合實際的評價準則，利用“粒子群”優化算法擬合最優參數，最終求得結果。

3? 確定理想拋物面方程

3.1? 綜合評價準則的確定

本文根據賽題提供的數據，進行分析處理后，工作區域為口徑300米及以下的主索節點。為了更加形象地表示出基準球面，繪出基準面外形圖如圖4所示。

由于優化模型的目標是使主索節點沿徑向、經向、緯向以及在拋物面邊緣部分最光滑，故可取權重：。

得到目標函數：

N=aL1+bL2+cL3+dL4-ey’? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中：L1代表徑向位移;L2代表經向位移;L3代表緯向位移;L4代表邊緣徑向位移;y’代表邊緣斜率。

3.2? 模型降維

主動反射面在工作時由球面變為瞬時拋物面，節點在徑向、經向和緯度方向上產生位移，根據球面和拋物面具有對稱性可將此三維模型簡化為二維模型，球面半徑與拋物線口徑相等R=D=300 m。以球面圓心為坐標原點可得圓弧和拋物線方程，其中f為焦徑比：

（2）

（3）

3.3? 理想拋物面模型確定

3.3.1? 徑向位移

球面半徑減去節點到球心的距離即節點沿徑向方向上的位移，由此可得：

L1=R-L? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

L為節點到球心的距離，L1（x，f，h）其中x范圍在[0，150]，h變化幅度為0.6。

3.3.2? 經向位移

基準球面變形為拋物面上節點到頂點的弧長減去原基準球面節點到頂點的弧長即為經向位移。基準球面變為瞬時拋物面時300米口徑以內的弧長會發生變化，即產生經向位移，對經向位移取微元

則有：

（5）

（6）

（7）

基準球面變形為拋物面后拋物線上主索節點M到頂點弧長為：

（8）

基準球面的主索節點M’到球面頂點弧長為：

經向位移：

L2=sM-sM’? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

3.3.3? 徑向位移

假定主索節點N在圓弧上的橫坐標為x0，在拋物線上的橫坐標x’，緯度環環長變化量為l，相對基準球面緯度環環長變化量為：

（10）

3.3.4? 徑向位移

拋物面變形邊緣應盡量光滑，拋物線邊緣處斜率與圓弧斜率應盡量接近，拋物線邊緣徑向移動位移與圓弧徑向移動位移之差盡量小。

基準球面與拋物面連接處x0=150，y’0=0.577 4，拋物面的導數：

（11）

邊緣徑向位移：L4=L1（149.146 2，f，h）

故該題建立的“理想曲面優化模型”具體為：

目標函數：MinN=aL1+bL2+cL3+dL4-ey’

3.4? 理想拋物面模型求解

3.4.1? 搜索算法的構建

該問題本質上是多目標優化模型，通過“粒子群”智能優化算法（圖5）的過程如下：

（1）確定各個參數的搜索區間[v1，v2];

（2）賦給每個指標一定的權重，確定綜合評價標準為目標函數;

（3）初始化粒子位置，并計算此時綜合評價指標;

（4）重復步驟（3），直至目標函數值逐步收斂于最優目標函數值;

（5）輸出最優目標函數對應的各個最優參數。

3.4.2? 理想拋物面模型的求解結果

將上述粒子群算法過程通過matlab迭代求解得出結果如圖6所示，兩個參數如下：

f=0.467 7，h=0.412 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

式中：f為焦徑比;h為頂點移動距離。

故理想拋物面方程為：

理想拋物面與基準球面的擬合曲線如圖7和圖8所示。

4? 確定工作拋物面方程和主索點的伸縮量

4.1? 旋轉后工作拋物面模型建立

首先選取在α=0°，β=90°時確定出的理想拋物面：

（13）

將拋物面進行繞坐標軸旋轉即在三維空間下曲面繞x軸旋轉一定角度，再繞y軸旋轉至對稱軸在α=36.795°，β=78.169°方向上，需要計算出繞軸旋轉的角度。以基準球面球心為坐標原點理想拋物面對稱軸為z軸建立直角坐標系，將天體看作一點投射至坐標面上連結各點，由此便得到了第一種旋轉方法，如圖9所示。

其中α為方位角，β為仰角，繞x軸旋轉的角度為∠mcp，繞y軸旋轉的角度為∠mcs。假設sc=a，則：

（14）

（15）

（16）

令，α和β已知，即確定了沿x軸，y軸的旋轉角度，則可利用旋轉矩陣對問題一中確定的理想拋物面進行旋轉：

假設原拋物面上一點（x，y，z），首先對x軸進行旋轉得到旋轉后坐標（x1，y1，z1）：

（17）

然后繞y軸進行旋轉得到旋轉后坐標（x2，y2，z2）：

（18）

（19）

記：

故可以得到旋轉后的理想拋物面，即在α=36.795°，β=78.169°時的理想拋物面方程：

（20）

4.2? 工作拋物面上主索點伸縮量模型建立

對基準球面上所有的主索節點進行旋轉，第一次旋轉繞z軸旋轉α角度，第二次旋轉繞y軸旋轉角度，即可完成旋轉，第二種旋轉模型如圖10所示。

圖10? 第二種旋轉模型

繞z軸旋轉矩陣為：

（21）

繞y軸旋轉矩陣為：

（22）

其中：α=36.795°，β=78.169°

選取其中在工作面范圍（照明區域）內的主索節點，即x2+y2≤1 502。

根據這些點確定其位置坐標，計算各個主索節點與球心連線之間的直線方程，求出直線與理想拋物線的交點，即理想主索的位置坐標：

（23）

解出理想拋物面上主索節點的位置坐標，且已確定基準球面旋轉后的主索節點，即可利用兩點間的距離公式計算理想化的伸縮量如圖11所示。

（24）

其中Ll為主索節點理想的伸縮量，即不受任何約束情況下的伸縮量。

接下來考慮約束條件，主要為：

（25）

其中Ls為實際的伸縮量，xi為第i個主索節點的原長度

根據以上約束條件，即可計算出每一個在工作區域內的主索節點的伸縮量以及相應的位置坐標：

4.3? 工作拋物面模型的求解

利用第一種旋轉方式旋轉所得理想拋物面如圖12所示，其求解理想拋物面：

α=36.795°，β=78.169°

定義隨機變量x，y，z

N=-arctan（cos（α）cos（β））

a=zeros（3）;b=zeros（3）

帶入原理想方程可得旋轉后的理想方程：

b（3）=1/561.24×（b（1）2+b（2）2）-300.212 2

根據以上步驟，即可得出處在α=36.795°，β=78.169°時的理想拋物線方程：

4.4? 工作拋物面上主索點伸縮量模型求解

4.4.1? 利用第二種旋轉方式求解頂點坐標

將基準面的頂點A0（0，0，-300.212 2）進行旋轉，令：

即得頂點坐標G（-49.289，-38.866，-293.835）

4.4.2? 求解各工作區域主索節點的編號及對應的位置坐標和伸縮量

求解旋轉后主索節點的編號，可將整個基準球面旋轉α=36.795°，β=78.169°，將工作區域移到球心的正下方，旋轉后所有主索節點的位置坐標滿足：x2+y2≤1502，將滿足該條件的主索節點與球心相連，與第一問中理想拋物面的交點即為理想位置坐標。相鄰節點距離變化幅度需要不超過0.07%，節點徑向移動距離要在0.06以內，故計算基準球面上相應主索節點坐標和理想位置坐標的距離，根據約束條件進行約束，可導出相應伸縮量如表1所示。

5? 確定基準球面和工作面的反射信號接收比

饋源倉是一個面積為0.785平方米的圓盤，需要計算出調節后饋源倉的接收比和基準反射球面的接收比，并將二者進行比較。本文先將基準反射球面進行旋轉，讓工作區域恰好與豎直照明區域一致，基準球面第一次旋轉繞z軸旋轉α角度，第二次旋轉繞y軸旋轉角度。

5.1? 建立基準反射球面的反射信號接收比模型

由于基準反射球面具有各向同性，故可將基準反射球面簡化為二維曲線。又因為圓弧關于z軸對陣，故只需考慮x∈（0，150），如圖13所示。

在照明區域圓弧上，從0°至150°，取x步長為0.1的1 500個點，然后根據圓弧的方程曲線：

x2+y2=3002? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （26）

算出對應點的y值，即可得到每個點的坐標。圖13中

饋源倉距離球心（1-0.466）R，故：

L=[y-（1-0.466）R]·tan（2θ）? ? ? ? ? ? ? ? ? （27）

若|L|≥0.5則不能有效接收，反之則能有效接收。

計算1 500個點中，能被接收到的點有多少個，即可計算出接收率。

5.2? 建立工作拋物面上反射信號接收比模型

根據第二問求出的頂點坐標，計算出對稱軸的直線方程。

天體發出的電磁波視為直線傳播，平行對稱軸射入，設入射電磁波方程為：

ax+by+cz+di=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（28）

式中：a，b，c均已知，與對稱軸方程的系數相同。

根據每個主索節點的坐標，即可計算出每個主索節點對應的di。

主索節點與球心的連線方程為：

（29）

式中：xi，yi，zi為各個主索節點的坐標。

將（28）繞（29）旋轉180度即可得到新的直線方程：

Ax+By+Cz+D=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（30）

又因為饋源艙的有效接收區域容易取得，即為滿足如下條件：

（31）

本文即可認為此主索節點上的信號可以有效接收到。

記共有n個主索節點在工作區域，有m個主索節點可以被有效接收到，所以可得接受率為：

（32）

式中：ξ為有效接收率。

5.3? 求解基準球面和工作拋物面上反射信號接收比模型

根據物理模型球面反射，由于天體與地球的距離足夠可以將天體發出的電磁波看作平行波直線射入，需要得到最優的信號之比。饋源倉可視為一個小圓盤，接收反射的電磁波，由于實際情況下會有部分射入部分落在了范圍之外，射在曲面上的坐標與反射到達焦面的坐標是非線性關系，故本文可對其進行機器學習的數據處理，使其在更高維度呈線性關系。

本文采用多項式核函數：

K（x，xi）=[p（xt·x）+s]q? ? ? ? ? ? ? ? ? （33）

將輸入集射入電磁波與曲面的交點坐標F（f1，f2，f3…fm）通過選取的多項式核函數映射到高維空間得到X（x1，x2，x3…xn），本文將輸出的表達式表示為：

（34）

其中θ為本文要求的參數權值，根據損失函數計算公式：

（35）

結合選取的多項式核函數可以得到兩種損失函數：cost0，cost1，如圖14和圖15所示。

對于基準球面接收比的求解為：8.51%;對于調整后拋物面接收比的求解為：83.20%。

6? 結? 論

本文針對FAST反射面形狀調節進行了研究，首先通過機理建模的方式，從徑向，緯向，經向方向上位移的變化以及邊緣光滑度等因素出發，建立了綜合評價準則，利用“粒子群”智能算法，搜索出符合各個因素的最優參數，從而得到符合實際的理想拋物面方程。在理想拋物面確定的情況下，利用兩種旋轉方式分別求出旋轉后理想拋物面方程以及旋轉后照明區域內主索點的伸縮變化量和理想拋物面頂點坐標，從而得到在符合約束條件的工作拋物面模型，最后再分別計算工作拋物面模型和基準球面模型的反射信號接收比。

在實際中，本文建出拋物面最佳變形策略模型，對于家用電視天線的形狀設計，聲、波接收面的優化等具有較強的指導意義。同時給FAST天眼提供了較好的變形策略，有利于更好的接收信號。

參考文獻：

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[5] 天工在線.MATLAB從入門到精通 [M].北京：中國水利水電出版社，2018.

作者簡介：牟淼（2000.09—），男，漢族，山東濟南人，本科在讀，研究方向：機械工程;孔婭妮（2001.11—），女，漢族，湖北咸寧人，本科在讀，研究方向：數學與應用數學;郭磊（2000.08—），男，漢族，山東濟南人，本科在讀，研究方向：應用物理。